“雞兔同籠”豈能再被“籠”住呢

李永梅

摘 要 “雞兔同籠”問題作為一節數學思維拓展課，既充分的體現了數學文化，又具有充分的數學思維，是一節無數人研究過的課。大都從課題本身找到很好的視角進行教學，但似乎都顯得視野狹窄。本文記錄的這位授課教師，從滲透數學文化的全新的視角，來詮釋“雞兔同籠”；充分利用現代信息技術手段，發揮學生學習的主動性，引導自學——展示——交流——質疑——拓展，發展了學生的數學核心素養，培養了學生理性的數學分析能力，邏輯思維能力和綜合概括的能力。此課的重新構建，既充分的凸顯了數學文化課的特點，又沖出了“雞兔同籠”內容本身的教學藩籬，創造了很多培養學生數學素養的機會，更加的契合時代的發展和數學教學改革的現實。而我，試圖對此進行拋磚引玉式的賞析。

關鍵詞 “雞兔同籠”問題 賞析

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A

1課前設疑激趣，制造懸念

（1）師出示雞、木馬和板凳圖片。師生對話后，出示“木馬板凳三十三，百個腳兒地上站。要知數量各幾何，聰明腦袋轉一轉。”

（2）揭示課題。

師：大概在一千六百多年前，《孫子算經》也記載了一個跟板凳木馬類似的問題，這就是非常著名的“雞兔同籠”。（出示視頻，板書課題。）

賞析：看似與課堂無關的雞，因為老師故作神秘賣關子，又因為期待和真實，制造了幽默搞笑的效果，課堂氣氛輕松愉悅。帶著木馬板凳的問題開始，對課充滿期待。

2交流課前學習成果，多維對話

小組交流——全班交流——教師補充呈現。

2.1小組交流

師：課前，老師給大家發了自主研究單，你們回去都是怎么學習雞兔同籠問題的呢？

生：我是根據老師你發的教材自學的，不懂的地方還請教了媽媽。

生：我是在電腦上學習的，看了網易課程。

生：我是看了老師你發的微課，然后還讀了書。

師：真好，你們通過這么多途徑學習了“雞兔同籠問題”，學習能力不錯！現在請把你的學習成果，在小組長的安排下按順序發言，在小組內交流一下吧。

賞析：對課前學習方式的交流，是在引導學生，讓他們懂得學習的方式有很多種，面對陌生的任務時，可以請教，可以查閱資料，可以借助電腦遠程學習，還可以看微課等等。這種引導在互聯網+的時代，是非常必要且及時的。將自己的學習成果，在四人小組內交流分享，能滿足不同學習層次孩子的心理需要，通過分享交流，補充和修正自己的學習成果，鍛煉組織語言的能力。讓發展稍微滯后的學生首先發言，無疑取長補短。

2.2全班交流

呈現學生的自主研究單，主要對列表法、替換法、畫圖法進行交流。

生1：我用的是列表的方法。首先我假設是1只雞和7只兔，算出來腳一共有30只，不合題意。又假設有2只雞6只兔，一共有28只腳，也不對。就這樣試下去，最后3只雞5只兔，剛好合適。你們看明白了嗎？有什么疑問沒有？

生：你怎么知道雞是3只的呢？

生1：我是一個一個試出來的。

生：如果你這個方法，雞有50只的話，不麻煩嗎？

生1：這個方法是在頭比較少的時候，只有8個頭，所以一個一個試。

生：好吧，我明白了。

生1：同學們還有沒有其它的問題。

生：沒有。

師：這位同學用列表的方法，想想看，他是怎么找到答案的呢？

生：他是先假設雞和兔的只數，一個一個試，不對的就繼續試，找出來的。

師：你很善于總結，他是先假設，然后嘗試，在嘗試中排除不合適的，最后解決了問題。這種方法非常好。

賞析：這是一段精彩的生生、師生對話。有生生之間對列表法的解釋、質疑，在質疑中學生的思維得到了碰撞，學生明白了列表法能夠解決問題，但也有局限。更重要的是，教師對學生用列表法思維方式的引領，讓學生學會回頭看，進行思維品質的培養。

生3：我用的是替換的方法。首先假設全部是，那么腳只有16只。但是題目里面說有26只腳，就少了10只腳。一只兔假設成雞，就少了2只腳，所以10除以2就是兔的只數。剩下的就是雞，是3只。我的解釋你們聽明白了嗎？

生：明白了，（沒有。） 有部分學生很迷惑。

生：我沒聽明白你說一只兔假設成雞，什么的。

（生3支吾著，也不知道怎么解釋了。）

生4：老師，我想去幫她。

師：學習中互相幫助，解決問題，是好習慣。

生4（跑上講臺）：大家看，我們可以把8個頭全部假設是雞，我用圓圈表示。然后呢，一個頭就只有2個腳（畫上腳），這樣就還剩下10只腳（他把剩下的10只腳畫在旁邊），這些剩下的腳，肯定是兔的，因為我們把兔當成了雞來看。所以把剩下的腳添在雞的身上，變成了兔，就是5只，雞就是3只。你們聽明白了嗎？

生：哦，原來是這樣！（恍然大悟狀）

賞析：當用替換的方法解決問題的孩子，遇到困難的時候，另外的孩子適時提出幫助，采取在黑板上邊畫圖邊講解的辦法，幫助同學理解，為什么10€？就是兔的只數。用畫圖的方式突破理解上的思維難點，也給其他孩子以啟發。這就是學生在充分研究性學習基礎上的高效有思維含金量的交流。更重要的是，同伴互助在學習過程中，發揮著巨大的作用。

生：我覺得你畫圖的方法還是很麻煩，如果數據大了，怎么辦呢？

生：是用假設的方法，畫圖幫助我們思考，如果方法掌握了，就可以把圖隱去。

師：同學們，如果我不畫圖，假設有1000只頭，寫上1000，你能不能透過數看到1000個頭呢？（能）接下來干什么呢？

生：寫1000€？。

師：透過這個算式，你能看到什么呢？看到腳了嗎？（看到了）那么當頭的數量很大的時候，可不可以不畫圖了呢？（可以了）。

賞析：學生質疑，當感覺到問題不能通過相互啟發得到解決的時候，教師及時地參與討論，幫助判斷、解釋、講解、引領。這里教師通過引導學生想象，1000背后頭的只數，1000€？后腳的只數，巧妙的由簡到繁，由抽象到直觀，讓學生離開具體的數，看到數背后隱含的思考方法，構建了解決這個問題的初步模型。

生：我還有一個問題，就是你那涂掉的是什么東西？（他是指分別畫在3只雞下面的4只腳，被孩子涂掉了2只，還剩下2只。）

生：這個也是幫助我思考，畫錯了的。

師：好的，謝謝你們，講得真好！剛才他們展示的三種方法里，無論是列表，替換，還是畫圖，都有一個共同的地方，都是先干什么呢？

生：都是先假設，然后再想辦法。

師：是的，都是在假設的基礎上，通過畫圖或者替換，來得到解決問題的辦法。我們剛才還隱去圖，通過想象還原頭和腳，發現了解決更大數的辦法也是相同的。真是了不起！

賞析：不僅僅停留在解決具體問題的層面，而是第二次引導學生比較方法的異同，讓學生在比較中去發現，思考。將不同的方法聯通，學生的思維水平面會突然覺得開闊，也慢慢學會用聯系的觀點去看問題，滲透哲學的思維方式。數學文化課的育人功能在此處得到了初步的凸顯。稍微有些遺憾的是，當學生問，那些涂掉的是什么東西的時候，教師沒有抓住這個生成的契機，引導學生思考，其實跟假設全部是雞的思路相同，也可以假設全部是兔。如果抓住這個生成，會有更多精彩。

2.3教師播放視頻

介紹從古至今人們解決雞兔同籠問題的其它方法。

3模型思想拓展延伸，深化提高

師：雞兔同籠問題傳到日本，演變成了“龜鶴問題”，你能從龜鶴問題里面，找到雞和兔的影子嗎？

生：能找到，雞變成了鶴，都是兩只腳。兔變成了龜，都是四只腳。

師：腳的只數沒變，我們能找到雞和兔的影子。那么上課之前，我們提到的木馬問題呢，你能找到雞和兔的影子嗎？

生：我發現腳的只數變了，兩只腳的雞變成了三只腳的木馬。四只腳的兔沒有變，只是換成了板凳。

師：看來，雞兔同籠問題中，雞和兔腳的只數還可以變呢！再看看，硬幣問題里，你還能找到雞和兔的影子嗎？

生：2分硬幣相當于雞，5分硬幣相當于兔，9枚就是頭的總數，34分就是腳的總數。

師：太厲害了，這么復雜的你們都能找到藏起來的雞兔頭和腳的只數。

生：我能在第四個材料里面找到雞和兔的影子。你們看，晴天走35千米就是兔的腳數，雨天走28千米就是雞的腳數。11天就是頭的總數，350千米就是腳的總數。

師：看來我無論放在哪里，你們都能夠找到他們。那么在生活，你們能不能找到幾個這樣的雞兔同籠的例子呢？

生：蜘蛛、蜻蜓和禪的翅膀和只數。

生：蜘蛛和蟬的翅膀和只數。

師：你們找得真好，老師是教數學的，我只能從數學里面去找，你看，我找到的3x+7y=108 x+y=24，你們在這里面還能不能找到雞和兔的影子呢？

生：能，x相當于雞，y相當于兔。

師：看來，你們真的學會了從解決一個問題，變成了解決一類問題，一串問題。這種將不同內容聯系起來思考的學習方式，有撥開云霧見日月的感覺吧？祝賀你們的進步！請同學們課后，繼續去發現，看還有哪些問題，也可以找到雞和兔的影子，也能用今天學習的方法去解決它們！

賞析：利用雞兔同籠的數學模型，將看起來不同的問題，引導學生去掉情境，找到數學思維本質上的相同，然后運用同樣的方法解決，巧妙的將一個問題串成一類問題。模型思想的應用在這里得到充分的體現和放大，如抽絲剝繭般的找到數學的核心，然后又在此基礎上拓展和延伸，形成了規模效應。這正是數學文化課的最基本特點，著力于數學思想方法和學生數學核心素養的形成和發展，讓學生感受到數學史詩般的瑰麗色彩和奇特魅力。

課后賞析：雞兔同籠”作為我國古老的數學文化遺產，在蘇教版和人教版教材中都分別進行了編排。有很多教師對這節課進行過精彩的設計和演繹，但大多數課堂主要是從學科本位上去讓學生探討問題的解決，構建模型，滲透數學思想方法等，在模型應用的思維方式和更深入的育人功能挖掘上，還不夠。而于奇文老師執教的“雞兔同籠”，以數學文化挖掘和滲透的全新視角，放手學生主動探究，用聯系的觀點引領提升學生思維品質，感受古老經典數學的魅力，師生共生共長，給人啟迪。

3.1充分放手，讓學生課前進行研究性學習

嘗試翻轉課堂，讓學生對學習內容進行自主學習。建立在此基礎上的課堂教學起點更高，也更不好把握。教師讓學生進行充分地小組交流，然后全班交流討論，師生互動，適時點撥。列表法、替換法和畫圖法，學生的質疑充滿了智慧和思考，像“如果是50個頭，你這種方法不麻煩嗎？”就是這一質疑，將其它學生對這個問題的思考，引向深入。還有“我用畫圖的方法來幫助我們理解”“你那涂掉的是什么東西？”等，這些話語，無一不是學生思想火花的閃現。正是因為大膽放手，先學后教，重在引導，才成全了孩子們的創造力，發展了孩子們的學習能力和思維品質。

3.2練習巧妙，讓學生辨識復雜的學習材料

我對目前聽過的近三十節數學文化課進行過分析，發現專題的數學文化課，針對不同類型的教學內容，在練習的設計上，似乎沒有常規意義上的數學課那么強調，更重要的是在材料所蘊含的數學思想方法和發展學生的文化內涵上，作大量的挖掘。針對雞兔同籠問題，于老師的練習也是很巧妙的讓學生辨識不同情境中的雞和兔，鞏固雞兔同籠問題的解決問題模型，拓寬視野，在辨識中引導學生透過表象看本質，從解決一個問題完成到解決一類問題，形成聯系的觀點，進而發現普遍規律并應用規律。這個環節，滲透著哲學思辨，是不著痕跡的課堂教學的升華，也是數學文化課魅力的展現。

3.3脈絡清晰，學生數學素養得到充分提升

整節課，從課前研究性學習，到在小組交流基礎上的全班交流展示學習成果，之后教師拓展提升，層層抽絲剝繭，是一節既站在數學學科本位教學之中，又游離之外的既接地氣又沾仙氣的數學文化課。

關于如何上好數學文化課，是一個新問題，各種不同的嘗試，勢必帶來不同的思考，如何才能既依附數學課程中的基礎知識，又更好的挖掘數學文化的內涵，激發學生熱愛數學的熱情，是一個值得思索的永恒話題。而本節課，無疑做了一個非常好的嘗試。