基于灰色預測和Leslie模型的人口結構可持續發展的預測模型

李詠馨，閆云俠，吳夢晗，厲培培

（安徽財經大學 統計與應用數學學院，安徽 蚌埠 233030）

基于灰色預測和Leslie模型的人口結構可持續發展的預測模型

李詠馨，閆云俠，吳夢晗，厲培培

（安徽財經大學 統計與應用數學學院，安徽 蚌埠 233030）

針對人口結構現狀，以山西翼城為例，在不考慮二孩政策和考慮二孩政策兩種情況下，分別建立灰色預測模型和Leslie模型，運用MATLAB，對該地區的人口結構變化趨勢進行預測.

二孩政策；人口結構；灰色預測；Leslie模型；MATLAB

1 數據來源與模型假設

數據來自2016年五一數學建模聯賽.針對本題，我們做出了以下假設：(1)假設按照年齡為基準，分成20個組，年齡間隔為5歲，其中將95歲之后和更大年齡的人劃到一個組，且這部分人對人口數量變化影響甚微；（2）假設人口出生、死亡和性別比例對人口流動的影響非常少，可忽略不計；（3）假設所查詢的相關文獻的所有數據來源準確，可信，穩定，科學，沒有較大誤差；（4）假設較短時間內，平均年齡變化較小，可認為不變.

2 基于灰色預測的人口預測

2.1 研究思路

在這里我們對人口總數、出生率、死亡率、自然增長率、男女性別比例、人口密度和城鎮人口比重這七個指標分別建立灰色預測模型，預測未來20年的人口結構變化趨勢，并給出預測數據，主要根據2010到2014年五年間的數據.

2.2 模型的建立

因為預測未來20年人口結構是建立在等時距觀測基礎上，用觀測到的反映預測對象特征構造灰色模型，并對模型進行求解，預測出山西翼城區未來20年的人口結構變化趨勢.

本文把從2010到2014五年的數據做一次累加，建立白化式微分方程求解模型，根據此模型進行預測并檢驗精度.

設數列x(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))，做一次累加生成序列，得

設u=(a,b)T，按最小二乘法得到:u=(BTB)-1BTY1

則得到微分方程的解為:

我們根據2010到2014年數據得到山西翼城總人口數據:

x(0)=(312.72，315.67，320.85，326.36，331.47)(單位為萬人)

第一步:做一次累加生成

x(1)=(312.72，628.39，949.24，1275.6，1607.07)

第二步:確定數據矩陣B及Y1

第三步:求參數a和b(借助MATLAB軟件得到結果)

a=-0.1635，b=308.0019

因此得到總人口數的預測模型

x(k+1)=19151.364076e(0.01635*k)-18838.644075

其中k表示距離初始年的間隔年數，取0,1,2……

②殘差檢驗

得到的預測模型需經過檢驗，確定后方可使用.把k=2，k=3，k=4，k=5代入上模型并用MATLAB軟件計算得到生成模型計算數據，再把這些數據還原并得到:

從上面計算結果可見，由于模型預測值與實際值的誤差絕對值數據都＜0.5%，所以該預測模型比較精確.

綜上，我們做出2010到2014年五年內山西翼城總人口數實際數據和預測數據的直方圖，見圖1.

圖1 山西翼城區人口實際數據與預測數據直方圖

2.3 結果分析

該灰色預測模型已經檢驗為有效的，因此可以作為模型進行預測.下面預測2014年以后20年的山西翼城總人口數，當然利用此預測模型可以預測任何年的廢水排放量.把k=6，k=7，k=8，k=9，k=10，k=11，k=12，k=13，k=14，k=15，k=16，k=17，k=18，k= 19，k=20，k=21，k=22，k=23，k=24，k=25代入，利用MATLAB軟件對山西翼城2015年到2034年總人口數的發展趨勢做出預測，見表1:(單位:萬人)

表1 山西翼城區2015-2034年人口總數預測

由此我們做出2015到2034年二十年間山西翼城總人口數預測的散點圖，見圖2：

圖2 2015年到2034年山西翼城總人口數預測散點圖

由以上預測可知，未來20年內，山西翼城總人口數逐年增多.

3 基于Leslie模型的人口預測

3.1 研究思路

查閱大量相關資料，得到在全面放開二孩政策時，直接影響的是出生率這個人口結構指標，我們主要將年齡按照0-4歲、5-9歲、10-14歲、15-19歲、20-24歲、25-29歲、30-34歲、35-39歲、40-44歲、45-49歲、50-54歲、55-59歲、60-64歲、65-69歲、70-74歲、75-79歲、80-84歲、85-89歲、90-94歲、95歲以上進行分組，然后運用Leslie模型進行建模求解.

3.2 模型的建立

將男女性別進行分組，列向量是以女性某一初始時期的分年齡別人口數，分別用年齡別生育率和死亡率左乘年齡別人口數的列向量，得到的新的列向量，就是對未來女性人口的預測.然后，根據男女比例來推算出總的人口規模.

第t+1年為第1年齡組的女性人數為

第t+1年為第i+1年齡組的女性人口是從第t年第i年齡組存活下來的人口數：

構造Leslie矩陣

其中i?[i1,i2]時,bi=0

則（3.1）和（3.2）式可記為：

進一步地推公式可得到Leslie矩陣模型的預測公式：

所以只要已知L矩陣及初始女性人口分布向量x（0），就可以求出第t年女性人口的分布數量，從而再根據男女性別比推算出總人口的各項指標.

運用MATLAB軟件,構建Leslie人口預測模型，預測出全面二孩政策下，山西翼城區未來10-20年按年齡劃分的人口結構.使用EXCEL繪制折線圖反映A地不同年齡組人口數的變化趨勢，見圖3、圖4.

圖3 全面二胎政策對山西翼城不同年齡組人口數的影響

圖4 MATLAB運行結果

3.3 結果分析

在全面實行二孩政策時，觀測表格數據和散點圖，可知青壯年人口數和少年兒童人口數在總體上呈上升趨勢，上升幅度較為平緩，老年人口數在總體上呈下降趨勢，下降幅度也較為平緩.這說明，當我國全面實行二孩政策時，在未來十幾年內，老齡化問題有所減輕，結合中國當下國情及山西翼城區具體情況，分析可得在未來幾十年內放開二孩政策是對人口結構可持續發展比較有利的，因此山西翼城區因積極響應這項政策.

4 結束語

本文運用灰色預測和Leslie模型，模型完善，預測數據較為準確，貼近真實數據，比較適合用于解決同類問題.運用Leslie模型建立年齡結構的離散模型，并通過合理假設，在時間跨度不大的前提下，對人口數量僅此進行了預測，得到人口數量變化趨勢圖，利于分析問題.

〔1〕楊桂元.數學建模[M].上海:上海財經大學，2015.

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C924.2

A

1673-260X（2017）07-0103-03

2017-03-16

國家自然科學項目（11601001）；國家級大學生創新訓練項目（201610378172）；安徽財經大學教研項目（acjyzd201429）