基于憶阻器的時滯混沌系統及偽隨機序列發生器?

吳潔寧王麗丹?段書凱

1)(西南大學電子信息工程學院,重慶 400715)2)(非線性電路與智能信息處理重慶市重點實驗室,重慶 400715)(2016年6月21日收到;2016年10月7日收到修改稿)

基于憶阻器的時滯混沌系統及偽隨機序列發生器?

吳潔寧1)2)王麗丹1)2)?段書凱1)2)

1)(西南大學電子信息工程學院,重慶 400715)2)(非線性電路與智能信息處理重慶市重點實驗室,重慶 400715)(2016年6月21日收到;2016年10月7日收到修改稿)

憶阻器作為可調控的非線性元件,很容易實現混沌信號的產生.基于憶阻器的混沌系統是當下研究的熱點,但是基于憶阻器的時滯混沌系統目前卻鮮有人涉足.因此,本文提出了一個新型憶阻時滯混沌系統.時延的存在增加了系統的復雜性,使系統能夠產生更豐富、更復雜的動力學行為.我們對提出的憶阻時滯混沌系統進行了穩定性分析,確定了顯示系統穩定平衡點的相應參數區域.討論了在不同參數情況下的系統狀態,系統呈現出形態各異的混沌吸引子相圖,表現出豐富的混沌特性和非線性特性.最后,將系統用于產生偽隨機序列,并經過實驗驗證,我們提出的系統具有良好的自相關性和互相關性,同時能獲得相對顯著的近似熵.該時滯混沌系統具有復雜的動力學行為和良好的隨機性,能滿足擴頻通信和圖像加密等眾多領域的應用需要.

憶阻器,時滯混沌,穩定性分析,隨機性分析

1 引 言

憶阻器是Chua[1]于1971年提出的一種具有記憶功能的非線性電阻,2008年惠普(HP)實驗室Strukov等[2]數學推導出了HP憶阻器模型,并且物理實現了憶阻器,制造出了世界上第一個憶阻器.此后,憶阻器日益受到學術界的重視,在非線性科學領域、神經網絡領域、材料科學領域都得到廣泛的關注和研究[3?6].憶阻器作為可調控的納米級器件,在非線性領域有著巨大的應用前景,可以開拓性地推進這類傳統領域的發展.由于憶阻器的電荷和磁通具有奇對稱的特性[7,8],Itoh和Chua[9]運用一個磁通控制的分段線性憶阻器模型替換了蔡氏混沌電路中的蔡氏二極管,實現了第一個基于憶阻器的混沌系統.Muthuswamy和Kokate[10]采用運算放大器和乘法器等基本電子元件實現了一個憶阻器等效電路,并用光滑憶阻器模型代替蔡氏混沌電路中的蔡氏二極管,實現了一些新的憶阻混沌電路.在這些開創性研究的推動下,越來越多的探索致力于各類憶阻混沌系統的研究[11?14].近年的研究中,基于憶阻器的多渦卷混沌系統、分數階混沌系統、超混沌系統都呈現出了豐富的動力學特性[15?17],但是目前鮮有人提出基于憶阻器的時滯混沌系統.

自從提出描述生理控制系統的Mackey-G lass方程以來[18],越來越多的研究致力于探索時滯動力系統的動力學行為.時延的存在增加了系統的復雜性,使系統能夠產生更豐富、更復雜的動力學行為.許多自然系統可以用非線性時滯微分方程(DDE)進行數學建模[19],比如白血病人的產血機制的Mackey-G lass模型、光學雙穩態諧振器動力學的Ikeda系統、厄爾尼諾和南方濤動(ENSO)、神經網絡、種群動態、腫瘤生長、基因調控網絡、控制系統等[20?24].引入延遲的非線性系統中最主要的復雜性是相空間中有限維到無限維的變化,可能導致系統的不穩定性以及許多復雜的現象,比如混沌、超混沌、多穩定性、分岔、振蕩消失等.混沌系統可以應用到保密通信系統、基于混沌的噪聲發生器、傳感器的改善以及機器人的運動功能中.由于這些原因,我們旨在設計能產生混沌現象的簡單的時滯系統[25].因此,尋找一個封閉形式的數學函數作為非線性部分的時滯動力系統值得特別關注.此外,時滯混沌系統穩定性的分析和控制設計也是目前研究的熱點,因為它們恰當地描述了真實的物理情況.

本文在經典Mackey-G lass系統的基礎上,利用憶阻器的憶阻值和電荷之間的非線性函數關系,提出了一種新的非線性時滯混沌系統.我們對所提出的憶阻時滯混沌系統進行了穩定性分析,確定了系統相應的穩定平衡點的參數區域,討論了系統在不同參數情況下的穩定性.發現了系統在不同參數情況下呈現出多樣的混沌吸引子相圖,具有豐富的混沌特性和非線性特性.新的時滯混沌系統所產生的偽隨機序列具有良好的自相關性和互相關性,同時能獲得相對顯著的復雜度,表明本文所提出的新的時滯混沌系統具有復雜的動力學行為和良好的隨機性,可以作為新型的擴頻序列應用于信息安全領域中.本文下面的內容安排如下:第2部分介紹了本文提出的憶阻時滯混沌系統的數學模型;第3部分計算了系統的平衡點并對每個平衡點進行了穩定性分析,確定了系統的參數范圍;第4部分發現了系統在不同參數情況下具有豐富的非線性運動軌跡,對其進行了數值仿真,并驗證了系統在不同參數情況下的系統狀態;第5部分通過對提出的系統所產生的偽隨機序列的相關性和復雜度的計算和仿真,對憶阻時滯混沌系統的隨機性和復雜性進行了研究和分析;第6部分對整個工作進行了總結.

2 一個新的時滯混沌系統模型

本文提出一個基于憶阻器的時滯混沌系統,其方程如下:

這里a,b是系統參數;τ是延遲時間;x(t)是憶阻器的電荷;M(.)表示憶阻值與電荷x之間的函數[14],

D是憶阻薄膜器件的厚度,M(0)是憶阻器的初始值,RON和ROFF分別代表當TiO2?x層的厚度為D和0時的極限憶阻值,μV是氧空穴的平均遷移率.本文中憶阻參數設置為:RON=10?,ROFF=2 k?, μV=10?15m2.s?1.V?1,M(0)=1 k?,D=1 nm.憶阻值與電荷x之間的函數關系如圖1所示.

圖1 憶阻器的憶阻值電荷的函數關系曲線Fig.1.Thememristance-charge curve ofmemristor.

3 平衡點分析

將方程(1)表示成如下形式以分析系統的穩定性:

則我們得到系統的平衡點為

從(6)式,我們可以分別得到關于x和xτ的Jacobian矩陣,即

系統的特征方程為

3.1 τ=0時平衡點的穩定性

當τ=0時,由特征方程(11)式可以得到

1)當x?＜c1時,系統的平衡點為,特征根λ=?a;當x?≥c2時,系統的平衡點為,特征根λ=?a.所以,在任意的參數a＞0的情況下,都是穩定的平衡點.

2)當c1≤x?＜c2時,系統的平衡點為,特征根λ=?a+bk.當特征根λ存在負實部時,平衡點是穩定的.固當a＞bk時,為穩定的平衡點.

由(5)式及相應的憶阻參數可知k的值為負數,固綜上(1)和(2)式我們得到當τ=0時平衡點穩定的條件為

所以當τ=0,且參數a,b滿足以上條件時,系統的平衡點為漸近穩定的.(13)和(14)式為選擇系統參數的第一個條件.

3.2 τ/=0時平衡點的穩定性

在系統存在時延τ的情況下,對系統平衡點的穩定性討論如下.

1)同樣地,由(8)—(11)式可知,當x?＜c1和x?≥c2時,τ＞0時系統的平衡點和特征方程與3.1節討論的τ=0時的平衡點和特征方程相同,即在任意的參數a＞0的情況下,和都是穩定的平衡點.

2)當c1≤x?＜c2時,由(8)式,系統的平衡點為,此時系統的特征方程為一個指數方程:

設λ=μ+i v,其中μ和v為實數.平衡點的漸近穩定性發生在特征方程所有的根都存在負實部時.如果μ的值從虛部變到實部,則μ＜0代表穩定狀態,μ＞0代表分岔狀態,μ=0代表極限情況,即當μ=0時平衡點的穩定性會發生改變,出現臨界穩定曲線.下面我們假設μ=0,將λ=i v代入特征方程(11):

由(17)式的實部和虛部我們可以分別得到

聯立(18)和(19)式可以得到

當且僅當|Jτ|＞|J0|時成立,即|bk|＞a(這里我們設a＞0),(由憶阻參數知k的值為負).由(18)式可得到

這里n=0,±1,±2,...,當且僅當Jτ/=0,即bk/=0時成立.因此對于|Jτ|＞ |J0|及確定的v(當v＞ 0時),在(τ,a,b)參數空間中,對于任一曲線如果的值是負的,而其他曲線的值為正,則可以判定穩定域存在于的值為負的兩條曲線之間:

(22)式中n=0,1,2,...,(23)式中n=1,2,...,n選取不同的值是為了分別滿足兩式中的τ為正.同樣地,當v＜ 0時,存在一組與(22)和(23)式相同的方程,此時n的取值為負數,以保證τ的值為正.在τ＞ 0的條件下,為了確定曲線τ1(n),τ2(n)包含的穩定域,需要分析這些曲線對應的或者的特性,當導數的值為負時即為所求的臨界曲線.由(11)式系統的特征方程,我們有

特征方程(24)式兩邊同時對τ求導:

由(24)式可知,bk e?λτ= λ+a,代入(26)式:

將μ=0時λ=i v代入(27)式:

所以(28)式的實數部分為

因此可見

對于τ1(n)和τ2(n)均成立.由(24)式知,當τ=0時,λ=?a+bk,所以當bk?a＜0時μ＜0,平衡點是穩定的.我們注意到條件(30)式否定了多穩定域的存在,因為若有第二個穩定域存在,當n＞0時存在的曲線,但是由以上的推導得出所有的的值均為正,不存在這樣的曲線,并且穩定域不存在于任意兩個相鄰的τm(n)(m=1,2)之間[19].以上這些條件都意味著這里只存在一個穩定域:即在(a,b)參數空間中的τ=0和(τ,a,b)參數空間中的臨界曲線τ1(0)之間,緊鄰τ=0的區域.圖2中的實線部分為τ1(n)(n=0,1,2)、劃線部分為τ2(n)(n=1,2).從以上分析我們得出,τ=0和τ=τ1(0)之間的區域是惟一的穩定域,由圖2中的有色區域表示.其中對于τ1(0)來說,而在μ的負值到正值的范圍內,其他曲線τ2(n)＜τ＜τ1(n)(n＞0)都不滿足所需的平衡條件,因此它們都屬于非穩定域.

圖2 (網刊彩色)a=1時參數空間τ-b的穩定域.實線部分表示τ1(n)(n=0,1,2),劃線部分表示τ2(n)(n=1,2),陰影部分為平衡點的穩定域Fig.2.(color online)The stability region of the parameter spaceτ-b when a=1.The solid lines denote τ1(n)(n=0,1,2),the dashed lines denote τ2(n)(n=1,2)and the shaded area is the stability region of equilibriumpoint.

從以上的討論中我們總結出c1≤x?＜c2時系統的平衡點的穩定性如下.

4 數值仿真

我們使用龍格庫塔方法對系統方程(1)進行數值求解.通過選擇不同的參數值可得到系統不同的動態范圍.下面我們保持憶阻參數不變,研究當參數a,b,τ取不同值時,系統的動態變化.

這里保持憶阻參數的值不變以及令b=1,τ=1.61,改變參數a的值.當參數a的值在適當的范圍內變化時,我們發現系統會呈現出不同的運動軌跡.其中當a的取值在1附近時,系統會產生混沌吸引子、周期軌道等豐富的動力學行為.圖3顯示了當a分別取0.7,0.8,0.992,1.1時系統的相圖.由圖3可以看出,系統對于參數a的變化極其敏感,參數a極小的改變都會使系統呈現出完全不一樣的相圖軌跡.由3.2節的分析可知,圖3中的參數條件滿足,此時系統的平衡點是漸近穩定的.

4.1 系統隨參數a的變化

圖3 保持b=1,τ=1.61,系統隨參數a變化的相圖 (a)a=0.7;(b)a=0.8;(c)a=0.992;(d)a=1.1Fig.3.Phase d iagramof the systemwith parameter a when keepb=1 andτ=1.61:(a)a=0.7;(b)a=0.8;(c)a=0.992;(d)a=1.1.

4.2 系統隨參數b的變化

保持憶阻參數的值不變,我們令a=1,τ=1.61,改變參數b的值.由3.2節的分析我們知道,當時,特征方程(15)所有的特征根都存在負實部,所有τ1(n)和τ2(n)都是臨界曲線,平衡點在整個參數范圍內都是穩定的.現在我們取b的值小于這個臨界值,觀察其相圖.由以上參數,可得,我們觀察到,由于k的值極大,導致臨界值極小,則此時滿足b的值小于臨界值的數量級變得很小.圖4(a)—(c)中|b|的取值小于臨界值,此時系統的平衡點是穩定的,我們觀察到即使在參數b的值取這么小數量級的情況下,系統仍能產生混沌現象,并且混沌吸引子軌跡豐富、形態各異.同時,在實驗中我們得到,當b的值大于并大于10?5時,系統都能產生形如圖4(d)的混沌吸引子,并且隨著參數b的變化,吸引子的形狀不發生變化但吸引子的大小會隨b的增加而增大,吸引子在坐標軸上的位置會隨b的取值進行平移,相圖中吸引子的中心坐標(x(t?τ),x(t))總是位于(10b,10b),如圖4(d)所示.從圖4顯示的參數b取不同值時所對應的相圖可以看出,當a=1,τ=1.61時,系統在參數b的動態范圍內總是能呈現出豐富的混沌現象.

圖4 當a=1,τ=1.61,參數b取不同的值時所對應的系統相圖 (a)b=10?8;(b)b=3×10?8;(c)b=5×10?8;(d)b=2Fig.4.Phase diagramof the systemwith parameter b when keepa=1 and τ =1.61:(a)b=10?8;(b)b=3×10?8;(c)b=5×10?8;(d)b=2.

4.3 系統隨時延τ的變化

令a=1,b=1以及保持憶阻參數值不變.如圖5所示,當適當地改變時延τ的值時,系統呈現出形態各異的混沌吸引子相圖.與圖3和圖4相比,改變時延τ比改變參數a或參數b的值時系統呈現出更多不同的運動軌跡,表現出了系統復雜的混沌特性和非線性特性.并且圖5(f)顯示出,當τ=1.61時,系統的混沌現象最豐富.由3.2節分析可知,此時的參數條件滿足b＞?a/k,平衡點在τ∈(0,τ(0))的范圍內是穩定的,在τ∈ (τ(n),τ(n+1))時是不穩定的. 由(22)式,此時,圖5中所取的τ的值均不在(0,τ(0))的范圍內,固此時系統的平衡點是不穩定的平衡點.

當a=1,b=1,τ=1.61時,系統的時域波形如圖6所示.圖6為x(t)和x(t?τ)相對于時間t的波形,可以看出系統產生的時間序列具有非周期性.系統對初值的敏感特性如圖7所示,藍色曲線為x0=10.005的時域波形,紅色曲線為x0=10.0050001的時域波形.可以看到即使初始值只相差0.000001,時域波形在一段時間之后呈現出截然不同時域軌跡,表現出系統對初值變化的極端敏感性.圖8顯示了系統的頻譜圖,可以看出系統的頻譜是連續譜,并且有一系列的峰值,進一步說明了系統(1)的混沌特性.

圖5 當a=1,b=1,改變時延參數τ時所對應的系統相圖 (a)τ=1.21;(b)τ=1.52;(c)τ=1.56;(d)τ=1.6;(e)τ=1.605;(f)τ=1.61;(g)τ=1.66;(h)τ=1.97Fig.5.Phase diagramof the systemwith parameterτwhen keepa=1 and b=1:(a)τ=1.21;(b)τ=1.52;(c)τ=1.56;(d)τ=1.6;(e)τ=1.605;(f)τ=1.61;(g)τ=1.66;(h)τ=1.97.

圖6 時域波形圖 (a)狀態變量x(t)的時域波形;(b)狀態變量x(t?τ)的時域波形Fig.6.The time domain waveform:(a)The time domain waveformof the state variab le x(t);(b)the time domain waveformof the state variab le x(t?τ).

圖7 (網刊彩色)狀態變量x(t)對初值的敏感性Fig.7.(color on line)The sensitivity of the state variab le x(t).

5 混沌偽隨機序列的特性

混沌運動雖然可以用確定的狀態方程描述,但是其長期的行為表現出明顯的不確定性和隨機性.考慮到混沌系統天然的隨機性,我們運用一種簡單的截取混沌軌跡的部分或全部二進制比特的方法來產生偽隨機序列,減少了算法代價:令Li=(30000×x)mod 255,再將Li轉換為二進制數,并把所有Li(i=1,2,3,...,N)以二進制的形式連接起來保存為1×N的數組,即為此系統產生的混沌偽隨機序列.

5.1 混沌偽序列相關性分析

二值偽隨機序列的一個重要應用領域是可以用于擴頻通信.在擴頻通信中,擴頻碼的自相關函數特性決定擴頻系統的多址、跟蹤、捕捉和抗干擾能力,擴頻碼的互相關性決定擴頻系統的抗多址干擾的能力.混沌序列相關特性的好壞,直接影響實際應用中的工作性能.

圖8 系統的頻譜圖Fig.8.The power spectrumof systemtoinitial value.

設Lxi為關于x(t)的偽隨機序列,Lyi為關于x(t?τ)的偽隨機序列,則自相關函數為

互相關函數為

其中i=1,2,3,...,N,N為序列長度,m為相關間隔.

取N=40000,計算出時滯混沌序列的自相關和互相關特性的波形如圖9所示.實驗結果表明,憶阻時滯系統產生的偽隨機序列具有良好的自相關性和互相關性.并且從相關性圖9可以看出,本文憶阻混沌系統產生的相關特性波動小,比較穩定,能滿足圖像加密和擴頻通信等眾多領域的應用的需要.

圖9 新系統產生混沌序列的相關性 (a)自相關;(b)互相關Fig.9.The correlation of chaotic sequences generated by the newsystem:(a)Self-correlation;(b)crosscorrelation.

5.2 時滯混沌系統復雜度分析

混沌偽隨機序列作為新型的擴頻序列可以應用于信息安全領域中,所以對混沌偽隨機序列的復雜度分析顯得尤為重要.近似熵、模糊熵等方法可以描述混沌軌道隨時間演化信息的產生率,并以此來度量混沌序列的復雜程度和隨機性[26].計算近似熵的方法如下:

對于一個長度為N的序列L(1),L(2),...,L(N),定義一個m維的向量組X(1),X(2),...,X(i),...,X(N ?m+1)∈ Rm,其中,

取任意兩向量對應元素之間差值的絕對值的最大值,計算出任意向量X(i)與X(j)之間的最大距離

給定一個閾值r(r＞0),對于第i個X(i),將滿足條件d[X(i),X(j)]＜r的個數與N?m的比值定義為

ApEn表示向量集隨著m的增大產生信息的概率,產生信息概率越大,ApEn的值就越大,固序列的復雜度越大,它反映了混沌運動的復雜程度.

對于混沌偽隨機序列而言,由于偽隨機序列的取值是離散的,是一種特殊情況.因為計算ApEn要求選擇較小的r,所以r的取值可以選擇離散序列集的最小距離,這里對于混沌偽隨機序列我們選擇r=0.

按照上述方法求近似熵,我們令N=4000,m=2,r=0,分別求出四個時滯混沌系統所產生的隨機序列復雜度,計算結果如表1所列.從表1中四個時滯混沌系統所產生的隨機序列對應的近似熵的值可看出,本文所提出的新的憶阻時滯混沌系統產生的混沌偽隨機序列的近似熵相對較大,說明新系統的復雜度很高,表明了本文新的憶阻時滯混沌系統具有潛在的混沌優勢.

表1 混沌系統產生偽隨機序列的近似熵Tab le 1.Approximate entropy of pseudorandomsequence generated by time-delayed chaotic system.

6 結 論

為了獲得更為復雜的動力學行為的混沌吸引子,不斷改善混沌系統已成為混沌動力學研究中的重要課題.因此,本文提出了一個具有復雜動力學行為的新的憶阻時滯混沌系統.本文利用憶阻器天然的非線性特性,構造出將憶阻值與電荷之間的函數關系作為非線性部分的具有單個延遲時間的新的時滯混沌系統.通過對系統的穩定性分析,確定了適當的時延參數和系統參數.并分析了參數變化對系統動力學行為的影響,用數值仿真描述了一系列具有不同時間延遲參數和系統參數的相圖,不同的參數組合和細微的參數改變便可使系統呈現完全不同的相圖軌跡,同時也驗證了系統具有豐富的非線性特性.將系統用于產生偽隨機序列,驗證了系統所產生的偽隨機序列具有良好的自相關性和互相關性,同時獲得了相對顯著的復雜度,表明本文所提出的新的時滯混沌系統具有豐富和復雜的動力學行為以及良好的隨機性,可以作為隨機序列發生器應用于信息安全領域中.

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PACS:05.45.Ac,05.45.Pq,05.45.Tp,02.30.KsDOI:10.7498/aps.66.030502

Amemristor-based time-delay chaotic systems and pseudo-randomsequence generator?

Wu Jie-Ning1)2)Wang Li-Dan1)2)?Duan Shu-Kai1)2)

1)(School of Electronic and Information Engineering,Southweat University,Chongqing 400715,China)2)(Chongqing Key Laboratory of Non linear Circuits and Intelligent Information Processing,Chongqing 400715,China)(Received 21 June 2016;revised manuscript received 7 October 2016)

memristor,time-delayed chaotic,stability analysis,randomness analysis

10.7498/aps.66.030502

Memristor,a controllable nonlinear element,is easy togenerate a chaotic signal.More significantly,it can improve the complexity of the chaotic systemand the randomness of signals.Although thememristor chaotic systemis a hot spot of research currently,little attention has been paid tothe memristive time-delayed chaotic system.Therefore,a newmemristor-based time-delayed chaotic systemis proposed in this paper.We construct the time-delayed chaotic systemwith single delay time by using the non linear relationshipbetween the memristance and charge ofmemristor.The existence of time delay enhances the complexity of chaotic system,which makes the systemproduce richer and more complex dynamics.In order tostudy the complex dynamic characteristics of thismemristive time-delayed system,we investigate the proposed systemby theoretical derivation,numerical simulation,stabilization of equilibriumpoints,and power spectrum.In addition,the corresponding parameter region of the stable equilibriumpoint of the systemis discussed in detail.Then,we discuss the eff ect of parameter variation on the dynamic behavior of the system,and a series of phase diagrams with diff erent time-delayed parameters and systemparameters is described by numerical simulation.We find that diff erent combinations of parameters and slight changes of parameters can make the systema completely diff erent phase diagram,which indicates that the proposed systemhas rich nonlinear characteristic.Moreover,the proposed time-delayed systemis used togenerate pseudorandomsequences,and the experimental resu lts showthat the proposed systemhas good self-correlation,cross-correlation,and the significant approximate entropy.According tothe theoretical analyses and experimental results,we conclude that the proposed newtime-delayed chaotic systemhas complex dynamic behavior and good randomness,which can meet the needs of the applications in spread spectrumcommunication,image encryption and many other fields.This research provides a significant reference for further studying the usage ofmemristor.

?國家自然科學基金 (批準號:61372139,61672436,61571372)、新世紀優秀人才支持計劃(批準號:教技函[2013]47號)和中央高校基本科研業務費專項資金(批準號:XDJK2016A001,XDJK2014A009)資助的課題.

?通信作者.E-mail:ldwang@swu.edu.cn

*Project supported by the National Natu ral Science Foundation of China(G rant Nos.61372139,61672436,61571372),the Programfor NewCentury Excellent Talents in University of Ministry of Education of China(G rant No.[2013]47),and the Fundamental Research Funds for the Central Universities,China(G rant Nos.XDJK2016A001,XDJK2014A009).

?Corresponding author.E-mail:ldwang@swu.edu.cn