認識結構，事半功倍

侯禹++鄭瑩瑩

[摘 要] 本文通過對不同題目結構、形式的認識、分析，找到更加合理、簡潔的解題方法.說明對學生認真觀察、分析問題培養的重要性.

[關鍵詞] 認知結構；代數結構；解題

在學生看來，已知條件多的題目往往更容易入手，就怕遇到已知條件較少的問題. 其實當已知條件較少，尤其是已知條件以代數式的形式給出的題目，主要是考查學生對其結構、形式的認識，而能將代數式的結構分析清楚，會使解題方法簡便得多，從而達到事半功倍的效果.

點評：此方法運用了積化和差的方法.但這種方法大綱并沒有要求學生掌握，是無法操作的. 那么該如何將這個問題轉化成我們所學習過的知識呢？如果注意到這樣的二次齊次型恰好和三角形的余弦定理結構相似，而且談角的問題常用到三角形作為載體，那么我們自然會想到構以a=sin5°，b=sin55°為邊的三角形.

解法二：

點評：此方法充分利用代數式特征，結合已學知識，利用課本的定理解決了這樣的問題.

綜上，函數f（x）的值域為[1，2].

點評：此方法利用了最傳統的三角代換，充分利用三角函數正余弦平方和為定值的特征解決問題，是學生較容易掌握的方法，在高一階段即可解決.

解法二：

點評：此方法是學生在學習了向量知識后，由代數結構的特征構造了向量數量積的運算，充分利用a，b模為定值，將問題轉化為向量夾角的問題.

解法三：

在此處與解法二前面是一樣的，在學生學完高二的知識后，又多了一樣工具就是圓錐曲線，那么此問題即為在點A（1，0），B（0，）以及橢圓u2+v2=1在第一象限的范圍內，其目標函數z=u+v的最值.

如圖3，易知，當u=-v+z與橢圓相切時，z取得最大值.

點評：此方法是學生在高二學習了圓錐曲線及線性規劃后，掌握的又一類求最值的方法.

由此例我們看出對代數式結構特征的認識是非常重要的. 隨著學生知識的增長，同一個問題可以從不同角度認識，則即會產生不同的方法，那么我們平時可以多積累這樣的問題，讓學生明白他們所學習的知識是相通的. 另外此問題也可用柯西不等式求解，此處就不再贅述了.

從以上兩個比較具有代表性的問題可以看出，對代數式的結構進行充分的認識，往往可以簡化我們的問題. 向學生滲透一些類似的思想方法，有利于學生數學素養的提高，對數學問題有更高的認識與理解，也常常讓學生在解決一些條件較少的困難問題時，能夠做到事半功倍.