關于一類具有負系數的廣義單葉函數的性質

何濤，周海燕

（赤峰學院 數學與統計學院，內蒙古 赤峰 024000）

數理研究

關于一類具有負系數的廣義單葉函數的性質

何濤，周海燕

（赤峰學院 數學與統計學院，內蒙古 赤峰 024000）

本文引進了一類具有負系數的廣義單葉函數.首先從屬關系和初等方法討論了了該類中函數的積分表達式和系數不等式、由此推出偏差、覆蓋、閉包定理和極值點.最后，討論該類中函數的Hadahard卷積的封閉性質.所得結果推廣了文[1]中的主要結果并得到新結果.

單葉函數；系數不等式；積分表達式；hadahard卷積

1 引言

用S(a,k)表示在單位圓盤Δ＝{z:|z|＜1}內解析且單葉函數

全體組成的類.令T(a,k)表示S(a,k)中的具有負系數單葉函數的子類：

本文引進如下函數類：

定義設A,B∈N,a＞0,|A|≤1,|B|≤1,A≠B.函數f(z)∈S (a,k)屬于函數類Pk(a,A,B)當且僅當

由上述定義,f(z)∈Pk(a,A,B)當且僅當在Δ中存在解析函數w(z)：w(0)=0,|w(z)|＜1,使得

等價于

令

本文中,作者先證明屬于函數類Pk(a,A,B)的積分表達式、充分條件,并討論其子類TPk(a,A,B)一些基本性質,得到類中函數的系數不等式、偏差、覆蓋、閉包定理和極值點等性質,推廣在文[1]中的主要結果.并進一步討論類中函數Hadahard卷積的封閉性質.

2 主要結果及其證明

本文中,參數k,A,B,a均滿足條件:k,A,B∈N,k≥2,a＞0, |A|≤1,|B|≤1,A≠B.

首先,給出積分表達式：

定理1函數f∈Pk(a,A,B)當且僅當

其中w(z)為解析函數且滿足w(0)=0,|w(z)|＜1.

證明根據從屬關系可知,函數f∈TPk(a,A,B)當且僅當(1.3)式成立,由此推出積分表達式.

其次，給出系數不等式并由此推出基本性質：

定理2設函數f(z)∈S(a,k),若滿足條件

則f(z)∈Pk(a,A,B)

證明設不等式（2.2）成立.令|z|=1,由f(z)∈Tk(a)和利用（2.2）得到

定理3設函數f(z)∈Tk(a),則

(1)當-1≤B＜A≤1,B≤0時,f(z)∈TPk(a,A,B)的充要條件為

(2)當-1≤A＜B≤1,B≥0時,f(z)∈TPk(a,A,B)的充要條件為

證明因TPk(a,A,B)?Pk(a,A,B),所以由定理2可知,定理3的充分性顯然成立.只需證明必要性即可.先證明（1）的必要性.

設f(z)∈TPk(a,A,B),則由（1.4）得到

由于對于所有的|Re|z||≤|z|,所以

使用z→1-時,從（2.5）可得到(2.3)式.

用相同的方法容易（2）成立.如果取函數

則（2.3）和（2.4）式均能達到準確值.證畢.

定理4若f∈TPk(a,A,B),|z|=r,則

(1)當-1≤B＜A≤1,B≤0時,有

(2)當-1≤A＜B≤1,B≥0時,有

證明(1)設f∈TPk(a,A,B),由定理3中（1）可知

因此

此外

和

從而(1)成立.用相同的方法證明(2).證畢.

定理5設函數f(z)∈TPk(a,A,B),則函數

也屬于函數類TPk(a,A,B).

證明由（2.6）式,得到

因f(z)∈TPk(a,A,B),分兩種證明.當-1≤B＜A≤1,B≤0時利用定理3中（1）可知

由定理3推出,F(z)∈TPk(a,A,B).同理,當-1≤B＜A≤1, B≥0時,利用定理3中（2）容易證明F(z)∈TPk(a,A,B).證畢.

定理6設c是實數且c＞-1,k≥2,又設F(z)∈TPk(a,A, B),則（2.6）式定義的函數f(z),在|z|＜R*是單葉的,其中

證明設

由(2.6)式,得到

要得到結果,只要在|z|≤R*時,需滿足條件|f'(z)-a|≤a或

如果則有|f'(z)-a|≤a,而有定理3,得

因此,如果

或者

（2.6）式將滿足,f(z)在|z|≤R*為單葉函數.

如果取函數

就能達到準確值.證畢.

定理7設k∈N,k≥2,a＞0,如果函數

屬于類TPk(a,A,B),則當也屬于TPk(a,A,B)類.

證明由于f(z)∈TPk(a,A,B),由定理3可得到

因此

因此hTPk(a,A,B).證畢.

定理8設

則函數f∈TPk(a,A,B)的充要條件為

其中λn＞0和

證明（充分性）設

因此

因此由定理3可知f∈TPk(a,A,B).

（必要性）設f∈TPk(a,A,B),由定理3推出

設

因此

證畢.

最后,討論類中函數的Hadahard卷積的封閉性.

定理9設

若|a|A-B||≤k(1+|B|)(k≥2),則f1*f2(z)∈TPk(a,A,B).

證明因為f1(z)∈TPk(a,A,B)(i=1,2),由定理3可得到

要證明(f1*f2)(z)∈TPk(a,A,B)，只需證明

利用Cauchy-Schwarz不等式,從(2.8)得到

即（2.9）式成立.證畢.

注：定理3-定理8中分別取a=1,-1≤B＜A≤1時.就得到[1]中的全部結果.

〔1〕Vinod Kumar,On Univalent Functions with Negative and Missing Coeffients[J].Journal of Mathematical Research and Exposition,1984,4:27–34.

〔2〕P.L.Duren,Univalent Functions[M].Grundlehren der Mathematis chen Wissenschaften,Vol.259,Springer-Verlag, New Yorkr Berlinr Heidelbergr Tokyo,1983.

O174

A

1673-260X（2017）07-0001-03

2017-03-14