一類具有安全干預措施的禽流感傳播模型

王來全,夏米西努爾·阿不都熱合曼

（1.昌吉職業技術學院 基礎部，新疆 昌吉 831100；2.新疆大學 數學與系統科學學院，新疆 烏魯木齊 830046）

一類具有安全干預措施的禽流感傳播模型

王來全1,夏米西努爾·阿不都熱合曼2

（1.昌吉職業技術學院 基礎部，新疆 昌吉 831100；2.新疆大學 數學與系統科學學院，新疆 烏魯木齊 830046）

考慮了一類具有安全干預措施的禽流感傳播模型,給出了禽類系統和人禽共患系統的無病平衡點的全局漸近穩定和地方病平衡點的局部漸近穩定的條件.進一步研究了疾病在人群中的持久性,討論了安全干預措施在禽流感預防中的效果[1].

禽流感；安全干預措施；基本再生數；漸近穩定

1 引言

禽流感是一種人禽共患的致命性流感疾病,對養殖業和公共衛生危害嚴重，雖然疫苗的研究取得了很大發展,但由于禽流感病毒抗原復雜且易變異,亞型多且各亞型間缺乏明顯的交叉免疫,給疫苗的應用帶來了很大的困難,預防禽流感仍需采取嚴格的生物安全措施.近年來,對禽流感流行病學特征的研究成果較多[1-4]，應用傳染病數學模型揭示禽流感傳播規律的研究逐漸重視[5],文[6-7]研究了對患有禽流感的人群實施分段治療的傳播模型,文[8]討論了具有飽和治療率的SIR模型.但很少有人研究具有安全干預措施的禽流感傳播模型的穩定性,為此，我們討論了具有干預措施的禽流感傳播模型,說明安全干預措施對預防禽流感的傳播具有良好的效果.在本文,我們把禽場工作人員或與禽類密切接觸的人群視為高危人群,其他人群為低危人群,且在感染率不同的情況下,假設對高危人群實施安全干預措施,討論了禽類系統和人禽共患系統的無病平衡點和地方病平衡點的穩定性和疾病的持久性.最后,分析了安全干預措施對預防禽流感傳播的效果,為控制禽流感在人群中蔓延提供策略.

2 數學模型的建立

X(t)表示易感禽類數量，I1(t)表示禽類感染的數量，S1(t)，S2(t),I2(t),R(t)分別表示t時刻低危易感、高危易感、染病和康復的人群數量，Q為禽類輸入常數，d為禽類的自然死亡率，m1為對禽類的溢出率（因患有禽流感進行捕殺移除等），β1為禽類的感染率，c1為易感禽類與病禽的有效接觸次數,M為人群輸入常數，v1為低危人群向高危人群的轉化率,v0為對高危易感人群實施的安全干預措施，β2,β3分別是低危和高危易感人群接觸病禽的感染率,且β3＞β2,μ為人群的自然死亡率,m2為人群的溢出率,c2,c3為在單位時間內病禽與低危和高危人群發生接觸行為的平均次數,且c3＞c2，k為對染病人群的治療率,根據生物意義,以上參數均大于0.其中:N1(t)=X(t)+I1(t),N2(t)=S1(t)+S2(t)+I2(t)+R(t).假設模型滿足初始條件X(0)＞0,Ii(0)≥0,Si(0)＞0(i=1,2),R(0)≥0.

3 禽類系統分析

r0＞1時,系統(1)的前兩個方程不含S1(t),S2(t),I2(t),R(t),因此,要分析系統(1)的地方病平衡點e*的全局穩定性只需研究如下系統

定理1當r0≤1時,e0是全局漸近穩定的.

顯然,系統(2)有唯一的地方病平衡點e*,由(2)在e*處Jacobian矩陣的特征值得,當r0＞1時,地方病平衡點e*局部漸近穩定.下面應用Bendixson-Dulac原理,證明系統(2)不存在周期解,說明地方病平衡點e*是全局漸近穩定的.

定理2當r0＞1時,系統(2)不存在周期解.

因此,系統(2)不存在周期解，從而得到如下定理.

定理3當r0＞1時,地方病平衡點e*全局漸近穩定.

4 人禽共患禽病系統分析

考慮人禽共患禽病系統，則只需討論如下系統

當r0≤1時,易得系統(3)的無病平衡點

r0＞1時,定義病禽感染人群系統的基本再生數

當r0＞1,且R0＞1時，系統(2)存在正平衡點

其中:

類似定理1,易于得到如下定理.

定理4當r0≤1時,系統(3)的無病平衡點E0全局漸近穩定.

下面我們分析系統(3)的地方病平衡點E*的局部漸進穩定性.令則系統(3)在點處的線性近似方程為

其中:

我們通過討論系統(4)在平衡點(0,0,0,0)處的全局漸近穩定性來說明系統(3)在地方病平衡點E*(S1*,S2*,I2*,R*)處的局部漸近穩定性[9].

定理5如果r0＞1，且R0＞1,那么系統(3)的地方病平衡

證明構造Lyapunov函數:V(x,y,z,w)={x(t)+y(t)+z(t)+w(t)}2,沿著系統（4）對V(x,y,z,w)求導數得:

因而,當r0＞1,且R0＞1時,要使V(x,y,z,w)=0當且僅當x(t) =y(t)=0,z(t)=w(t)=0根據Lyapunov-Lasalle定理,地方病平衡點E*是局部漸近穩定的.

5 安全干預措施在禽流感預防中的效果

安全干預措施主要有:強化高危易感人群的健康教育,加強疫情監測,做好對養禽人員的消毒防護,妥善處理禽類的糞便、病禽飲用過的水源等.在傳染病學中,基本再生數R0是區分疾病流行與否的閾值,為此我們討論基本再生數R0的相關參數:安全干預措施v0與R0的關系.當r0＞1時,對R0關于安全干預措施v0求導數得

類似的,我們討論基本再生數R0的相關參數:禽類因病捕殺的溢出率m1與R0的關系進行討論,當r0＞1時,對R0關于禽類溢出率m1求導數得

顯然,基本再生數R0關于安全干預措施v0為單調遞減的函數,故對高危易感人群實施安全干預措施可以降低禽流感在人群的傳播.同理,由(6)式可知,禽類的溢出率m1與R0成單調遞減關系,進而說明了及時捕殺染病的禽類是控制禽流感在人群中傳播的有效途徑.

6 結論

我們考慮了一類具有安全干預措施的禽流感傳播模型,得到了禽類系統中禽流感流行的基本再生數r0和人群中禽流感傳播的基本再生數R0,當r0＜1時,無病平衡點全局漸近穩,當r0＞1且R0＞1時,地方病平衡點持久.最后,應用禽流感傳播模型評估了對高危人群實施安全干預措施和及時捕殺染病的禽類對預防禽流感傳播的影響.

〔1〕Fasina FO,Ifende VI,Ajibade AA.Avian influenza A (H5N1)in humans:Lessons from Egypt[J].Euro Surveill, 2010,15(4):19473.

〔2〕GirardMP,TamJS,AssossouOM,etal.The2009A (H1N1)influenza virus pandemic:A review[J].Vaccine, 2010,28(31):4895-4902.

〔3〕閆鐵成,肖丹,王波，等.中國大陸130例人感染H7N9禽流感病例流行病學特征分析[J].中華疾病控制雜志, 2013,17(8):651-654.

〔4〕Iwami S.Takeuchi Y.Korobeinikov A,Liu X.Prevention of avian influenza epidemic:What policy should we choose[J].Theor Biol,2008,252:732-741.

〔5〕Rao D M，Chernyakhovsky A,Rao V.Modelling and analysis global epidemiology of avian influenza[J].Environmental Modelling and Software,2009,24:124-134.

〔6〕Wang W.Backward bifurcation of an epidemic model with constant removal rate of the infectives[J].J Math Anal Appl,2004,291:775-793.

〔7〕郭樹敏,姚峰,李志學.一類具有治療的禽流感模型分析[J].數學的實踐與認識,2015,45(1):192-196.

〔8〕Zhang X,Liu X.Backward bifurcation of an epidemic model with saturated treatment function[J].J Math Anal Appl,2008,348:433-443.

〔9〕Zhang T L,Jia M h,Luo H B,et al.Study on a HIV/ AIDS model with applieation to yunnann province,China[J].Applied Mathematical Modelling,2011,35(4):4379-4392.

O175.1

A

1673-260X（2017）07-0004-02

2017-04-03

國家自然科學基金項目資助（11261056）；昌吉職業技術學院自然科學課題（CJZY2016026）