基于損傷理論的金屬漸進破壞數值模擬有限元單元網格依賴性研究

江金鋒

【摘 要】為了研究金屬漸進破壞數值模擬結果對有限元單元網絡精度的依賴性，本文對裂紋擴展平面以及垂直裂紋擴展方向進行了不同網格精度的計算分析，得出了金屬漸進破壞數值模擬結果對有限元單元網絡精度的依賴性結果。

【關鍵詞】金屬漸進破壞；數值模擬；有限元網格；依賴性

有限元計算的效率和網格密切相關，在保證計算精度的基礎上，我們希望單元的尺寸越大越好，這樣能大大地提高計算效率，為理論研究和算法設計應用于工程實際當中提供有利條件。

基于損傷理論的延性斷裂算法應用對象是單元的積分點，當損傷值達到閾值后單元的刪除其實是單元積分點的刪除。在工程實際當中，構件上出現的宏觀最小可見裂紋的尺寸為0.1mm。因此，為了更好地進行模擬裂紋的萌生及擴展，在沿裂紋擴展路徑上的單元尺寸要相當小，如果更改單元尺寸是否會對計算結果造成影響。與此同時，顯示動力學算法本身就有穩定限制，其穩定步長決定于模型當中尺寸最小單元的尺寸，單元越小，穩定步長越小，計算成本越高。

本節針對12.5mm厚度的典型CT試樣，進行了XY平面（裂紋擴展平面）內以及Z方向（垂直裂紋擴展平面）不同網格尺寸下的延性斷裂數值計算。

1 損傷理論簡介

斷裂問題是一個高度非線性問題，因此就必須采用損傷力學的方法來處理金屬材料斷裂問題。由于塑性變形本身是不可逆的，因此可以在塑性變形和損傷累積之間建立關系，這種建模方法也被稱為累積的應變損傷方法。那么，損傷累積過程就可以采取對塑性變形進行加權積分的形式進行，如下式所示：

2 XY平面（裂紋擴展平面）內網格尺度的依賴性

這里的XY平面定義為垂直于裂紋擴展平面，同時保證模型沿Z方向（厚度方向）的網格密度一致（沿Z方向劃分兩個單元）。本節模擬了四種不同尺寸單元條件下模型的斷裂過程，分別為0.1×0.1（mm）、0.2×0.2（mm）、0.3×0.3（mm）和0.4×0.4（mm）。

分別提取四種單元尺寸下模型計算結果中的P-V曲線組成如圖1所示，隨著單元尺寸的增大，最大載荷隨之增加，且達到最大載荷時的位移值也會增大，這說明損傷的累積相對滯后了。因此，在CT模型斷裂計算過程當中，模型對XY平面內的網格依賴性是不能忽略的。

3 沿Z方向（垂直裂紋擴展平面）網格尺度相關性

同樣地，在研究沿厚度方向（Z方向）網格依賴性時必須保證模型網格在XY平面內的密度一致，本節設定XY面內沿裂紋擴展方向上最小網格尺寸為0.1mm。在此基礎上，模擬了三種不同尺度單元下模型的斷裂過程，其尺度分別為3.125mm、0.625mm、0.3125mm。

在上節中進行數值驗證時為了節省計算時間，在沿厚度方向都劃分了兩個單元，即沿厚度方向單元尺寸為3.125mm。由于單元尺寸較大，因此裂紋沿厚度方向的擴展過程不能得到很好地考察。本節中，當最小單元尺寸為0.3125mm時，就可以觀察裂紋沿厚度方向的擴展細節。裂紋最先出現在模型的沿Z方向的對稱面上，由于建模時沿方向只建了一半，故此處正是實際試件的厚度中心處。因此雖然整個試件不符合平面應變條件，但是試件中心處受三向應力狀態最嚴重，斷裂最先出現在該處。在裂尖試件中心處出現裂紋后，裂紋開始往前和往上發展，裂紋達到試件表面時，裂紋在內部已經擴展了一部分。因此實際試驗中肉眼觀測到有裂紋出現時，在試件內部，裂紋早于此時已經萌生。

提取各個計算結果的P-V曲線組成圖1。由圖1可以看出，沿厚度方向單元尺寸不同對結果影響并不大。因此，本文所采用的模型在斷裂過程對沿厚度方向的網格依賴性可以忽略不計，前面研究內容所采用的最小單元尺寸為3.125mm的模型所得到的結果是可靠的，這一結果可以在后面的應用當中繼續使用。

4 結論與展望

本文研究了金屬漸進破壞數值模擬與有限元單元網格依賴性，結果顯示：裂紋擴展平面內網格劃分的大小對數值模擬的結果影響較大，不能忽略；垂直于裂紋擴展平面方向網格劃分的大小對數值模擬的結果影響較小。

在有限元數值模擬過程中，單元劃分得越密，計算時所消耗的時間越長，相應的計算成本就會越高。而且，工程實際當中往往會有很多大尺寸結構零部件，用小網格來進行分析勢必會非常的煩瑣。因此，為了算法本身的經濟性及工程適用性，在保證精度的前提下應該優先選擇大尺寸單元進行分析，后續應著重研究在選擇大尺寸單元計算時保證計算結果的準確性。

[責任編輯：張濤]