基于離散小波變換的梯度下降優化算法的壓縮感知研究

陸澤茜+嚴春滿

摘 要 在壓縮感知的研究中，測量矩陣的優化是其中很重要的一個領域。基于此提出一種離散小波變換的梯度下降優化算法，首先構造Gram矩陣，定義相關系數以其表征采樣效率，引入小波分解對原信號進行預處理，在逐層分解中表現稀疏性。采用經典分簇網絡模型作為研究基礎。在梯度所搜索的方向增加一個方向向量，達到優化測量矩陣性能的目的。選擇高斯隨機矩陣，部分哈達瑪矩陣為測量矩陣，比較不同優化算法，在實驗模擬的結果中，本文方法都有一定的優勢。

關鍵詞 壓縮感知 測量矩陣 離散小波變換 互相干系數

中圖分類號：TN92 文獻標識碼：A

1基于離散小波變換的梯度下降優化算法

針對無線傳感器網絡中傳統測量矩陣方法無法滿足數據采集需求的問題。本文提出一種基于離散小波變換基的梯度下降混合算法，對原始測量矩陣進行優化。

1.1建立測量矩陣的優化體系

針對測量矩陣與稀疏矩陣的非相關性，建立測量矩陣的優化模型，矩陣的非相關性可等價為各列歸一化互相關系數的最大值。假設€%O為測量矩陣，€%q為稀疏矩陣，相關系數為衡量€%O和€%q之間的相關性，系數越小不相關性越強。令D=€%O€%q，表示對D所有列向量進行列歸一化處理之后的矩陣，則相關系數€%e可定義為中任意兩個向量間內積的最大值，即表達式（1）所示：

1.2信號的三層小波分解模型

為了解決優化模型描述的問題，引入小波分解對原始信號進行預處理。離散小波變換基是稀疏表示中常用的正交基，是一種數學分層分解工具，對信號降噪有其明顯的效果。文獻指出測量矩陣要采樣的系數主要集中在系數序列的低頻部分，因此在對信號進行了小波分解之后，在相同采樣條件下，測量矩陣的測量系數可以保持較重要的信息量，從而提高了信號的重建效果。

式中g（n）=（-1）nh1-n（n∈Z）。由于采集信號的多樣性，小波基和分解層數的選擇是影響信號去噪能力和重構成功率的關鍵因素，如果層數過多會丟失信息嚴重，而層數過少去噪效果下降，都會對信號重構帶來反作用，因此本文暫采用3層離散小波變換的實驗環境，對采集信號進行分解處理。三層小波分解恰到好處，既能達到信號的降噪目的，又能保留足夠多的數據信息，使其信號的重構成功率趨于穩定。

2仿真實驗

本文為了驗證本文優化方法的性能，實驗選取信號長度N為256稀疏度為K=10的諧波信號作為測試對象，分別選擇高斯隨機矩陣、部分哈達瑪矩陣為測量矩陣進行模擬采樣，優化方法分別使用本文方法和基于特征值分解的測量矩陣優化方法、基于梯度迭代實現對測量矩陣的優化方法兩種方法進行對比分析。

2.1測量矩陣優化前后的相關性比較

由于相關系數是衡量測量矩陣和稀疏變換矩陣相關性的關鍵特性，因此結合實驗一的數據分析結果，通過改變觀測數量M再次比較優化前后測量矩陣與傅里葉基的相關性，如圖1所示。

通過實驗對比可知，在相同觀測值下，本文方法與特征值分解法和梯度迭代法兩種優化方法對比，相關性均有所提高，其中通過本文方法優化后相關性更小，并且隨著采集信號觀測次數的增加非相關性增強，說明新的優化方法能夠滿足測量矩陣的優化體系。

2.2小波分解對算法優化性能的影響分析

在實際應用環境中，影響信號的噪聲不可避免，而且是影響信號重構誤差的最大因素，引入小波分解對原始性號進行處理，降低信號的維數的同時保留較為重要的信息量。所以，在實驗過程中對模擬信號增加正態分布、的噪聲驗證本文優化算法的魯棒性，如圖2所示。

3結論

實驗結果顯示，在噪聲影響下兩種優化方法的重構成功率均有波動，在穩定性方面，本文算法仍高于其他兩種方法，遠高于未優化的測量矩陣效果，而且本文方法對高斯隨機測量優化后對信噪有一定的抗性，信號重建誤差比較平穩。這說明，信號通過離散小波變換后有明顯的降噪能力。通過此方法能夠降低原測量方法的數據空間復雜度，提高算法的收斂速度，增強測量矩陣與稀疏矩陣的非相關性。實驗對比分析，該方法收斂速度快，數據重構成功率明顯高于傳統測量方法，降低了測量矩陣設計和實現難度，提高了降噪能力，適合在低采樣率網絡環境中應用。

參考文獻

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