時滯依賴狀態的半線性微分包含的可控性分析?

李文勝 楊陳東

（西安航空學院理學院西安710077）

時滯依賴狀態的半線性微分包含的可控性分析?

李文勝 楊陳東

（西安航空學院理學院西安710077）

利用Dhage多值映射不動點定理結合算子半群理論，在公理化定義的相空間上，研究一類非局部初始條件下時滯依賴狀態的半線性微分包含的可控性。

時滯依賴狀態；算子半群；微分包含

Class NumberO175.22

1 引言

近年來，微分包含理論已得到廣泛關注和應用，因此這些系統受到越來越多的研究，各種結果相繼建立［1～6］。

本文主要考慮一類時滯依賴狀態的半線性微分包含：

其中A是Banach空間(X，‖·‖)中強連續半群(T(t))t≥0的無窮小生成元；L2(J，U)是容許控制函數構成的Banach空間，控制函數u(·)在L2(J，U)中取值，U是一個Banach空間；P(X)是X的所有非空子集類；F:J×B→P(X)是有界閉凸值多值映射，g:C(J，X)→X是給定的函數；B是一個抽象的相空間；xt:(-∞，0]→X，屬于抽象的相空間B， xt(s)=x(t+s)，s≤0。

2 預備知識

L(X)是從X到X的有界線性算子構成的Banach空間。一個可測函數x:J→X是Bochner可積當且僅當‖x‖是Lebesgue可積，更多有關Bochner積分的性質參見文獻［7］。L1(J，X)是Bochner可積的連續函數x:J→X組成的Banach空間，賦予范數

有關公理化定義的相空間B，可參見文獻［8］。

引理1［9］若集值映射F有非空緊值且全連續，則F是上半連續的當且僅當F有閉圖像（即當xn→x*，yn→y*，yn∈F(xn)時，有y*∈F(x*)。

定義1稱F:Rτ×B→P(X)為Caratheodory集值映射，假如

1）對每個ψ∈B，t→F(t，ψ)是可測的；

2）對任意的t∈Rτ，ψ→F(t，ψ)為上半連續的。

引理2［9］若F為Caratheodory多值映射，且對給定的ψ∈B，集合SF，ψ={∈L1(Rτ，X):f(t)∈fF(t，ψ)，t∈Rτ}是非空的，Γ:L1(Rτ，X)→C(Rτ，X)為線性連續映射，則Γ°SF:C(Rτ，X)→Pcp，cv(C(Rτ，X))，y→(Γ°SF)(y)=Γ(SF，y)是C(Rτ，X)× C(Rτ，X)上的閉圖算子。

定義2函數x:(-∞，a]→X稱為問題（1）～（2）的溫和解，如果對任意的s∈J，有x0=φ，xρ(s，y)∈B，并且滿足：

s

引理3［10］如果多值映射Γ1:X→Pbd，cl，cv(X)和Γ2:X→Pcp，cv(X)滿足：

1）Γ1是壓縮的；

2）Γ2是全連續的；

那么

1）當λ=1時，算子包含λx∈Γ1x+Γ2x有一個解，或者

2）集合{u∈λΑ1u+λΓ2u，0＜λ＜1}是無界的。

3 主要結果

為了討論問題（1）～（2）的可控性，假定以下條件成立：

H1.函數t→φt從R(ρ-)={ρ(s，ψ):ρ(s，ψ)≤0，(s，ψ)∈J×B}到B上是連續的，且存在一個連續有界函數Jφ:R(ρ-)→(0，∞)，使得對每個t∈R(ρ-)，有‖φt‖B≤J?(t)‖φ‖B。

H2.線性算子W:L2(J，U)→X定義為Wu=T(b-s) Bu(s) ds，W有一個在L2(J，U)/kerW中取值的誘導逆算子，并且存在正常數M1，M2，使得

H3.T(t)是緊算子，且存在一個常數M＞0，使得當t∈J時，‖T(t)‖≤M。

H4（1）F:J×B→Pbd，cp，cv(X)，對每個ψ∈B，t→F(t，ψ)是可測的；對任意的t∈J，ψ→F(t，ψ)是上半連續的；對固定的ψ∈B，集合SF，ψ= {f∈L1(J，X):f(t)∈F(t，ψ)a.e.t∈J}是非空的。

H4（2）存在一個可積函數m:J→[0，+∞)和一個連續非減函數W:[0，∞)→(0，∞)，使得‖F(t，ψ)‖=sup{‖f‖:f(t)∈F(t，ψ)}≤m(t) W(‖ψ‖B)，(t，ψ)∈J×B。

H4（3）Hd(F(t，ψ1)-F(t，ψ2))≤MF‖ψ1-ψ2‖B，(t，ψ)∈J×B。

備注1［11］設φ∈B且t≤0。φt為定義成φt(θ)=φ(t+θ)形式的泛函。由此可知，如果泛函x(·)使得x0=φ，則有xt=φt。

備注2令Ma=supt∈JM(t)，Ka=maxt∈JK(t)，且M*=Mmax{eωa，1}。

定理1假設H1～H4成立，如果

則系統（1）～（2）在J上是可控的。

證明：利用假設H2，對任意的x()·，可定義控制：

ux(t)=W-1{x1-T(b)[φ(0)-g(x)]-T(b-s) f(s) ds}(t)其中SF，xˉρ={f∈L1(J，X):f(t)∈F(t，xˉρ(t，xt))，a.e.t∈J}，xˉ:(-∞，a]→X滿足xˉ0=φ，且在J上xˉ=x。

令Br={x∈X:‖x‖PC≤r}，對任意的r＞0，易知Br是X中的一個有界閉凸子集。

考慮空間Bˉ0a={z∈Bˉa:z0=0}。記‖·‖a是Bˉ0a的半范數且定義為

顯然(Bˉ0a，‖·‖a)是一個Banach空間。

考慮如下算子：Γ:Ba→P(Ba)

0

0

將Γ分解為Γ=Γ1+Γ2，其中

為了應用引理3，將證明分為如下幾步：

第一步，Γ1是在Br上是壓縮的。

因此

第二步，Γ2是全連續算子：

1）易知Γ2(Br)是有界的。

2）Γ2(Br)是等度連續的。

假如t1，t2∈J，t1＜t2。設z∈Br，?1∈Γ2(z)，則存在f∈SF，zρ，使得

則

其中r**=(Ma+Jφ+MHKa)‖φ‖B+Kar。

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因為T(t)是強連續的并且T(t)，(t＞0)是緊的，所以T(t)，(t＞0)是一致算子拓撲連續的。又因t2→t1且ε充分小，所以上述不等式的右邊趨于零并且與x∈Br無關。因此Γ2把有界集映成等度連續集。

3）對每個t∈J，(Γ2Br)(t)={?ˉ1(t):?ˉ1∈Γ2(Br)，t∈J}是相對緊的。

當t=0時，顯然Γ2(Br)(t)在X中是相對緊的。假如0＜t≤a是固定的且0＜ε＜t，對任意的z∈Br和?ˉ1∈Γ2(y)，存在f∈SF，xˉ，使得

ρ

由算子T(ε)的緊性可知

因為

不等式右端當ε→0時，一致收斂于零。存在相對緊集序列無限逼近于集合所以集合是X中的相對緊集。

類似于文獻［3］，Γ2是全連續多值映射，根據Arzela-Ascoli定理可以得出Γ2是全連續多值映射。由引理3知，微分包含問題（1）～（2）是可控的。

4 結語

利用集值映射不動點定理結合算子半群理論，在微分包含有關理論及給定條件的基礎上，先將系統轉化成積分方程，然后按照給定的不動點定理，逐步證明了時滯依賴狀態的半線性微分包含的可控性。此分析方法對同類系統可控性的研究具有促進意義。

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Controllability for Semilinear Differential Inclusions with State-dependent Delay

LI WenshengYANG Chendong
（Faculty of Science，Xi'an Aeronautical University，Xi'an710077）

In this paper，a sufficient condition for the controllability of a semilinear differential inclusions is established with state-dependent delay.The approach used is the Dhage multi-valued fixed-point theorem combined with operator semigroups.

state-dependent delay，operator semigroups，differential inclusions

O175.22

10.3969/j.issn.1672-9722.2017.07.002

2017年1月9日，

2017年2月13日

國家自然科學基金（編號：11161027）；陜西省教育廳科研項目（編號：15JK1379）；西安航空學院科研基金

（編號：2014KY1210）資助。

李文勝，男，碩士，講師，研究方向：算子理論。楊陳東，男，碩士，研究方向：計算機科學與技術。