MM-凸函數及其Jensen型不等式

宋振云, 陳少元, 胡付高

(1.湖北職業技術學院 機電工程學院， 湖北 孝感 432000； 2.湖北工程學院 數學與統計學院， 湖北 孝感 432000)

MM-凸函數及其Jensen型不等式

宋振云1, 陳少元1, 胡付高2

(1.湖北職業技術學院 機電工程學院， 湖北 孝感 432000； 2.湖北工程學院 數學與統計學院， 湖北 孝感 432000)

考慮函數的廣義凸性問題，利用區間上的二元冪平均定義了MM-凸函數，討論了MM-凸函數的若干判定定理及運算性質，建立了其Jensen型不等式，并給出了Jensen型不等式的等價形式及推論．結果表明，MM-凸函數是比較函數定義區間內任意兩點的冪平均函數值與其函數值的冪平均大小所確定的各類凸函數的推廣.MM-凸函數概念的引入，為深入研究凸函數和拓展凸函數概念探索了一條新途徑．

凸函數；MM-凸函數；判定定理；運算性質；Jensen型不等式

0 引 言

(1)

分別為n元加權算術平均、n元加權幾何平均、n元加權調和平均、n元加權平方根平均、n元加權調和平方根平均、n元加權立方根平均、n元加權調和立方根平均．

針對n元加權冪平均，文獻[1]進行了深入研究，并給出了許多重要結果，此處不再贅述．

若ai∈(1,+∞)，則

特別地，?x1,x2∈R+及?t1,t2,α∈[0,1]，有

凸函數[2]、幾何凸函數[3]、調和凸函數[4]、平方凸函數[5]、調和平方凸函數[6]、r-平均凸函數[7]等都利用冪平均給出的定義，這些凸函數在許多領域的應用及其重要作用已為人熟知，但缺乏規范、簡潔的統一定義，考慮到數學的縝密性和嚴謹性，各方法尚存在不可忽視的缺失，僅就r-平均凸函數而言，張孔生等[8]在對冪指數做了相應限制的前提下，給出了“P方凸函數”的定義，吳善和[9]充分考慮了冪指數取值的任意性，在定義中不得不用2個公式來確定其定義的“rP-凸函數”，席博彥等[7]通過引入加權平均的概念定義了“r-平均凸函數”，雖然彌補了前2種定義的缺陷，但仍未完全解決凸函數定義的統一和簡潔性問題，特別是后續推廣應用問題．其他類型的凸函數定義中的一些問題，不再列舉．

對區間上的二元冪平均確定的凸函數，本文給出了規范統一的定義，并進行了全面深入研究．

定義1 設I?R+,f:I→R+,若?x1,x2∈I及?t∈[0,1]，存在r,p∈R(r，p≠±∞)，使得

(2)

則稱f(x)為I上的MrMp-凸函數． 如果不等式(2)中的不等號反向，則稱f(x)為I上的MrMp-凹函數．當r=p≠0時，則稱f(x)為I上的r次冪平均凸(凹)函數．

顯然，當r=p=1,0,-1,2,-2或r=p∈R時，MrMp-凸函數為凸函數、幾何凸函數、調和凸函數、平方凸函數、調和平方凸函數和r次冪平均凸函數；當r=0且p=1,-1或p∈R(p≠0)時，MrMp-凸函數為GA-凸函數[10]、GH-凸函數[11]和GMp-凸函數[12]；當r=1且p=0,-1,2或p∈R時，MrMp-凸函數為AG-凸函數(對數凸函數)[13]、AH-凸函數[14]、AR-凸函數[15]和AMp-凸函數[16]；當r=-1且p=0,1或p∈R時，MrMp-凸函數為HG-凸函數[17]、HA-凸函數[18]和HMp-凸函數[19]；當r∈R且p=1,0,-1時，MrMp-凸函數為MrA-凸函數(P-凸函數)[20]、MrG-凸函數[21]、MrH-凸函數[22]．

為簡潔和統一，將凸函數的記號MrMp及AMp、GMp、HMp和MrA、MrG、MrH分別記為MM及AM、GM、HM和MA、MG、MH．由于所有“M”均表示n元加權冪平均，本文規定：凸函數記號 “MM”中，第1個M為n元加權r次冪平均，第2個M為n元加權p次冪平均．

1 MM-凸函數的判定

考慮到區間I?R+上的冪函數τ(x)=xr(r≠0)、對數函數ω(x)=lnx和冪指復合函數ρ(x)=expxr(r≠0)是單調的,記τ(I)=Ir，ω(I)=ln I，ρ(I)=exp Ir．?r,p∈R，由于r=0，p=0時，MM-凸函數分別為幾何凸函數、GA-凸函數、GH-凸函數、GM-凸函數、AG-凸函數、HG-凸函數、MG-凸函數，相關討論參見文獻[3，10-13，17，21]．本文約定：除r=p=0時MM-凸函數為幾何凸函數外，其他都只討論r≠0，p≠0的情形．

定理1 設I?R+，f:I→R+，則

證明 這里僅證(i)，用類似方法可證明(ii)．

故f(x)為I上的MM-凸函數．

若f(x)是I上的MM-凸函數，且p>0，則由加權冪平均恒等式和MM-凸函數的定義，有

若f(x)為I上的MM-凹函數，則以上證明中的不等號反向，因此定理1的后半部分成立．

定理2 設I?R+，f:I→R+，則

證明 僅證(i)，用相同的方法可證明(ii)．

故f(x)為I上的MM-凸函數．

由以上證明可知，定理2(i)的后半部分亦成立．

類似地可證明：

定理3 設I?R+，f:I→R+，則

(i)當p>0時，f(x)為I上的MM-凸(凹)函數的充要條件是(f(x))p為I上的MA-凸(凹)函數；

(ii)當p<0時，f(x)為I上的MM-凸(凹)函數的充要條件是(f(x))p為I上的MA-凹(凸)函數．

定理5 設I?R+，f:I→R+，則

(i)當p>0時，f(x)為I上的MM-凸(凹)函數的充要條件是exp(f(x))p為I上的MG-凸(凹)函數；

(ii)當p<0時，f(x)為I上的MM-凸(凹)函數的充要條件是exp(f(x))p為I上的MG-凹(凸)函數．

定理7 設I?R+，f:I→R+，且f在區間I上連續，則

證明 只證(i)，同理可證(ii)．

充分性：若φ(t)為[0,1]上的凸函數，且p>0，則?x1,x2∈I及?t∈[0,1]，有

故函數f(x)是區間I上的MM-凸函數．

若f(x)為I上的MM-凹函數，則以上證明中不等號反向，故定理7(i)的后半部分成立．

定理8 設I?R+，f:I→R+，

(i)若p>0，則f(x)為I上的MM-凸(凹)函數的充要條件是：?x1,x2,x3∈I且x1

當r>0時，有

(3)

當r<0時，有

(4)

(ii)若p<0，則f(x)為I上的MM-凸(凹)函數的充要條件是：?x1,x2,x3∈I且x10時，有

(5)

當r<0時，有

(6)

證明 只證(i)，同理可證(ii)．

若f(x)為I上的MM-凸函數，則

因為?x∈I,f(x)>0，且p>0，注意到x10時，將上式整理即得

當r<0時，類似地，有

由于p>0，且當r>0或r<0時，以上證明步步可逆，所以充分性成立．

若f(x)在I上是MM-凹的，則以上證明中的不等號反向，故定理8(i)的后半部分成立．

定理9 設I?R+，f:I→R+，且f在I上二階可導，則f為I上MM-凸(凹)函數的充分必要條件是

(p-1)(f′(x))2x+f(x)f″(x)x+

(1-r)f(x)f′(x)≥(≤)0(p≠0)．

(7)

證明 只證f為I上MM-凸函數的情形，同理可證f為I上MM-凹函數的情形．

注意到x∈I?R+，f(x)>0(?x∈I)，所以

φ″(t)≥(≤)0?p[(p-1)(f′(x))2x+

f(x)f″(x)x+(1-r)f(x)f′(x)]≥(≤)0.

所以，當p>0時，f(x)為I上的MM-凸函數的充要條件是 ?x∈I，有

(p-1)(f′(x))2x+f(x)f″(x)x+

(1-r)f(x)f′(x)≥0．

當p<0時，f(x)是I上的MM-凸函數?

所以，當p<0時，f(x)為I上的MM-凸函數的充要條件仍然是?x∈I不等式(7)成立.

故當p≠0時，f(x)為I上的MM-凸函數的充要條件是?x∈I不等式(7)成立．

2 MM-凸函數的復合運算性質

定理10 設A,I?R+，B?I，f:I→R+,μ:A→B，則

(i)若y=f(u)為I上嚴格遞增的MM-凸函數，u=μ(x)為A上的r次冪平均凸函數(r-平均凸函數[7])，則y=f(μ(x))為A上的MM-凸函數；

(ii)若y=f(u)為I上嚴格遞減的MM-凸函數，u=μ(x)為A上的r次冪平均凹函數(r-平均凹函數)，則y=f(μ(x))為A上的MM-凸函數；

(iii)若y=f(u)為I上嚴格遞增的MM-凹函數，u=μ(x)為A上的r次冪平均凹函數(r-平均凹函數)，則y=f(μ(x))為A上的MM-凹函數；

(iv)若y=f(u)為I上嚴格遞減的MM-凹函數，u=μ(x)為A上的r次冪平均凸函數(r-平均凸函數)，則y=f(μ(x))為A上的MM-凹函數.

證明 只證(i)，同理可證(ii)、(iii)、(iv)．

max{μ(x1),μ(x2)}]?B?I,

又u=μ(x)是A上的r次冪平均凸函數，所以

且y=f(u)為I上嚴格遞增的MM-凸函數，所以

即y=f(μ(x))是A上的MM-凸函數．

類似地可以證明：

定理11 設A,I?R+，B?I，f:I→R+,μ:A→B，則

(i)若y=f(u)為I上嚴格遞增的r次冪平均凸函數(r-平均凸函數)，u=μ(x)為A上的MM-凸函數，則y=f(μ(x))為A上的MM-凸函數；

(ii)若y=f(u)為I上嚴格遞減的r次冪平均凸函數(r-平均凸函數)，u=μ(x)為A上的MM-凹函數，則y=f(μ(x))為A上的MM-凸函數；

(iii)若y=f(u)為I上嚴格遞減的r次冪平均凹函數(r-平均凹函數)，u=μ(x)為A上的MM-凸函數，則y=f(μ(x))為A上的MM-凹函數；

(iv)若y=f(u)為I上嚴格遞增的r次冪平均凹函數(r-平均凹函數)，u=μ(x)為A上的MM-凹函數，則y=f(μ(x))為A上的MM-凹函數．

定理12 設A,I?R+，B?I，f:I→R+,μ:A→B，則

(i)若y=f(u)為I上嚴格遞增的AM-凸函數，u=μ(x)為A上的MA-凸函數，則y=f(μ(x))為A上的MM-凸函數；

(ii)若y=f(u)為I上嚴格遞減的AM-凸函數，u=μ(x)為A上的MA-凹函數，則y=f(μ(x))為A上的MM-凸函數；

(iii)若y=f(u)為I上嚴格遞增的AM-凹函數，u=μ(x)為A上的MA-凹函數，則y=f(μ(x))為A上的MM-凹函數；

(iv)若y=f(u)為I上嚴格遞減的AM-凹函數，u=μ(x)為A上的MA-凸函數，則y=f(μ(x))為A上的MM-凹函數．

證明 只證(i)，同理可證(ii)、(iii)、(iv)．

又u=μ(x)是A上的MA-凸函數，所以

且y=f(u)為I上嚴格遞增的AM-凸函數，所以

f(μ(x2)))，

即y=f(μ(x))是A上的MM-凸函數．

類似地有：

定理13 設A,I?R+，B?I，f:I→R+,μ:A→B，則

(i)若y=f(u)為I上嚴格遞增的GM-凸函數，u=μ(x)為A上的MG-凸函數，則y=f(μ(x))為A上的MM-凸函數；

(ii)若y=f(u)為I上嚴格遞減的GM-凸函數，u=μ(x)為A上的MG-凹函數，則y=f(μ(x))為A上的MM-凸函數；

(ii)若y=f(u)為I上嚴格遞增的GM-凹函數，u=μ(x)為A上的MG-凹函數，則y=f(μ(x))為A上的MM-凹函數；

(iv)若y=f(u)為I上嚴格遞減的GM-凹函數，u=μ(x)為A上的MG-凸函數，則y=f(μ(x))為A上的MM-凹函數．

定理14 設A,I?R+，B?I，f:I→R+,μ:A→B，則

(i)若y=f(u)為I上嚴格遞增的HM-凸函數，u=μ(x)為A上的MH-凸函數，則y=f(μ(x))為A上的MM-凸函數；

(ii)若y=f(u)為I上嚴格遞減的HM-凸函數，u=μ(x)為A上的MH-凹函數，則y=f(μ(x))為A上的MM-凸函數；

(iii)若y=f(u)為I上嚴格遞增的HM-凹函數，u=μ(x)為A上的MH-凹函數，則y=f(μ(x))為A上的MM-凹函數；

(iv)若y=f(u)為I上嚴格遞減的HM-凹函數，u=μ(x)為A上的MH-凸函數，則y=f(μ(x))為A上的MM-凹函數．

3 MM-凸函數的Jensen型不等式

證明 令g(x)=[f(x)]p(x∈I)，因為f(x)是I上的MM-凸函數，所以，當p>0時，由定理3(i)知，g(x)是I上的MA-凸函數，因此有g(x)在I上的Jensen型不等式[17]：

當p<0時，類似可證結論成立．

f(x)是區間I上MM-凹函數的情形同理可證．

定理15的一個等價形式：

定理16 設I?R+,f(x)是I上的MM-凸(凹)函數，則?xi∈I及?qi∈R+(i=1,2,…,n)，有

進一步，當q1=q2=…=qn時，有

推論 設I?R+，f(x)是I?R+上的MM-凸(凹)函數，對?xi∈I(i=1,2,…,n)，有

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MM-convex function & its Jensen-type inequality.

SONG Zhenyun1, CHEN Shaoyuan1, HU Fugao2

(1.SchoolofMechanical&ElectricalEngineering,HubeiPolytechnicInstitute,Xiaogan432000,HubeiProvince,China;2.SchoolofMathematics&Statistics,HubeiEngineeringUniversity,Xiaogan432000,HubeiProvince,China)

Considering the general convexity of functions, the authors present the definition of MM-convex function with two variables power means within the interval. Based on the definition, this article discusses its judgment theorems and operation properties, sets up its Jensen-type inequality, and provides the equivalent form of Jensen-type inequality and the deduction. Results show that MM-convex function is an extension of all convex functions determined by the power mean value of two arbitrary points within the definition domain of comparison function and by the power mean of the value. The introduction of MM- convex function brings an effective approach to deep study and further extension of convex function.

convex function; MM-convex function; judgment theorem; operation property; Jensen-type inequality

2016-09-19.

教育部科學技術研究重點項目(212109).

宋振云(1958-)，ORCID：http://orcid.org/0000-0002-7373-9733，男，教授，主要從事凸分析及其應用研究，E-mail:hbsy12358@126.com.

10.3785/j.issn.1008-9497.2017.04.004

O 178.1

A

1008-9497(2017)04-403-08

Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2017,44(4):403-410