關于凸極小化的Douglas-Rachford分裂方法的一個注

康倍倍，董云達，王亞麗

(鄭州大學 數學與統計學院，河南 鄭州 450001)

關于凸極小化的Douglas-Rachford分裂方法的一個注

康倍倍，董云達，王亞麗

(鄭州大學 數學與統計學院，河南 鄭州 450001)

在一個實的無窮維Hilbert空間中，研究關于凸極小化的Douglas-Rachford分裂方法.假設目標函數中的f和g均為閉的真凸函數，并且f的梯度是Lipschitz連續的.分析了Douglas-Rachford分裂方法的弱收斂性，其中鄰近參數可以變化并且上界與f的梯度的Lipschitz常數有關.

凸極小化；Douglas-Rachford分裂方法；鄰近參數；弱收斂性

0 引言

設H為一個實的無窮維Hilbert空間，假設f,g:H→R∪{+∞}是閉的真凸函數，并且f還是連續可微的.考慮下面的凸極小化問題：

該問題在優化、控制、管理以及信息科學中有著極為廣泛的應用.在適當的條件下，相應的最優性條件:

0∈f(x)+?g(x).

(1)

Douglas-Rachford分裂方法[1-2](以后簡稱DR方法)是解決此問題的一個經典方法.任取z0∈H,λ>0，相應的迭代格式為：

最近，在f的梯度是L-Lipschitz連續的條件下，Davis[3]證明了當λ<κ/L(κ≈1.246 98)時，

f(yk)+g(yk)-f(x*)-g(x*)=o(1/k),

成立，其中x*是問題(1)的一個解點.

在本文中，筆者討論DR方法的等價形式[2,4]:任取x0∈H，相應的迭代格式:

xk-λk；

(2)

xk+1+λkf(xk).

(3)

其中,λk>0被稱為鄰近參數，它在每次迭代中可以有所變化.

筆者主要證明了若鄰近參數序列同時滿足:

則{xk}弱收斂于問題(1)的一個解點.

對比于Davis的工作，在每次迭代中，允許鄰近參數有所變化，并且其上界更優.

1 預備知識

在這一節中，給出幾個重要的引理.

則有

f(x)≤f(y)+〈x-y,f(y)〉+‖x-y‖2，

(4)

(5)

其中性質(5)由Baillon等[5]最早提出.

引理2[4]考慮任一極大單調算子T:H→H.假設domT中的序列{xk}弱收斂于某一點x,并且H中的序列{sk}強收斂于某一點s，若sk∈T(xk)對于每一個都成立，則s∈T(x).

引理3[6]若{ak}，{bk},{ck}均為正數序列，并且滿足：