中學數學建模問題探究

夏仲禹

摘 要：數學及其應用曾是我國古代最發達的傳統科學之一，其實用性領先世界上千年。所謂數學建模就是用數學模型來解決生活中實際問題的一種方法，把抽象的實際問題轉化為數學模型問題來解決，并經過驗證來解決生活中的實際問題。該文探討的數學模型不但能夠解決抽象的數學問題，而且對我們掌握其他學科知識、探討邊緣學科都產生了深遠的影響。

關鍵詞：數學 建模 探究

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2017）06（c）-0190-02

作為一名高中生，筆者比較喜歡數學，學習數學的根本目的是要應用到國家的建設中去，為國家的強大服務。學習過程中，要使數學課程中應用意識落到實處，一個重要的舉措就是對數學建模的認識。數學建模就是用建立數學模型來解決實際問題的方法，也就是把實際的抽象問題轉化為數學問題來建立模型，然后求解該數學問題，并檢驗修正。在中學主要有下面幾類常見的數學建模問題，現分析如下。

1 從離散的點狀數據建立數學函數模型（即函數圖像擬合法）

這類問題以統計為前提 ，特別是隨著時間或其他因素而漸變的量，從分散的數據中，建立帶有參數的函數模型，并進行參數求解，可以對未知的（國民生產總值等）進行預測。例1：某新建成的服裝廠的產量。該廠從去年九月份開始投產，并且前4個月的產量分別為3.5萬件，3.7萬件，3.8萬件，3.88萬件。由于產品質量好款式新穎，因此前幾個月的銷售情況良好。該廠廠長碰到了一個難題：為了制定企業生產計劃，需要估測今后幾個月的產量。從函數關系角度去研究，把月份看作橫坐標，產量看作縱坐標，建立坐標系，將以上數據抽象為數對（1，3.5）（2，3.7）（3，3.8）（4，3.88），并在平面直角坐標系中表示出來。

用幾個點的坐標找出與之相近的模擬函數，利用函數模型來解決該實際問題，如圖1所示。

設開始生產后的第x個月份服裝廠的產量為y萬件。

方案1：建立模型：（直線型擬合法）。選用一次函數，因為一次函數最簡單，它是直線型的。我們的模擬函數是：y=kx+b（k≠0）。求解參數：代入（1，3.5），（2，3.7）得到方程組

k+b=3.5 （1）

2k+b=3.7 （2）

求得k=0.2，b=3.3，此時y=0.2x+3.3。驗證：代入 （3，3.8），（4，3.88），發現該函數模型與實際情況擬合度過低，因此應舍棄該模型。

方案2：建立模型：（拋物線型擬合法）。選用二次函數，因為折線顯然不是直線，二次函數是我們熟悉的常見的曲線函數。我們的模擬函數是：y=ax2+bx+c（a≠0）。求解參數：代入（1，3.5），（2，3.7），（3，3.8）得到方程組：

a+b+c=3.5 （3）

4a+2b+c=3.7 （4）

9a+3b+c=3.8 （5）

解方程組得： a=﹣0.05， b=0.35，c=3.2。生產月份與產量之間的關系為：y=﹣0.05 x2+0.35x+3.2。驗證：當x=2時，y=﹣0.05 x2+0.35x+3.2=3.8 與實際情況（x=2時，y=3.88）有所偏差，而且根據二次函數性質，其對稱軸為x=3.5，當x（代表生產月份）>3.5時y（代表該月產量）為減函數，y值不斷減小，直至y=0，顯然這與”產品質量好，服裝款式新穎，因此前幾個月的產品銷售情況良好”的實際情況不相符合，無法正確預測后面幾個月的服裝產量，因此應舍棄該模型。

2 從等量關系出發建立方程模型或不等式模型

對現實生活中廣泛存在的等量關系，如增長率、儲蓄利息、濃度配比、工程施工及人員調配、行程、核定價格范圍、盈虧平衡分析等問題，則可挖掘實際問題所隱含的數量關系可列出方程（組）轉換為，轉化為不等式（組）的求解或目標函數在閉區間的最值問題。

2 從圖形問題中建立數學模型

這類數學建模問題在實際生活中較常見，比如求周長、面積、體積等的最大值、最小值問題。我們可以結合相關的幾何公式，建立相應的函數模型。在實際工作中，諸如遇到工程定位、邊角余料加工、拱橋計算、皮帶傳動、修復破殘輪片、跑道的設計與計算等應用問題，涉及一定圖形的性質常需建立幾何模型，轉化為幾何問題求解，見圖2。

例2：半徑為r的圓木鋸成橫截面為矩形的木料，怎樣鋸法才能使橫截面的面積最大？

當且僅當x2=4r2-x2即x=r時。即受截面矩形為正方形的面積最大。考慮到現時所學的三角函數的角 ，可以用角作變量。此題就有利用三角函數建立的數學模型.設對角線與一條邊的夾角為θ。

總之，數學和我們的生活息息相關，是我們學習和工作的一種工具，不但可以幫助我們解決現實生活中的好多問題，還可以加深我們對其它學科的理解。數學模型不但能夠解決抽象的數學問題，對我們掌握其他學科知識、探討邊緣學科都會產生深遠的影響。

參考文獻

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[2] 趙冬歌.關于“高中學生數學建模”的評價[D].首都師范大學，2005.

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