零點分區法解不等式

董呂修

[摘 要] 在高中數學中，數軸標根法是解一元高次不等式的常用手段. 而這種方法是建立在多項式理論的基礎上得到的，因此有一定的局限性. 本文利用連續函數的介值定理，作為數軸標根法的一種推廣，給出了初等不等式（基本上可包括幾乎所有類型的不等式）的一種統一解法（筆者將此法稱為“零點分區法”），并結合幾個例子來談談它在不等式中的應用，以期對大家有所啟示.

[關鍵詞] 不等式；連續函數；介值定理；零點；分界點；統一解法

[?] 零點分區法及證明

為給出其證明，需要用到下面的引理：

引理1（介值性定理） 設函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，且f（a）≠f（b），則對介于f（a）與f（b）之間的任意一個實數μ，都至少存在一點x0∈（a，b），使得f（x0）=μ.

為方便討論，用符號I表示區間，它可以是9種區間類型中的任何一種. 用不等式f（x）>0（或<0，≥0，≤0）表示初等不等式，它包括有理不等式（即整式不等式和分式不等式），無理不等式（特例絕對值不等式等），超越不等式（如對數不等式、指數不等式、三角不等式和反三角不等式）.

結合引理1及連續函數圖像的幾何直觀可以立即得到下列推論，它為零點分區法解不等式提供了理論依據.

推論1 設函數f（x）在區間I上連續，且f（x）≠0，?x∈I，則f（x）在I上恒正或恒負.

注：（1）由于連續函數在相鄰兩個零點（如果有的話）之間的區間上處處不為0，因此它在該區間（不包括端點）上保號；

（2）可由區間I內任意一點的函數值符號確定函數f（x）在I上的符號.

事實上，高中階段接觸到的函數主要是初等函數，而初等函數在其定義域的各子區間上連續，因此對絕大多數函數而言，推論1的連續性條件是滿足的.

基于上述理論可以歸納出如下用零點分區法解初等不等式的一般步驟：

（1）求出不等式的定義域（即為不等式兩邊函數的定義域的交集）；

（2）解不等式對應的方程f（x）=0，求出其根（注意驗根）；

（3）用方程的全部根將定義域分成若干個子區間；

（4）在各子區間內任取一點求出其函數值，根據推論1確定函數f（x）在各子區間上的符號；

（5）根據函數f（x）在各子區間上的符號，寫出不等式的解集.

注：從上述步驟可以看出，解不等式的實質就是解方程. 即不等式的解集的端點只可能是定義域的分界點或不等式相應方程的根.

[?] 零點分區法在不等式中的應用