一道教材習題引起的探究

李國青++張素婷

[摘 要] 從學生解答教材習題的作業出發，引導學生開展一題多解、一題多變的課堂探究活動，并對探究效果進行反思，提出教學建議，以促進教學質量的提高.

[關鍵詞] 教材習題；解法；探究；反思

[?] 引子

人教版《普通高中課程標準實驗教科書數學選修2-1》第37頁習題2.1第4題：過原點的直線與圓x2+y2-6x+5=0相交于A，B兩點，求弦AB的中點M的軌跡方程. 學生的作業展示如下.

[?] 思考

本題是教材中《曲線與方程》的配套習題，學生作業反饋表明，他們已初步掌握了“五步法”求曲線方程的基本步驟，會用直接法求點的軌跡方程，但有些學生會忘記檢驗，有些學生在檢驗時出現錯誤，作業點評時應加以糾正. 基于數學教師的職業直覺，本題的解答引起了筆者的深入思考. 只用直接法解答本題感覺意猶未盡，沒有充分挖掘習題的輻射功能.但是，教材卻在后面才陸續介紹了求點的軌跡方程的其他方法，這雖然反映了螺旋上升的新課程理念，卻給我們的教學帶來了不便. 于是，筆者決定在講完本章內容后，引導學生對本題進行一番探究.

[?] 探究

在課堂上，學生看到此題的第一反應是：“這題不是做過了嗎？”筆者笑而不語，故作深沉地望著他們，然后慢條斯理地說：“那就再做一遍吧.” 學生們帶著絲絲的疑惑和不屑在應付著. 一會兒，學生都做完了，筆者便讓兩位學生上臺展示他們的結果. 這兩位學生都選擇了解法三，因為在作業點評時已經對三種解法進行了比較、分析. 筆者肯定了他們的解法，然后在教室里慢慢地走了一圈，學生1的不同解法映入了筆者的眼簾，筆者心里暗喜. 回到講臺后顯得很期待地問：“同學們有沒有其他不同的解法呀？”學生1果然舉手了，筆者便讓他上臺展示了他的解法.

其他同解法一.

“哇，是定義法！”學生們一片驚嘆.好事的學生2還感嘆了一句：“原來老師是讓我們一題多解啊！”頓時，“一石激起千層浪”，學生們紛紛動起筆來，興致勃勃地開始探究其他不同的解法，并不時有學生在互相討論著. 不久，學生們陸續上臺展示了他們的解法.

解法五：由題知，直線AB的斜率存在，設為k，則直線AB的方程為y=kx.

其他同解法一.

這時，教室里像炸開了的鍋，學生們都在驚嘆：“原來有那么多不同的解法！”

“這不是求中點弦的三種方法嗎？”

“消參法真是變化無窮啊！”

這時，學生3舉手了.筆者裝作很驚訝，大聲地說：“看來還有不同的解法！同學們，掌聲在哪里？”在學生們的掌聲中，他自信地走向了講臺.

解法八：由題知，直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為y=kx.

其他同解法一.

學生4自告奮勇地要作點評：“這是交軌法，也是消參法的一種. 這道題既可用直接法，又可用定義法，還可用消參法，真是太美妙了！”這時，不知哪位學生發出了一聲嘆息：“相關點法好像不好用啊，真是太可惜了！”筆者馬上順水推舟：“此題能否用相關點法求解呢？同學們試試如何？”學生們馬上開始思考，教室里一片寂靜，只聽見“沙沙”的寫字聲. 隨后，學生們又開始討論起來，卻一直沒有人舉手. 筆者便拋磚引玉地提問：“使用相關點法的關鍵是什么？”學生5起來回答：“關鍵是找出所求動點的坐標與已知曲線上相關點的坐標之間的關系，但在本題中，無論是把A還是B作為相關點，都難于表達出它的坐標與所求點M的坐標之間的關系.”筆者借坡下驢地繼續引導：“那能否改編一下題目，從而方便運用相關點法？”

很快，學生5就提供了變式一：過點A（1，0）的直線與圓x2+y2-6x+5=0相交于點B，求弦AB的中點M的軌跡方程. 并應用相關點法解答如下：

學生們一下子好像找到了成功的源泉，個個躍躍欲試，大有燎原之勢，筆者卻擺手示意大家安靜，然后說：“只要能找出所求動點的坐標與已知曲線上相關點的坐標之間的關系，有很多不同的改編思路和方法，同學們課后可以繼續探究.現在，請大家看看這道高考題.”

練習（2014年高考全國卷Ⅰ文科第20題）：已知點P（2，2），圓C：x2+y2-8y=0，過點P的動直線l與圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，求M的軌跡方程.

學生很快就做完了，筆者便讓他們談談看法.

學生8：“與課本題目一樣，也有很多不同的方法.”

學生9：“本題的點P在圓內，點M的軌跡是整個圓，所以當定點在圓外時，弦中點M的軌跡是圓的一部分；當定點在圓上或圓內時，弦中點M的軌跡是整個圓.”

學生10：“不是說高考題‘源于課本，高于課本嗎？怎么比課本習題還簡單！”

學生11：“一道題就讓我們掌握了求點的軌跡方程的基本方法，太棒了！”

學生12：“這真是一段美妙的探究之旅！”

下課鈴聲將近，是時候鳴金收兵了.“同學們，本節課的探究先到此為止，希望大家以后積極主動地進行數學探究，認真思考，通過一題多解、一題多變等，舉一反三、觸類旁通，真正理解和掌握解題方法. 數學是既神奇又美麗的，只要用心探究，每天都是美妙的享受！”

[?] 反思

1. 教師要善于挖掘學生的學習潛力

很多高中數學教師都感嘆高中數學不好教.他們認為高中學生學習能力有限，高考考查難度又大，所以經常都是像保姆一樣——不停地講，不斷地練，總是滿腔熱情地想把自己的所有知識都“灌輸”給學生. 其實，每個學生的潛力是無限的，“只要給他們合適的機會，一定會還你一個驚喜！”“只要給他們一縷陽光，就有可能無比燦爛！”教師在教學中既要重視學生的共同基礎，又要適應學生的個性需要；既要創造開發學生潛力的機會，又要善于科學地引導和點撥；既要肯定和鼓勵學生的進步，又要關注學習情感，提高數學修養. 學生對數學的內在興趣和成功體驗是學習的最佳動機，是執著求索的強大動力，是開發學習潛力的重要源泉. 教師在教學中應努力創造機會激發學生的學習興趣，讓學生經常體驗成功的喜悅，從而不斷地挖掘學生數學學習的潛力. 正如著名數學家華羅庚所言：“要指導學生發現數學中有趣味的東西，領略數學的內在魅力，好像把學生帶進花園，而不是在門外觀花，鼓勵學生攻鉆難題，一旦成功，就會心懷喜悅，信心大增，興趣也大增.”

2. 教師要充分發揮教材的輻射功能

數學教材是數學知識的載體，是學生學習和掌握數學知識的基本工具，也是教師向學生傳授知識、進行教學活動的主要依據. 人教版《普通高中課程標準實驗教科書》倡導“用教材”，其核心思想是教師在課堂教學過程中能夠對教材進行靈活的處理和運用. 教師靈活處理和運用教材的關鍵在于吃透教材，只有在熟悉課程標準、吃透教材的基礎上，才能充分地挖掘教材的輻射功能，提高課堂教學效率. 教材中的數學問題內容豐富，層次分明，有例題、練習題、習題、復習參考題等.教材習題既是教學內容的綜合反映，也是學生掌握知識、訓練思維、提高能力的“主戰場”，教師要充分發揮教材習題的輻射功能，利用一題多解、一題多變等變式教學，讓學生通過探究、類比、歸納等，真正掌握解決同類數學問題的基本思路和方法. 教材習題也是高考命題的重要源泉，不少高考題是對教材習題的變形改造、移植加工而成，追本溯源地做好教材習題，才能以不變應萬變，在高考中立于不敗之地.

3. 教師要靈活運用不同的教學方法

自從實行班級制課堂教學以來，課堂教學改革一直在如火如荼地開展，從傳統的“講授法”到如今最為流行的“導學案小組合作學習”，各種不同的教學方法層出不窮. 筆者認為，無論什么教學方法，都要“因時制宜，因材施教”，要結合學生的認知規律、教材的內容特點和學生的學習實際，從來就不存在“包治百病”的“最優教法”. “教有法而教無定法”說的就是這個道理. 教師要學會結合不同的年級、不同的課型、不同的學生，靈活運用不同的教學方法，才能真正地提高課堂教學質量. 如同樣是概念課，簡單的內容可以用自學輔導法，較難的內容卻宜用啟發引導法；同樣是習題課，基礎較差的班級宜用講授法，能力較強的班級則可用探究法.

現在的教育目標從社會需求來看，應該培養有適應能力、務實能力和研究能力的社會人才. 在高中數學教學中，應提倡學生自主學習、教師引導點撥的教學探究活動. 在探究式課堂教學中，學生是學習的主體，學生在教師的指導下用類似科學研究的方式解決數學問題，體驗數學發現和創造的歷程，從而培養學生的探究精神和創新意識. 教師作為一個成功的“導演”，既要避免過度“搶戲”，又不能“放任自流”，要成為優秀的組織者、指導者和合作者.