高中數學概念構建過程中的學生思維分析

蘇燕

[摘 要] 從學生的角度來看數學概念的構建過程，可以彌補教師視角所帶來的一些不足. 關注數學概念構建過程中的先前經驗、思維方式與思維水平三個關鍵因素，可以有效地把握學生的概念構建情況，從而能夠促進數學概念的有效教學.

[關鍵詞] 數學概念；概念構建；思維

概念是數學的基礎，數學概念的形成過程是什么樣的？對于這個問題的回答關系到學生能否有效地獲得準確的概念認知.傳統教學視野中，數學概念的教學過程常常是濃縮的，因為需要從中擠出時間用以習題訓練；而由于濃縮了學習時間，因此概念的學習過程基本上是由教師主導的，因而學生的自主參與就顯得有些不足，這客觀上會影響學生對概念的內化. 基于這樣的現狀，筆者以為需要從學生視角研究概念的構建過程，尤其是從學生思維的角度，去分析學生是如何認識、理解一個數學概念的. 函數是高中階段極為重要的概念之一，筆者在教學中以函數概念為研究對象，仔細分析學生在函數概念習得過程中的思維情況，形成了豐富的認識與思考.

[?] 不可忽視的先前經驗

將學生的學習視作學生自己的事，是建立學生視角的重要理念，而這跟建構主義學習理論是高度一致的. 建構主義學習理論的一個重要觀點，就是學生的先前經驗是學生建構知識的基礎，而先前經驗與傳統學習心理學中的前概念有類似的地方，其都以學生原有的知識基礎、生活經驗等為研究對象，都以其對新知識學習的作用為研究重心. 在高中函數概念建構的過程中，先前經驗是不可忽視的，尤其是其發揮作用的機制是需要研究的.

首先需要說明的是，高中階段函數概念的構建并不是某一課時的事，從開始接觸函數概念到其后一系列函數的構建，都是對函數概念的認識不斷深化的過程，也可以視作函數概念不斷豐富、立體化的過程.在這個過程中，學生的原有知識與經驗等，會不斷地發揮先前經驗的作用. 具體可以從如下幾點來闡述：

第一，一般意義上的概念學習，需要從概念自身的本質屬性的多少來形成對概念的認識. 其中，本質屬性越多，則概念掌握相對要容易一些. 就高中階段的函數概念學習而言，由于學生在此前已經接觸過從解析式、圖像等角度認識函數概念，因此從字面理解的角度來看，函數并不陌生. 但是需要注意的是，高中階段的函數概念是從集合、變量以及對應法則的角度來定義的，這個屬性對于學生來說并不是非常熟悉——盡管此前已經學過集合概念，盡管對應法則在函數概念建立的過程中會被教師多次強調，但學生的認知困難主要發生在定義方式上，從經驗性的解析式認知，到集合與對應法則的角度轉換，對于學生來說是一個挑戰. 實際上也就是說從先前經驗的角度來看，就是學生原有的關于函數的認知，難以成為支撐此時函數概念構建的基礎. 但是如果這個難點被突破，那后面的其他具體的函數概念，如指數、對數函數等，學起來反而相對要容易得多，因為到那個時候，此前已經熟悉的從解析式、圖像、定義域、值域、單調性等角度描述函數，對學生而言已經成為一個相對熟悉的模式，即已經成為相對熟悉的先前經驗，是可以發揮其對新概念的支撐作用的. （這里亦可以從上位概念與下位概念的關系來理解，限于篇幅，茲不贅述.）

第二，從學生具體構建函數概念的過程來看，學生的先前經驗仍然發揮著重要的支撐作用. 經驗表明，即使從變量與對應法則等角度明確了高中階段函數概念的理解之后，學生對函數的認識更多的依然停留在經驗階段，當問學生什么是函數的時候，更多的學生仍然愿意從具體的事例角度來給出答案，而不是從高中階段函數定義的角度給出解釋. 記得有一次高三復習階段，筆者口頭向學生提問關于函數概念的理解時，仍然有三分之一左右的學生，通過列舉所學過的不同函數來說明他們對函數概念的理解，而對于最基本的定義則似乎忘到了九霄云外. 這至少說明一個問題，那就是高中階段的數學概念教學，不能奢望學生一接觸定義就能實現思維的轉變，一定要給學生以較長的時間，讓他們慢慢實現這個轉變，所謂概念建立的艱難，正在于此（當然，這里也有另一個原因，那就是在函數概念的運用過程中，實際上確實是以具體的函數來作為研究對象的，直接從定義角度考查學生的理解的情形較少，導致學生對函數概念的理解必然建立在具體函數的基礎之上，而不是從定義角度形成深刻理解）.

第三，從默會知識的角度看函數概念建立過程中先前經驗的作用. 先前經驗在支撐某一個具體的數學概念的時候，常常是以默會知識的形式發揮作用的，也就是學生還沒有意識到，但事實上已經發生了. 比如說在從“函數是數集到數集的映射”這一表述上理解函數概念的時候，學生嘴里說的是這么一句話，但思維中可能就是一個具體的函數實例，在經由思維完成對應概念的加工過程中，所表述出來的這句話，更多的是默會知識作用的結果，而不是真正的對函數定義的理解，這常常容易讓教師認為是死記硬背，其實對于學生來說這其實是先前經驗通過默會知識支撐起的對概念的淺層次理解，不宜與機械記憶畫等號.

[?] 值得重視的思維方式

思維方式對概念建立有著極為重要的影響，縱觀數學史可以發現，對于同樣的一種數學關系，不同思維方式下描述往往是不同的. 舉一個簡單的例子，對于勾股定理，西方人往往會從一般性規律的角度去尋求描述，而中國人則從具體事例的角度給出“勾三股四弦五”的表述. 在學生學習數學概念的過程中，也需要重視思維方式所發揮的作用.

研究表明，高中學生在建立概念的過程中，常常有這樣的兩種表現：一種表現是部分學生喜歡從文字定義的角度學習概念，而另一種學生則喜歡借助于具體實例或構建新的圖形（包括思維導圖）來理解概念. 這實際上就是思維方式的不同，前者說明學生喜歡以抽象思維的形式建立概念，而后者則顯然是形象思維的產物. 教育心理學研究表明，擅長抽象思維的學生所依靠的思維對象就是文字之類的對象，而形象思維者則需要結合具體的表象（如果沒有現成的表象，他們就會創造表象）來輔助理解概念. 實際教學中，教師如果能夠關注到不同學生的思維方式，那對數學概念的教學將會起到十分明顯的促進作用.