黏彈性土中深埋球形沼氣池的動力特性★

錢長根 向天勇 聞敏杰*

(嘉興職業技術學院，浙江 嘉興 314036)

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黏彈性土中深埋球形沼氣池的動力特性★

錢長根 向天勇 聞敏杰*

(嘉興職業技術學院，浙江 嘉興 314036)

采用解析方法在頻率域內研究了周期荷載作用下黏彈性土體中深埋球形沼氣池簡諧振動特性。將模具結構分別視為均勻彈性介質和薄壁殼體結構，基于彈性和Flügge理論，給出了分數導數黏彈性土中深埋球形沼氣池振動響應的解析表達式。根據連續性邊界條件，確定了相關待定系數的表達式。在此基礎上，對比分析了均勻彈性介質和薄壁殼體時系統動力響應的結果，并考察了分數導數本構參數、土體和模具各參數對系統動力特性的影響。結果表明：兩種模型下模具結構的振動響應存在較大差異。

沼氣工程,黏彈性土,球形沼氣池,簡諧振動,解析解

0 引言

深埋地下球形沼氣池不僅具有球形口小、密閉性好和產氣量高的優點，而且池中沼液發酵充分，不易產生結殼，同時受外界環境溫度影響小[1]。因此，在我國農村得到普遍的應用和推廣。

沼氣池的振動響應在池壁抗震、抗爆設計和模具結構穩定性等領域中具有廣泛的運用背景，一些學者對此進行了深入研究。Forrestal和Sagartz[2]研究了Heaviside荷載作用下均勻彈性土體中薄壁球殼和圓柱形殼體的動力響應。Duffey[3]采用Laplace變換技術，得到了脈沖荷載下黏彈性和黏塑性球形模具結構的瞬態動力響應。Glenn[4]將土體視為線彈性介質，推導了Heaviside荷載和脈沖荷載下深埋球形沼氣池的振動響應。張慶元等[5]以位移為未知量，研究了爆炸荷載作用下球形空腔的瞬態響應。Liu Ganbin等[6]研究了黏彈性飽和土和薄壁球殼結構系統的耦合振動特性。韓同春和劉干斌[7]研究了任意荷載下無限大黏彈性體內球殼的動力響應。上述都忽略了模具結構的厚度。為了得到精確解，Auslender[8]將模具結果視為彈塑性材料，得到了爆炸荷載作用下球形沼氣池的數值近似解。

土體具有黏彈性性質，研究表明分數導數本構模型可更好地刻畫其蠕變特性[9,10]。該本構模型早期在航空材料、混沌和湍流、材料松弛、機器人控制、生物材料、隨機游走等工程領域[11]。但是，基于分數導數模型建立動力學方程為奇異性積分—偏微分方程，其理論分析和數值計算存在諸多困難[12]，在土體動力特性方面的研究不多見[13,14]。尤其是研究球形沼氣池的動力特性在國內外均無相關報道。

然而，池內氣體發酵產生和用戶消耗，使池內氣壓反復變化而產生壓力，這種應力均勻作用于池壁內側，即可等效為周期荷載[15]。本文首先將土體視為具有分數階導數本構的黏彈性體，根據黏彈性理論推導了沼氣池周圍無限大分數導數黏彈性土的位移和應力表達式。再次，將模具結構分別視為均勻彈性介質和薄壁殼體結構，根據彈性動理論[16]和Flügge理論[17]得到了模具結構振動響應的解析解。其次，根據模具結構和土體接觸面處位移和應力連續等邊界條件，得到了相關待定系數的具體表達式。然后，將該文解答進行了退化，通過與已有成果對比，體現了本文計算結果的正確性。最后，考察了分數導數本構參數，模具和土體各參數對系統振動響應的影響，為地下球形沼氣池的設計和施工提供了一定的理論依據。黏彈性土中球形沼氣池見圖1。

1 數學模型

2 土體控制方程的建立及求解

球對稱情形下，具有分數導數本構黏彈性模型的應力—位移本構關系為[14]:

(1)

(2)

在動力荷載作用下，根據彈性動理論，土體的動力方程為[16]:

(3)

將式(1)代入式(3)得:

(4)

引入如下勢函數:

(5)

對于穩態振動，設:

(6)

引入如下無量綱量和常數:

(7)

將式(5)～式(7)代入式(4)，得:

(8)

其中，

式(8)易解得:

(9)

其中，A,B均為待定系數，由邊界條件來確定。

(10)

將式(5)代入式(10)得:

(11)

由式(11)代入式(1)，得:

(12)

3 模具結構運動方程建立及求解

3.1 第一類模具結構方程

將球形沼氣池模具結構視為均勻彈性介質，假定模具和土體界面處完全緊密接觸，無相對滑移，即滿足應力和位移連續。在動力荷載作用下，模具結構的運動方程為[16]：

(13)

本構關系:

(14)

將式(14)代入式(13)得:

(15)

(16)

將式(16)代入式(15)得:

(17)

其中，

(18)

式(17)可易解得:

(19)

其中，C5，C6均為待定系數，由邊界條件來確定。

將式(19)代入式(16)得:

(20)

于是，由式(14)可知徑向應力為:

(21)

滿足如下邊界條件：

1)在模具結構和土體界面處r=R2(η=1)位移連續，即:

(22)

2)在模具結構和土體界面處r=R2(η=1)應力連續，即:

(23)

3)在模具結構和土體界面處r=R1(η=1)內荷載等于模具結構的徑向應力，則:

(24)

結合式(22)～式(24)得待定系數A,C5，C6的具體表達式為：

(25)

其中，

a1=-(1+β)e-β,

a2=(1+q)e-q,

a3=(1-q)eq,

3.2 第二類模具結構方程

由于模具結構的厚度遠小于球形沼氣池的半徑，因此，可假定模具結構和土體的界面處r=R2與中曲面半徑r=a影響很小[6]。根據Hamilton原理，模具結構的運動方程為[7]：

(26)

其中，Qa為凈壓力。

1)在模具和土體接觸面上r=R2(η=1)應力協調，即:

(27)

2)在模具和土體接觸面上r=R2(η=1)位移連續，即:

(28)

式(26)和式(12)代入式(27)，式(28)得:

(29)

其中，

4 與已有成果對比分析

為了驗證本文計算結果的正確性，首先，與文獻[16]作對比，該文忽略了模具結果的影響，建立了一般理想彈性土體中球形沼氣池的動力特性。將經典彈性本構代入式(3)，且令土體和模具結果的材料參數完全相同，即可將本文退化到文獻[16]的解答。參數取值：η=1，vS=0.35，ρLS=1.5，GSL=0.05，vL=0.25，δ=0.005，Tσ/Tε=3，Tε=10，α=0.05。

5 數值算例及圖形分析

圖4反映了土體和模具結構的剪切模量比變化時徑向位移和環向應力幅值隨頻率λ的變化規律曲線。可見，當模量比GSL較小時，第一類模具模型條件下系統的位移幅值與第二類模具模型時土體的位移幅值存在很大差異，后者系統產生的共振效應要顯著。隨著GSL的增加，兩者的位移幅值差異較小。球殼模具結構時的環向應力幅值明顯大于均勻彈性介質時的應力幅值。隨著頻率λ的增加，兩者差異減小，且隨著模量比GSL的增加，位移和應力幅值明顯減小。

圖5給出了土體泊松比vS變化對徑向位移和環向應力幅值的影響規律曲線。隨泊松比vS的增加，徑向位移和環向應力幅值逐漸增大。在較高頻率時兩類模具結構條件下的位移和應力幅值差異很小。

圖6反映了分數導數階數α對徑向位移和環向應力幅值的影響。可見，隨著階數α的增加，徑向位移和環向應力幅值明顯減小，且系統共振效應減弱。圖7給出了本構模型的材料參數比Tσ/Tε變化時徑向位移和環向應力幅值隨頻率λ的影響曲線。可見，隨著材料參數比Tσ/Tε的增加，徑向位移和環向應力幅值明顯減小，這是因為材料參數比Tσ/Tε增加時土體的阻抗增大所造成的。

6 結語

本文采用解析方法在頻率域內研究了均布內壓作用下黏彈性土體中深埋球形沼氣池簡諧振動特性，考察了相關物性和幾何參數對系統動力特性的影響，得到了如下結論：

1)在Tσ/Tε=3條件下，具有球形沼氣池分數導數黏彈性土的穩態響應大于經典黏彈性土的穩態響應，而小于經典彈性土的振動響應；

2)球殼模具結構模型條件下，球形沼氣池的穩態響應明顯大于均勻彈性介質模型條件下球形沼氣池的穩態響應；

3)當模量比較小時，第一類模具模型條件下系統的位移幅值與第二類模具模型時的位移幅值存在很大差異，隨著GSL的增加，兩者差異很弱；

4)隨著土體材料泊松比vS的增加，系統的位移幅值和環向應力幅值逐漸增大；

5)隨著階數α的增加，徑向位移和環向應力幅值明顯減小，且系統共振效應減弱；

6)隨著材料參數比Tσ/Tε的增加，徑向位移和環向應力幅值明顯減小。

[1] 宮婉婷，丁 敏，徐慶磊，等.地下沼氣池池壁土壓力取值方法及池蓋受力分析[J].農業工程學報,2011,27(4):270-276.

[2] Forrestal M J,Sagartz M J.Radiated pressure in an acoustic medium produced by pulsed cylindrical and spherical shells[J].AMSE Journal of Applied Mechanics,1971(93):1057-1060.

[3] Duffey T A.Transient response of viscoelastic and viscoelastic shells submerged in fluid media[J].AMSE Journal of Applied Mechanics,1976(98):137-143.

[4] Glenn L A,Kidder R E. Blast loading of a spherical container surrounded by an infinite elastic medium[J].Journal of Impact Engineering[J].Engineering Structures,2000(22):984-992.

[5] 張慶元，戰人瑞.爆轟荷載作用下球形空腔的動力響應[J].爆炸與沖擊,1994,14(2):182-185.

[6] Liu Ganbin,Xie Kanghe.Transient response of a spherical cavity with a partially sealed shell embedded in viscoelastic saturated soil[J].Journal of Zhejiang University Science,2005,6A(3):194-201.

[7] 韓同春,劉干斌.任意荷載下黏彈性飽和土體中球殼的動力響應研究[J].浙江大學學報(工學版),2006,40(5):816-821.

[8] Auslender F,Combescure A.Spherical elastic-plastic structures under internal explosion:Approximate analytical solutions and application[J].Engineering Structures,2000(22):984-992.

[9] 劉林超，楊 驍.分數導數模型描述的飽和土樁縱向振動分析[J].巖土力學,2011,32(2):526-532.

[10] 高華喜,聞敏杰.黏彈性準飽和土中球空腔動力特性[J].力學學報,2012,44(4):112-120.

[11] 劉林超,姚慶釗,閆啟方,等.基于積分型分數導數本構方程的黏彈性土層中單樁的豎向復剛度與導納研究[J].水利學報,2012,43(7):796-802.

[12] 劉林超,閆啟方,孫海忠.軟土流變特性的模型研究[J].巖土力學,2006,27(sup):214-217.

[13] 何利軍,孔令偉,吳文軍,等.采用分數階導數描述軟黏土蠕變的模型[J].巖土力學,2011,32(S2):239-244.

[14] Weiland P.Biogas production: current state and perspectives[J].Appl Microbiol Biotechnol,2010(85):849-860.

[15] Timoshenko,S P,Goodier J N.Theory of Elasticity,McGraw-Hill,New York,1977.

[16] Zakout U,Akkas N.Transient response of a cylindrical cavity with and without a bounded shell in infinite elastic medium[J].International Journal of Engineering Science,1997,35(12):1203-1220.

[17] 徐長節,吳世明.飽和土中球面波的傳播[J].應用數學和力學學報,1998,19(3):223-231.

[18] 徐長節,蔡袁強.粘彈性飽和土中球空腔的動力響應[J].土木工程學報,2001,34(4):88-92.

Dynamic characteristics of a deeply embedded spherical biogas digester in viscoelastic soil★

Qian Changgen Xiang Tianyong Wen Minjie*

(JiaxingVocationalTechnicalCollege，Jiaxing314036，China)

Using the analytical method, harmonic vibration characteristics of a deeply embedded spherical biogas digester in viscoelastic soil subject to the cyclic loading are investigated in frequency domain. The die structure is treated as homogeneous elastic medium and shell structure, respectively. Based on the theory of elastic and Flügge, the analytical solutions for dynamic responses of the spherical biogas digester in fractional derivative viscoelastic soil are derived. By the continuity conditions at the boundary, the expressions of undetermined coefficients are determined. On the basis, the comparative analysis of system dynamic response with homogeneous elastic medium and shell structure is derived. The influences of the parameters of fractional derivative, soil and die on the system dynamic response are analyzed. It is shown that the dynamic responses of die structure under two models have significant difference.

biogas engineering, viscoelastic soil, spherical biogas digester, harmonic vibration, analytical solutions

1009-6825(2017)18-0041-04

2017-04-18★：浙江省重點科技創新團隊項目(2013TD12)；國家國際科技合作專項項目(2014DFE90040)

錢長根(1966- )，男，碩士，副教授； 向天勇(1971- )，男，博士，副教授

聞敏杰(1986- )，男，博士生

TU411.8

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