高維分層混合模糊系統的規則縮減及逼近性假設檢驗

王貴君, 段晨霞, 張德利

(1.天津師范大學 數學科學學院, 天津 300387; 2.天津市南開區咸陽路小學,天津 300110; 3.吉林省教育學院 信息中心, 吉林 長春 130022 )

高維分層混合模糊系統的規則縮減及逼近性假設檢驗

王貴君1, 段晨霞2, 張德利3*

(1.天津師范大學 數學科學學院, 天津 300387; 2.天津市南開區咸陽路小學,天津 300110; 3.吉林省教育學院 信息中心, 吉林 長春 130022 )

混合模糊系統，即通過調控參數將Mamdani和T-S合并建立的一種新型系統模型.混合模糊系統不僅能保持各自模糊系統的優良特性,還可大大縮減系統內部的模糊規則總數.為避免因增加輸入變量引發高維混合模糊系統規則爆炸,基于混合模糊系統的分層表示，給出了分層混合模糊系統對連續函數的逼近算法.對比發現，高維分層混合模糊系統的規則總數可被大幅度削減.此外,通過實例模擬了一個三維混合模糊系統分層后的實際輸出,并用統計學的t-假設檢驗方法檢驗了該分層混合模糊系統的逼近性能.

調控參數;分層混合模糊系統;規則數;逼近性;t-假設檢驗

0 引 言

模糊系統是基于知識或規則的系統,其核心為由若干條IF…THEN模糊規則所構成的知識庫,不僅能同時處理數據信息和語言信息,而且可通過仿效人腦實現模糊推理并完善功能.但隨著高維系統輸入變量的增加，其規則總數通常呈指數增長,極易出現規則爆炸現象,甚至導致計算時間延長或計算機記憶溢出.1991年,RAJU等[1]首次提出針對高維模糊系統的遞階銜接系統，以降低規則總數,但卻帶來系統內部結構復雜、辨識參數增多等缺陷.1998年,WANG[2]率先提出串聯疊加分層方法,但該方法對被逼近函數和分層后疊加模糊系統要求過高(可微).LIU等[3]指出，文獻[2]中疊加系統附加了錯誤條件,并對T-S模糊系統重新給出分層后輸入輸出表達式,進而證明了系統分層前后輸入輸出表示的等價性,從而降低了系統內部的模糊規則數.2004年,文獻[4]通過引入二叉樹分層方法對T-S模糊系統實施重新分層,并對該系統分層前后的等效性進行分析,但未涉及模糊規則數降低問題.此后,關于模糊系統的不同分層所產生的等效性和逼近性有了較多研究結果[5-7].

2012年,文獻[5]利用調控參數將Mamdani模糊系統和T-S模糊系統合并建立了混合模糊系統.文獻[6]針對將中間變量直接作為模糊單元輸出提出一種后件直聯型分層方法,該方法不僅減少了規則數和辨識參數,而且可避免對中間變量的模糊推理，其缺點是逼近函數條件過高(要求可微).文獻[7]基于后件直聯型分層方法討論了混合模糊系統的一類可積函數的逼近性.文獻[8]研究了T-S模糊系統的前件模糊集最大交互數問題.這些結果不僅能有效應用于大規模系統的建模,而且也降低了系統內部的規則總數,以避免規則爆炸現象.

本文首先給出高維混合模糊系統對連續函數的逼近算法,并分析規則數變化及其縮減情況;其次,通過實例給出三維混合模糊系統分層后對連續函數逼近的實現過程,并利用t-假設檢驗方法驗證分層混合模糊系統逼近的優越性.

1 分層混合模糊系統

在多輸入單輸出模糊系統中,單獨模糊系統的逼近能力和規則數減少往往是有限的,尤其當輸入變量增加時導致規則總數猛增,容易出現規則爆炸現象.因此,將Mamdani和T-S模糊系統合并成一個整體以研究其逼近性.為此,首先給出等距模糊剖分概念:

(1)

注1 顯然,η=0時分層混合模糊系統退化為Mamdani模糊系統;η=1時退化為T-S模糊系統.因此,不僅可隨意調控參數η使其成為一些數學模型的特例,還可將其有效應用于模糊控制器設計和系統建模.然而,實際中被逼近函數通常是未知的，只知道一些通過儀器或實驗得到的數據對.所以,如何構造一個滿足給定精度的模糊系統非常重要.通常設計模糊系統的方法有查表法、梯度下降法、最小二乘法和聚類法等多種.關鍵是分層后混合模糊系統是否還具有逼近性能， 以及如何實現混合模糊系統對連續函數類的逼近.文獻[5,7]雖然已從理論上證明了該問題,但并沒有給出具體的逼近算法.

定理1[5]設緊集論域K=[-1,1]n,若形如式(1)的分層混合模糊系統被分為L層子系統,其中間變量為y1,y2,…,yL. 則?ε>0及f∈C(K)存在剖分數m0∈N,使m≥m0時,‖yL-f‖<ε.

下面,基于定義1和定理1給出高維混合模糊系統分層后對連續函數的逼近算法.

第1步 設連續函數f∈C(K),?x=(x1,x2,…,xn)∈K,若對充分小的h>0,令

由此分別計算或估算Hi(S)和DH(f)的值.

第3步 在每個閉區間Xi=[-1,1]上實施等距模糊剖分,并定義前件模糊集Bi,j(x)(i=1,2,…,n;j=0,±1,±2,…,±m0)和后件模糊集Bi,j(y1),Bi,j(y2),…,通常選取三角形或梯形模糊數即可.

第5步 通過Matlab編程實現高維混合模糊系統的輸出,并畫仿真圖形.

2 模糊規則縮減

一般對高維模糊系統來說,若不對輸入變量進行分層,則系統內部所有可能的規則總數將按維數n呈(2m+1)n指數形式迅猛增長(m是剖分數),甚至會導致規則爆炸現象的發生.在此情況下,通過對高維模糊系統的輸入變量實施疊加分層輸入以縮減規則數則十分必要，如圖1所示.

從圖1的疊加分層易看出,第1層可隨機輸入n1個變量x1,x2,…,xn1，得到輸出y1,再將輸出y1作為第2層輸入,并輸出y2.類似地，將第j層輸入nj+1個變量xLj+1,xLj+2,…,xLj+nj,中間變量yj-1是

圖1 高維混合模糊系統分層后的輸入變量Fig.1 Input variables of the layered high-dimensional fuzzy system

事實上,文獻[6-7]所給分層方法是將中間變量y2,y3,…,yL-1直接作用于模糊單元的輸出,中間變量不作為輸入,這也是與本文的主要區別.

從表1可明顯看出分層方法不唯一.實際上,首層輸入n1值增大,層數L變小,但規則數會變大,易引發規則爆炸;相反,n1值減小,層數L變多,雖然規則數變小,但因層數L增多會使系統內部結構變復雜.因此,如何選擇最優的數對(n1,L)至關重要! 例如,若取維數n=5,剖分數m=16,則不分層的規則總數為(2×16+1)5=39 135 393;而分層的規則總數為4(2×16+1)2=4 356.因此,對于5維混合模糊系統，分層比不分層規則數約縮減8 984倍.

3 逼近性檢驗

下面將通過一個模擬實例來說明高維混合模糊系統分層后逼近性的實現,并借助統計學中的假設檢驗考證該系統的逼近性能.簡單起見，僅在3維歐氏空間給出實例.

試按本文分層模糊系統(1)給出逼近過程.

事實上,有0

針對變量x1依據逼近算法第1步，得

類似地,關于輸入變量x2,x3，有

故有

同理,若令B2,j(x2)=B1,j(x2),B3,j(x3)=B1,j(x3),j=0,±1,±2,…,±9.則在x2,x3軸上也可獲得模糊剖分{B2,j}和{B3,j}.此外,在第1輸出層選取后件模糊數的隸屬度函數為

由圖2～5知，圖3更接近所給逼近函數f的值(見圖2),亦即分層混合模糊系統具有更好的逼近性能.此外,固定x3=0是為了在三維空間中畫出各自分層模糊系統輸出y2的圖像.事實上,模糊系統可以看作一個插值模型,但它并不是一個簡單的過程.這是因為現實中許多事物或現象其輸入輸出關系并不連續.因此,研究模糊系統逼近對一般函數更具意義.

下面,基于最后輸出y2在論域[-1,1]3上隨機選取8個樣本點,并分別通過分層混合模糊系統、Mamdani模糊系統和T-S模糊系統比較其輸出的誤差,詳見表2.

圖2 x3=0時函數f的曲面圖Fig.2 Surface figure of f when x3=0

圖4 x3=0時Mamdani模糊系統的曲面圖Fig.4 Surface figure of layered Mamdani system when x3=0

圖3 x3=0時分層混合模糊系統y2的曲面圖Fig.3 Surface figure of layered hybrid system y2when x3=0

表2 3類模糊系統在8個樣本點處的輸出和精度比較

(9)

同理,可得

(10)

現對表2中數據{D1(i)}在顯著性水平α=0.05下檢驗假設{H0,H1},其中,

H0∶μD1≤0,H1∶μD1>0.

進而得到數據{D1(i)}的t-觀察值為

可見上述觀察值t落在拒絕域H1以內,故在顯著性水平α=0.05下拒絕H0.再由t-假設檢驗及數據{D1(i)}的含義知，分層混合模糊系統的輸出y2比Mamdani模糊系統逼近性能好.

此外,對數據{D2(i)}在α=0.05下檢驗假設{H0,H1},其中H0∶μD2≤0,H1∶μD2>0.

同理,可得數據{D1(i)}的t-觀察值滿足

此時,必須拒絕假設H0而接受H1,根據統計推斷的t-假設檢驗知，該分層混合模糊系統的輸出y2也比T-S模糊系統逼近性能好.

綜合上述2種情況,認為分層混合模糊系統的輸出y2均比Mamdani模糊系統和T-S模糊系統的逼近性能好.

[1]RAJUGVS,ZHOUJ,KISNERRA.Hierarchicalfuzzycontrol[J]. International J Control,1991,54(5):1201-1216.

[2] WANG L X. Universal approximation by hierarchical fuzzy systems [J]. Fuzzy Set and Systems,1998,93(1):223-230.

[3] LIU P Y, LI H X. Hierarchical T-S fuzzy system and its universal approximation [J].Information Sciences,2005,169(3):279-303.

[4] 杜新宇,張乃堯.二叉樹型分層模糊系統的等效性分析[J].清華大學學報：自然科學版,2004,44(7):33-36. DU X Y, ZHANG N Y. Equivalence analysis of binary tree-type hierarchical fuzzy systems [J]. Journal of Tsinghua University ：Natural Science,2004,44(7):33-36.

[5] 王貴君,段晨霞.廣義分層混合模糊系統及其泛逼近性[J].控制理論與應用,2012,29(5):673-680.WANG G J, DUAN C X. Generalized hierarchical hybrid fuzzy systems and their universal approximation [J]. Control Theory & Applications,2012,29(5):673-680.

[6] 朱曉東,王杰.一種新型分層模糊系統及其逼近性能[J].控制與決策,2013,28(10):1559-1563. ZHU X D, WANG J. A new type of hierarchical fuzzy system and its approximation performance [J]. Control and Decision,2013,28(10):1559-1563.

[7] 王貴君,宋巍巍,韓權杰.基于后件直聯型分層的廣義混合模糊系統及其積分模逼近[J].控制與決策,2015,30(10):1742-1750. WANG G J, SONG W W, HAN Q J. Generalized hybrid fuzzy system based on consequent direct link type hierarchy and its integral norm approximation [J]. Control and Decision,2015,30(10):1742-1750.

[8] 索春鳳,王貴君.最大交互數對非齊次T-S模糊系統的潛在影響[J].山東大學學報:理學版,2015,50(8):14-19. SUO C F, WANG G J. The potential influence of maximum interactive number to non-homogeneous T-S fuzzy system[J]. Journal of Shandong University: Science Edition,2015,50(8):14-19.

Reduction of the number of rules of high-dimensional hybrid fuzzy system and its hypothesis test of the approximation.

WANG Guijun1, DUAN Chenxia2, ZHANG Deli3

(1.SchoolofMathematicsScience,TianjinNormalUniversity,Tianjin300387，China; 2.XianyangRoadPrimarySchool,NankaiDistrict,Tianjin300110,China; 3.InformationCenter,JilinProvincialInstituteofEducation,Changchun130022,China)

The hybrid fuzzy system is a new system model combining Mamdani fuzzy system and T-S fuzzy system by the control parameters. It retains the excellent characteristics of each system, meanwhile greatly reducing the total number of fuzzy rules. To avoid the rule explosion in high-dimensional mixed fuzzy system under increasing input variables, this article proposes an approximation algorithm for a continuous function based on the layered representation of the hybrid fuzzy system. The total number of rules of high-dimensional layered hybrid fuzzy system can be greatly reduced according to the comparison results. In addition, we simulate the actual output of a three-dimensional hybrid fuzzy system through a practical example, and apply the statistical t-hypothesis test to examine the approximation performance of the three-dimensional mixed fuzzy system.

control parameter; layered hybrid fuzzy system; the number of rules; approximation; t-hypothesis test

2016-05-26.

國家自然科學基金資助項目(61374009);吉林省自然科學基金資助項目(201215190).

王貴君(1962-),ORCID:http://orcid.org/0000-0002-2337-5951,男,教授,主要從事模糊系統、模糊神經網絡和模糊積分理論研究,E-mail:tjwgj@126.com.

*通信作者，ORCID:http://orcid.org/0000-0002-2043-2797，E-mail: zhangdl64@126.com.

10.3785/j.issn.1008-9497.2017.04.003

O 159

A

1008-9497(2017)04-397-06

Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2017,44(4):397-402