軌跡法解一類三角形面積最值的梳理

趙志強

[摘 要] 關于最值問題通常的思路是借助函數或基本不等式來著手處理，對于本文中所涉及的三角形最值問題可以用上述一般方法來處理，而更機智的處理方式是用軌跡法刻畫三角形的第三個點的軌跡，利用軌跡的幾何性質尋找與底邊相對應的最長的高，從而確定三角形面積的最大值.

[關鍵詞] 軌跡法；三角形面積；最值

求曲線的方程是高中數學選修2-1的中的內容，根據問題情境所給條件求解點所滿足的軌跡方程，利用點滿足軌跡的幾何或代數性質進而解決與之相關的數學問題的方法通常被定義為軌跡法. 本文所討論的問題是軌跡法運用于三角面積最值求解，這類問題存在兩個明顯的要件：其一，三角形某一邊為定值；其二，另外兩邊滿足一定的數量關系，具體的形式可以兩邊成比例、邊的向量數量積為定值，抑或是邊存在平方和或差的數量關系等等.

[?] 實踐探索：相似問題中發現端倪

最近在瀏覽數學學科網的過程中發現了一個求解曲線方程的專題訓練，然而專題中的一組示三角形面積最大值的題目與專題的名稱看似卻不怎么搭調.這引發了筆者的興趣，現將這些例題呈現如下：

但既然出題人將這些問題放到一個專題中一定有其用意，再次觀察不難發現這些問題都有一個共同的特點：這些三角形必定有一邊是定值，而另外兩邊又存在著一定數量關系. 所以若將為定值邊的兩點固定在坐標軸上，那題目就會變成動點到兩定點距離滿足一定數量關系，所以就可求動點的軌跡. 當軌跡知道后，只需尋到軌跡上到x軸距離最遠的點，即可求得三角形的最大面積. 也許這就是求解問題的突破口，帶著這樣的猜想筆者試著將上述問題進行了再次求解.

按照同樣的方法建系求軌跡，可知例2建系后求得C點軌跡方程為（x+4）2+y2=12（y≠0），圓周上到底面最長的高為半徑，所以Smax=4；例3雖不是邊長的比例但條件中存在向量數量積的數量關系，所以建系后可得A點軌跡議程為x2+y2=9（y≠0），所以三角形面積最大值為6；例4中存在邊長平方和的數量關系，建系后可得C點的軌跡方程為：x2+y2=3（y≠0），所以三角形面積最大值為.

通過對上述幾道問題的解決我們不難發現這種問題的解題思路就是利用軌跡法求解動點軌跡，借助動點軌跡圖形的幾何性質來求解最值.

[?] 理論歸納：系統分析后總結規律

通過實踐的運算，我們驗證了猜想，那么這些問題的本質是什么呢？它們有現實的問題原型嗎？帶著這些問題我們進行了如下系統的理論分析.

要分析這類問題的本質首先要尋找這類問題的共同點，粗看上述各個例題，也許僅能找到一個共同點，即它們有一個邊是定值，而另外的已知條件各不相同：有的是邊成比例、也有的是邊的向量數量積為定值、更有邊的平方關系. 但仔細分析這些不同的條件，其實在本質上它們是一致的，即另外兩邊滿足一定的數量關系. 以定值的邊為x軸建系后三角形已知邊的兩點則為定點，平面中能與兩定點構成三角形并且滿足數量關系的點并不唯一. 所以三角形的第三個點在平面中表現為某一種軌跡，而這個軌跡可以用動點坐標滿足的方程來刻畫. 當動點軌跡是一個規則圖形時，可以根據圖形的幾何性質來尋找軌跡上到底邊距離最長的點，從而可求三角形面積的最大值. 所以，我們認為這類問題的本質是以動點軌跡為載體求解三角形面積最值，其核心要件是點軌跡的刻畫. 眾所周知，刻畫動點軌跡有多種方法諸如定義法、相關點法、交軌法、直接法等等方法. 而像上述幾道例題這樣運用滿足數量關系來建立方程的方法被稱為直接法. 所以解決這類問題的思路就是以直接法來求解動點的軌跡方程，根據軌跡方程判斷軌跡圖形，根據圖形的幾何性質來尋找與定值邊相對應的最長的高，進而求解三角形面積的最大值.

通過查閱資料我們發現上述類型的問題在過往的高考中存在相似的原型，江蘇省2008年高考卷第十三題：“滿足條件，AB=2，AC=BC的三角形ABC面積的最大值是多少？”這與我們例1、例2（新鄉2016年模擬）幾乎是一樣的. 通過查閱當年的高考答案評析，我們發現這道題的出題意圖就是考查學生求解曲線方程的知識. 評析這么確信考試意圖就是考曲線方程是因為在課本（蘇教2-1）求曲線方程這一節中我們能找到問題的原型：“求平面內到兩定點A、B距離之比等于2的動點M的軌跡”. 因為是兩定點，所以顯然AB的長度固定，這與AB=2相似；動點到兩定點距離之比為2，即=2，這又與高考題中AC=BC吻合. 當然有人會提出質疑：例3、例4并未與課本例題有相似的條件. 我們認為比例關系僅僅是數量關系的一種表現形式而已，只要問題情境中存在著動點的數量關系就可利用直接法求解點軌.課本的例2顯然是這類問題的根源所在，而這類問題所考查的對象也一定是曲線方程的求解.