基于速度勢法的水電站進水塔彎曲自由振動解析解

黨康寧+王媛+宋志強+劉云賀+張希

摘要：介紹了基于速度勢解析算法求解水電站進水塔在水中彎曲自由振動的方法。分析進水塔的主要受力特點，為引入流體速度勢解析算法對結構進行簡化和假設。以分布參數梁體系推導得到無水時進水塔彎曲自由振動頻率方程，根據速度勢拉普拉斯方程確定了所求解問題的邊界條件，通過內外水壓力表達式建立進水塔的彎曲自由振動方程。推導振動方程得到頻率方程，經過數學軟件編程求解，最終可得到結構振型和頻率。推導過程表明流體速度勢法是將水體轉化成與塔體振型相關的質量附加于結構，從而影響結構的振動。與數值方法對比和探討，分析了兩者異同，提出本文方法適用范圍。結果表明，本文解法可以引入內外含水矩形橫截面進水塔的彎曲自由振動問題的求解，為下一步進水塔地震響應分析提供一種新的思路。

關鍵詞：進水塔；彎曲自由振動；速度勢法；解析方法；流固耦合

中圖分類號：TV312 文獻標識碼：A 文章編號：1672-1683（2017）04-0142-06

Abstract：This paper introduces the velocity potential analysis method for solving the free bending vibration of an intake tower in water in a hydroelectric power station.It analyzes the basic mechanical characteristics of an intake tower and makes some simplification and hypothesis for the structure in order to introduce the velocity potential analysis method.The frequency equation of the free bending vibration of a standalone intake tower is derived from the distribution parameter beam system.The boundary conditions of the problem are determined according to the Laplace equation of the velocity potential.The bending vibration equation of the intake tower is established via the expression of internal and external water pressure.The frequency equation is derived from the vibration equation.The structural vibration mode and frequency can be obtained through mathematical software programming.The derivation shows that the fluid velocity potential method converts the water into added mass that is associated with the vibration mode of the tower and thus affects the vibration of the structure.This paper then compares this method with the numerical method，analyzes their similarities and differences，and proposes the scope of application of this method.Results show that this method can be used to solve the free bending vibration problem of intake towers with a rectangular cross-section and water on both the inside and the outside，and provides a new way of thinking for further analysis of the seismic response of intake towers.

Key words：iintake tower；free bending vibration；velocity potential method；analytic method；fluid-solid coupling

水電站進水塔為高聳的懸臂結構，一般情況下，進水塔處于水體包圍中，內外均有不超過結構高度的流動水體。因高寬比較大結構抗彎剛度相對較柔，在水庫中受到的風、地震等橫向荷載作用[1]起主導作用。地震時結構-流體耦聯情況下結構的響應一直為學者積極研究的問題，水體對結構的影響機理及處理方法備受關注[2-3]。

對于水中結構響應的研究，從20世紀30年代開始學者便對水中柱體的彎曲自由振動進行研究，并取得一些成果[4-6]。速度勢解析方法以其理論基礎完善、求解結果精確、更能反映問題內在機理等特點，很早便在固體和流體耦合領域采用。國內學者在20世紀80年代、90年代對水中結構的自由振動問題進行了大量的研究：張悉德對部分埋入水中的懸臂圓柱體和橢圓柱體的彎曲自由振動進行了研究[7，8]，首次給出柱水耦聯體系振型函數的精確解和以有限階行列式表示的頻率方程。周叮、朱永誼、陳怡然等學者[9-14]研究了貯液圓筒、橢圓筒、圓環形貯液容器等多種截面形狀的水中結構自由振動問題，亦考慮表面波，不同深度等因素的影響，導出了貯液圓筒的振型函數及固有頻率的精確計算公式。以上研究著眼于解決工程問題，以水中實心或空心圓柱、橢圓柱結構為主，采用速度勢解析方法，結構沒于水中或高于液面，內部有水或僅外部有水等情況求解其水中振型函數及固有頻率。對于水中進水塔的振動問題，采用解析算法的研究較少，董育堅[15]對拉普拉斯表示的動水壓力用數值法求解該方程，并采用有限元理論詳細推導了矩形截面進水塔的地震動水壓力。

進水塔為內外充水，部分淹沒于水中的高聳懸臂式結構，其邊界條件較為簡單，與上述研究結構既有很多相似之處也有不同：進水塔橫截面為矩形，中空薄壁，振動時內外動水壓力應共同對結構產生影響。因此，如嘗試將流固耦合的解析算法推廣到此類結構上具有重要意義。本文根據進水塔的主要受力特點，將其等效簡化為受彎曲振動的梁結構，將速度勢解析方法引入求解塔體-水體耦聯彎曲振動，為其后續地震作用下結構響應提供基礎，也為研究類似水中中空矩形截面結構提供一種新的思路和方法。

1 基本模型

1.1 塔水耦合模型及簡化假設

文獻[16]通過對進水塔動水壓力的研究表明地震荷載作用下，順水流方向動水壓力遠大于水體重力對進水塔的影響，且慣性耦合作用主要存在與水流水方向。本文研究對象為考慮平面內（沿X軸向）彎曲的進水塔，圖1示意了塔-水耦合體系。

3 本文方法結果分析和討論

帶入具體數據后便能夠得到計算結果，為分析本文解析方法適用范圍，同時使用有限元軟件進行數值計算比對分析。以某實際工程的洪洞進水塔為依據，提取其主要特征尺寸，得到各具體參數如下（符號代表的含義見圖1）：進水塔塔高度H=81 m，塔體橫截面尺寸：a=2.34 m，b=6.78 m，c=7 m，d=14 m；塔體材料彈性模量E=2.8×1010 Pa，塔體密度ρ0=2 500 kg/m3。塔內外水位高度相同均為h=75 m，水的密度為ρ=1 000 kg/m3，水的體積彈性模量取一個大氣壓下20攝氏度時值，為2.18×109 Pa。分別建立無水進水塔模型（見圖2（a））和內外有水模型（見圖2（b）），進水塔塔體采用三維實體單元，水體采用三維流體單元，程序會在結構和流體接觸面自動設置耦合邊界。進水塔底部完全固結，塔體周圍的流體范圍為四倍塔體寬度或長度的尺寸，內外流體表面均設置自由表面。

圖3為塔水耦合有限元模型進水塔在XZ平面彎曲前三階振型和頻率值。圖4為速度勢法求得的進水塔前三階彎曲振型。從有限元分析的結果來看，本文公式推導得到的振型均能在有限元孤塔和塔水耦合模型中塔的找到對應振型，兩者振型相似。速度勢法和有限元法得到的孤塔模型振型頻率都大于塔水耦合模型，1階降低分別為9.78%，13.31%，可見水的存在對進水塔振動頻率有顯著影響，計算中不可忽略水的作用。

由表1可以看出，有限元分析得到的塔體各階對應頻率均小于速度勢法求得值，并且隨著階數的增大，兩者差別越來越大。其中1階頻率兩種方法差異在5%左右，可認為速度勢法基本能得到滿意的基本振型。分析原因，兩種方法具有以下不同：速度勢法將結構簡化成平面內梁單元模型，其實質是采用歐拉梁理論，假設梁只有彎曲變形，而梁對剪切變形完全剛性，即忽略了剪切變形和轉動慣量，這對于梁截面尺寸遠小于長度的梁（高跨比<1/10）來說，不會引起顯著的誤差。以上例子中，梁的長度與高度之比為H/2b=5.97，此比值的梁屬于深受彎梁，此時梁內的橫向剪切力所產生的剪切變形將引起梁的附加撓度，并使原來垂直于中性面的截面變形后不再與中性面垂直，與假定有所不同。同時，速度勢法將水體處理成與振型函數有關的附加質量，改變梁沿高度的質量分布，水體和塔體的相互作用未能完全考慮，有限元塔水耦合模型中，結構和流體的相互作用可以體現。

為驗證高寬比對結果的影響，在前述實例的基礎上，將塔高度提高到135.6 m（10倍截面寬度）和271.2 m（20倍截面寬度），水位與前述例子的水位比例相當，分別為125 m和250 m。其它參數不變。表2和表3列出分別列出了有限元法和速度勢法求的前三階振動頻率。

由表2、表3可以看出，當塔高增加到截面寬度10倍時，速度勢法和有限元法計算的頻率更加接近，1階頻率相差0.8%。二階和三階相差在20%以內。當增加到截面寬度20倍時，二階和三階頻率相差不到10%。

由以上分析可以看出，結構的高寬比大于10時，計算結果較準確。有限元法中模型節點存在平動、扭轉等自由度，截面可變形，在高階振型時其它方向質量參與復雜，這是兩種方法高階振型差異較多的原因。

4 結論

本文以進水塔結構為研究對象，抓住其主要受力特點和邊界條件，將其簡化成內外充水的懸臂梁結構，在前人研究基礎上將圓柱型式水中結構的彎曲自由振動算法引用到內空矩形截面的進水塔結構上，經過嚴密的推導求得了進水塔的振動頻率和振型，可以得到如下結論。

（1）進水塔可簡化為懸臂梁結構，采用流體速度勢法求解其水中彎曲自由振動。速度勢法雖然簡化假設較多，但不失為研究類似結構提供一種新的思路。經過實例分析和探討，可知與有限元法相比，速度勢法求解得到的1階頻率接近，高寬比大于10時，二三階頻率開始接近。但實際進水塔高寬比多在10以內，速度勢法求得的1階頻率可以作為參考。

（2）推導得到了水-進水塔耦聯體系振型函數精確解和頻率方程，其表達式較為復雜，編制數學求解程序能夠快速求解得到結果，相比于有限元法省去復雜建模、計算和處理過程，計算過程明確，結果有一定參考價值。

（3）從推導過程可以看出，速度勢法求解結構振動時將水的動水壓力作用轉化成與振型有關的質量附加于結構之上，增大了結構的分布質量，引起了自振頻率的降低，此方法為水體對結構的單向流固耦合。

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