解析幾何學習困難因素分析與對策

徐立

[摘 要] 解析幾何是中學數學的重點和難點，學生在學習解析幾何中遇到學習困難的因素是多方面的，引導學生解決解析幾何學習中的困難，是提高其圓錐曲線問題解決能力的關鍵.

[關鍵詞] 解析幾何；數學；困難；因素；對策；雙曲線；概念；性質

解析幾何是高中數學知識體系中非常重要的一塊內容，是提高學生的數形結合能力、運算求解能力、數據處理能力的重要載體之一. 在教學的過程中，通過不同曲線的教學，讓學生能從直觀入手，歸納總結出不同曲線的幾何性質，并能用通過代數運算或結合幾何性質來解決相應的解析幾何問題. 但是在學生學習解析幾何的過程中存在著很多困難，教師也在不斷地改進解析幾何的教學過程，如何提高學生學習有效性，如何提高教師教學有效性，是值得深入研究的.

一方面是學生的學習過程中，學生感覺解決解析幾何問題時的方法選擇上比較單一、模式化，計算錯誤頻現，做題積極性不高；另一方面教師在教學的過程中，如何才能找到學生的“最近發展區”，讓學生在已有的知識和能力的基礎上，更好地體會和探究解析幾何問題解決的一般解題規律，探尋解析幾何的本質，這也是教師需要思考的問題.

[?] 問題的歸因與分析

造成學生解析幾何學習困難的成因是多方面的，主觀方面有學生學習的方法、思維以及心理等原因，客觀方面有教師在教學中存在的一些問題.原因分析如下：

1. 初中平面幾何教學與高中解析幾何教學的銜接不協調

學生在初中階段學習平面幾何的時候，一方面對于剛剛接觸幾何的初中來說，幾何方面的知識儲備是非常少的，另一方面學生的生理成長階段決定了他們還沒有達到一個很高的抽象概括和邏輯思維能力水平，也認識不到抽象出來的概念之間存在的內在關系，而推理是建立在對概念的理解上的，因此很多學生并不適應嚴密的推理過程和形式.尤其是初中新課程實施以來對平面幾何教學要求的降低，“三段論”推理教學沒有很好落實. 使得學生往往重于結果，輕推理過程.學生平面幾何知識的匱乏，邏輯能力不高，導致解析幾何學習困難加大.

2. 解析幾何概念性質存在理解困難

直線中傾斜角與斜率的相關概念聯系，直線和圓、兩圓位置關系，橢圓、雙曲線、拋物線的第一定義、性質等等對于學生而言難度較大，其內容本身比較困難，形式化程度較高，對于學生的理解存在障礙.

3. 學生運算能力的不足以及對于運算存在的心理障礙

計算器在初中教學中的應用，降低了對學生運算能力的要求，導致學生對基本的數字運算普遍能力不高. 初中數學對字母運算和因式分解教學要求降低，導致學生在解析幾何學習時對于字母運算和變形化簡顯得力不從心. 即使是解決的方法已經找到，還是不能將問題的解決進行到底. 一方面在運算的過程頻頻出錯，到處碰壁；另一方面是學生對于比較煩瑣的數學運算存在心理障礙，或不愿意算下去，或對運算失去了信心，主動放棄.

4. 教師在教學過程中存在的一些問題

一方面教師在教學過程中偏重解題策略的尋找，輕視學生計算方法的引導，將許多計算步驟跳過，美其名曰讓學生自己去算，其實學生根本沒算，問題不斷積累；另一方面在課堂教學中留給學生思考、交流的時間不夠.再加之一種“問題模式化”的教學方式，影響了學生學習能力的提高.

[?] 案例剖析與對策

1. 概念教學

圓錐曲線的概念有很多種定義，中學數學中一般有三種. 第一種是教材中的第一定義，第二種是傳統教材中的統一第二定義，第三種是教材章頭圖中的介紹.從教學來看，一般教學僅圍繞第一定義做出了概念的闡述、分析，導致學生對橢圓、雙曲線、拋物線的認知不足，現階段不少問題并不僅僅研究與定義相關的問題，更多的是從數學本質的角度思考問題，因此要全方位地滲透定義教學是概念教學的關鍵. 筆者給出概念全面性的三個層次問題，提升概念學習的理解，從而解決概念學習的困難.

問題1：已知雙曲線-=1（a>0，b>0），右支上一點P（m，n）到左焦點F1和右焦點F2的距離差為12，兩焦點之間的距離為20，求雙曲線標準方程.

問題2：已知平面內動點P（x，y）到定點A（3，0）的距離比上到定直線x=的距離值等于3，求動點P（x，y）的軌跡方程，并說明其是什么曲線.

問題3：AB與平面α所成角為20°，記斜足為B，若點C是位于平面α上的動點，且∠CAB=30°，則點C在平面α上的軌跡是______________.

分析1：從問題1可以發現，本題是典型的雙曲線概念的理解和運用，學生通過第一定義可以清晰地認識雙曲線的實軸和焦距，這種概念相關的問題屬于第一層次，學生對于概念的理解比較到位，這是源于課堂教學中數學實驗“拉鏈運動”環節進行的設計，從而獲得了良好的解題體驗.

分析2：問題2是對于第二定義的一種考查，若沒有第二定義的理解和思考，本題的入手角度自然是以軌跡求解中的直接法，但是其運算量比較大，學生若能從第二定義的角度入手思考，本題的解決具備了更高的理論高度，自然水到渠成.

分析3：問題3是概念教學考查的核心. 從圓錐曲線名稱來說，橢圓、雙曲線和拋物線都是有其來源的. 古希臘數學家研究圓錐時，用不同角度的平面去截取圓錐，從而得到了不同的曲線形態. 如圖，章頭圖很好地闡述了這種變化，教師在教學中要緊緊地以教材為主，加深概念的思辨性，從而獲得概念教學的最高層次和境界.

問題的解決也比較容易，以AB軸，點C在空間的軌跡恰為圓錐的表面，現截面與軸成20°角，其小于圓錐軸與母線的夾角30°，因此顯然截口曲線是雙曲線.

從上述三個概念問題辨析，對于概念教學獲得了層層遞進式的理解和運用，讓學生在圓錐曲線概念上的理解得到了進一步的提升，只要對比進行問題設計與嘗試，學生獲得了全面的概念感知，對于圓錐曲線概念的學習不再是難點，上述以雙曲線為例，橢圓等概念讀者類似可進行設計教學.

2. 性質教學

圓錐曲線的性質比較多，多數圍繞對稱性、離心率、位置關系等進行問題的設計. 從學生學習圓錐曲線的性質教學來看，學生對于基本性質的認識是了解的，但是并沒有理解到內心深處. 作為教師知道，諸如對稱性等是橢圓、雙曲線等圖形的基本性質，離心率是圓錐曲線統一的性質. 如何破解有關性質的難題，需要教師合理設計問題，讓學生通過問題的解決獲得性質使用的感悟.

問題5：雙曲線虛軸的一個端點為M，兩個焦點為F1，F2，∠F1MF2=120°，則雙曲線的離心率為______.

分析：離心率研究是雙曲線的重要性質的學習，關于離心離的解決主要是從三個方面入手的. 其一是圓錐曲線定義的使用，其二是平面幾何相關性質的使用，最后是利用點坐標方式進行運算. 學生最主要的困擾在于后兩種，既無視平面幾何中諸如三角形正弦定理、余弦定理、角平分線性質等使用的不足，又沒有從運算的角度進行足夠的計算，導致離心率問題陷入困境. 思考本題不難發現，可以從平面幾何圖形三角形入手，結合余弦定理進行求解，給出簡要解答：

總之解析幾何教學是不折不扣的一個難點，但是從深入概念本質、體會性質的角度做一番獨到的思辨，有助于教師在后續教學中增加教學的經驗，將圓錐曲線教學化繁為易，讓學生獲得更多的解題體驗、快樂. 限于篇幅未能就運算方面做出一進步的分析，懇請讀者繼續補充.