同等級圓度誤差的轉子系統動力學分析

袁雪鵬，徐武斌，李冰

（1.欽州學院，廣西欽州535011；2.廣西科技大學，廣西柳州545006）

同等級圓度誤差的轉子系統動力學分析

袁雪鵬1，徐武斌2，李冰2

（1.欽州學院，廣西欽州535011；2.廣西科技大學，廣西柳州545006）

對于批量生產的轉子系統各個部件，處于同一圓度，但由于部件個體的微觀差異，必然導致處于同一圓度誤差的轉子系統各動靜態特性各不相同。基于統計學原理，找出處于同一圓度誤差轉子系統的上下極限，并判斷圓度誤差處于該區間的概率是否滿足機械正常要求。然后，分析滑動軸承系統動態特性的區間概率，并與無誤差情況下進行比對，發現圓度誤差對系統動態特性的影響處于某個區間內，且特性敏感程度不一。為滑動軸承系統的誤差設計提供理論依據。

圓度誤差等級；Sommerfeld Number；轉子系統；Reynolds方程

轉子系統作為旋轉機械的核心，它的穩定性直接關系到旋轉機械的運行安全。由于圓度誤差和油膜厚度處于同一個量級上，故研究圓度誤差對轉子系統的穩定性影響也逐步深入。國內外通過不同的模型來表征圓度誤差，如用橢圓度來表征圓度誤差[1]，凸臺組合表征圓度誤差[2]，用正玄函數表征圓度誤差[3]的微觀形狀來研究圓度誤差對轉子系統動力學特性的影響。而實際上圓度誤差具有一定隨機性[4]，由于圓度誤差的隨機性必將導致處于同一圓度誤差等級的轉子系統的動力學特性存在一定差異。

本文以帶有隨機圓度誤差軸的滑動軸承轉子系統為研究對象，建立其動力學模型，分析處于同一圓度等級的轉子系統動力學特性，為滑動軸承系統的誤差設計提供理論依據和參考。

1 隨機圓度誤差滑動軸承系統油膜力模型

建立如圖1所示的軸頸圓度誤差滑動軸承油膜力模型，其中Ob為軸瓦軸心，Oj軸頸中心，e為偏心距，h為油膜厚度，h0為無圓度誤差油膜厚度，△h表示隨機圓度誤差值，Ф為轉子處于穩定狀態時的姿態角，θ為轉子的位置角，則有其幾何關系可以得到其帶有隨機圓度誤差的油膜厚度。

其中，ε=e/c，er為圓度誤差等級誤差值。

圖1 隨機圓度誤差滑動軸承油膜力模型

雷諾方程是得到油膜力的基本方程，當流體滿足一定條件時[5，6]，Reynolds方程可寫為：

其中，x、z為滑動軸承的圓周方向和徑向坐標；p為轉子系統油膜壓力；μ為潤滑液的動力粘度；U為表面速度（切向和徑向）；t為時間。

轉子系統分析的一般步驟為：利用Reynolds方程，同時配合雷諾邊界條件得到系統油膜壓力分布p（x，z），如圖2所示。

圖2 轉子系統油膜分布

在得到油膜壓力以后，需要利用數值積分和坐標轉換得到x，z方向的油膜分力，這樣就可以進行動力學分析。

2 確定隨機圓度誤差上下極限

為驗證同一批轉子系統零件，由于處于同一圓度誤差等級下，其轉子系統動靜態特性敏感程度不一，故以軸頸圓度誤差等級12級為例，按照隨機圓度誤差生成方式[4]，隨機得到100組數據，并分別求對應的臨界轉速、偏心率、以及Sommerfeld Number列于表1.

表1100 組Sommerfeld Number

用Sommerfeld Number來表示系統穩定性以及動態特性的影響，在得到Sommerfeld Number的區間以后，在這個區間的邊界值上，找到相對應的隨機數、臨界轉速和偏心率，樣就可以畫出Sommerfeld Number的穩定區間，如圖3所示。

圖3 Sommerfeld Number誤差區間

對于處于同一等級圓度誤差的滑動軸承轉子系統，需通過數理統計得到其系統處于此區間的概率，用統計過程控制，可以統計出Sommerfeld Number落在這一區間的概率。如圖4所示，滿足機械正常概率要求。

圖4 Sommerfeld Number誤差區間概率圖

3 滑動軸承動靜態系數影響

3.1 系統穩定性臨界轉速

為了方便表述轉子系統穩定性，引入無量綱參數運行參數Op[7]來更加準確表述系統穩定性。穩定運行參數Op表述如下：

式中：mr為轉子質量；c為軸承間隙；ω為轉子角速度；Fs表示作用在軸承上的載荷。

由圖5可以看出處于同一等級圓度誤差的滑動軸承系統，由于微觀的不同使得穩定性曲線存在一個區間。當偏心率大于0.6的情況下，同一圓度誤差精度等級對系統的影響是一樣的，圖中重合部分；當偏心率在0.3至0.6之間時，這個區間也是大多數轉子系統工作的主要區域，兩者處于基本平行，也表示同一精度等級的圓度誤差對轉子系統的影響存在一區域，對相同的承載能力其臨界轉速不同，Sommerfeld Number大的其臨界轉速相對比較大；當偏心率小于0.3時，由圖中可以看出同一圓度誤差精度等級在這一區域對系統的影響不再處于平行狀態，相同精度等級的軸承在行位誤差相貌不同的情況下，在同樣載荷F的作用下，其臨界轉速變化較大。

圖5 轉子系統穩定性臨界曲線誤差區間帶

3.2 徑向軸承軸頸上的摩擦阻力[8]

由于雷諾邊界條件以及微小忽略項不計則上式可最終化簡為（具體過程不在此推導）：

則功耗為：

由圖6可以看出同一等級圓度誤差對轉子滑動軸承轉子系統的能量損失的影響不是很大，其影響主要集中在偏心率小于0.3的區域。

圖6 功耗誤差區間帶

3.3 承載能力的計算[9]

滑動軸承系統的承載能力常常采用無量綱特性數Cp來表示，即

其中，ψ為軸承間隙比，即ψ＝c/r；c為軸承的半徑間隙；r為軸頸半徑；w為軸頸轉速；Pm為軸承上的平均壓強，Pm=F/BD；D為軸承直徑。

由圖7，同一等級圓度誤差對無量綱軸承特性的影響很明顯存在一個區間帶，而且與Sommerfeld Number區間相比可以看出兩個參數所表達的意思相同都是軸承承載能力。可以看出一定的軸頸圓度誤差對滑動軸承的承載力有一定的提升，而對于同一等級圓度誤差，Sommerfeld Number大的其承載能力則反而減小。

圖7 無量綱軸承特性參數曲線誤差區間帶

3.4 溫升[10]

滑動軸承間隙中摩擦熱大部分有潤滑劑流出而帶出，少部分通過輻射、傳導和對流散出去。潤滑油帶出部分所占比例稱為散熱比K。嚴格計算K值十分困難，壓力供油軸承通常取K=0.8~1.0，非壓力供油軸承通常取K=0~0.2.

因此，轉子系統油溫升△θ的計算式為：

式中，cp為潤滑油的比定壓熱容；ρ為潤滑油的密度；q為潤滑油的流量。

對于礦物油可取cpρ＝1.8×106J/（m3·K）.則相對于臨界狀態下的潤滑油溫升如圖8所示。

圖8 溫升曲線誤差區間帶

由溫升曲線誤差區間帶圖可知：同一等級圓度誤差對轉子系統溫升影響幾乎相同，即同一批滑動軸承之間的溫升相差無幾。由于軸頸隨機圓度誤差相對于普通轉子系統會在偏心率相同情況下減小系統的溫升。

4 結論

本文在建立帶有圓度誤差的轉子系統動力學模型，并進行求解；研究處于同一等級圓度的轉子系統，由于微觀形狀的不同，圓度誤差對穩定性運行參數Op、功耗、溫升、無量綱特性數Cp、Nummber Number的影響，發現其影響存在一個區間，且系統各參數對其敏感程度不一。

[1]張宏獻，徐武彬，王鎮江，等.橢圓度對橢圓滑動軸承穩定性的影響[J].中國機械工程，2011（20）：2466-2469.

[2]曾海景.考慮圓度誤差對滑動軸承轉子系統摩擦功率損耗的影響[D].柳州：廣西科技大學，2012.

[3]Hassan E.Rasheed.Effect of surface waviness on the hydrodynamic lubrication of a plain cylindrical slidingelement bearing[J].Wear，1998，2231.

[4]袁雪鵬，徐武彬，李冰，等.隨機圓度誤差的滑動軸承轉子系統Sommerfeld Number判定[J].機械研究與應用，2014（06）：5-8.

[5]Ogrodnik P J.Operation of Rotor-bearing Systems Subjected to Dynamic Conical Misalignment[D].Staffordshire，UK：Staffordshire University，1989.

[6]楊成，徐武彬，李冰，等.滑動軸承轉子結構參數對油膜力的影響[J].機械設計與制造，2015（09）：76-80.

[7]徐武彬，王鎮江，陳其兵，等.基于Sommerfeld數的滑動軸承轉子系統穩定性分析[J].中國機械工程，2009，23：2875-2879.

[8]成大先.機械設計手冊.軸承[M].北京：化學工業出版社，2004.

[9]毛謙德，李振清.袖珍機械設計師手冊[M].北京：機械工業出版社，2007.

[10]機械設計手冊編委會.機械設計手冊：單行本．滑動軸承[M].北京：機械工業出版社，2007.

Dynamic Analysis of Hydrodynamic Journal Bearings Allowing for Roundness Error With some level

YUAN Xue-peng1，XU Wu-bin2，LI Bing2
（1.Qinzhou University，Guangxi Qinzhou 535011，China；2.Guangxi University of Science and Technology，Liuzhou Guangxi 545006，China）

For batch production of parts in rotor system，at the same roundness，but due to the microscopic differences between individual components，so lead to in the same roundness error of the rotor system dynamic and static characteristics of each are not identical.Based on statistics theory，and find out the upper and lower limits of the same roundness error of the rotor system，and estimate the probability of roundness error in the area，whether meet the requirements of mechanical normal.Then，analyze the dynamic characteristics of sliding bearing system in the area，and compare the normal，it finds that the impact of the roundness error on the system dynamic characteristics in a certain range，and characteristics are different.As to provide theoretical basis for the error of the sliding bearing system design.

roundness error level；sommerfeld number；rotor system；reynolds equation

TH113

A

1672-545X（2017）06-0004-04

2017-03-02

國家自然科學基金項目（51265004）

袁雪鵬（1989-），男，河南新蔡人，助教，碩士研究生，主要研究方向：轉子動力學。