半線性Emden-Fowler微分方程的振動性

李文娟, 湯獲,李書海, 俞元洪

(1.赤峰學院數學與統計學院,內蒙古 赤峰 024000;2.中國科學院數學與系統科學研究院,北京 100190)

半線性Emden-Fowler微分方程的振動性

李文娟1, 湯獲1,李書海1, 俞元洪2

(1.赤峰學院數學與統計學院,內蒙古 赤峰 024000;2.中國科學院數學與系統科學研究院,北京 100190)

主要研究了一類半線性Emden-Fowler微分方程的振動性.利用廣義Riccati變換和積分平均技巧建立新的振動準則,推廣和改進了一些文獻中的結果.此外,給出每個定理所相對應的例子,用來說明其相對于已有文獻中的定理具有一定的優越性.

Emden-Fowler方程;半線性微分方程;振動性

1 引言

Emden-Fowler方程在核物理、神經網絡等方面都有著重要的應用并出現了大量的研究成果,參見文獻[1-15].近年來,半線性Emden-Fowler型時滯微分方程以其多樣的形式及其廣泛的應用受到很大的關注.如文獻[1]研究了半線性Emden-Fowler微分方程:

文獻[2]考慮了Emden-Fowler型泛函微分方程:

其中 λ>0是常數,r,p,q,g∈C([t0,∞),R+),r(t)>0,g(t)≤t,g′(t)≥0和

本文主要考慮半線性Emden-Fowler型微分方程:

其中α和β是常數,且在本文中總假設:

注意到,當方程(3)中p(t)=0和α=β時,方程(3)即為方程(1).當方程(3)中α=1時,方程(3)即為Emden-Fowler方程.方程(1)和(2)已得到很好的研究.本文目的是考慮形式更為廣泛的方程(3).利用適當的Riccati變化和積分均值技巧得到方程(3)的解的振動準則,所得結果將推廣和改進已有文獻的結果.

設 Tx=σ(t1),t1≥t0,如果函數

使得

且在[Tx,∞)上滿足方程(3),則稱x(t)為方程(3)的一個解.本文僅考慮方程(3)的平凡解,即對一切T≥Tx,有sup{|x(t)|:t≥T}>0.如果方程 (3)的解有任意大的零點,則稱它為振動的.否則,稱它為非振動的.方程(3)的一切解均振動,則稱方程(3)為振動的.注意到如果x(t)是方程(3)的一個解,則y(t)=?x(t)也是方程(3)的一個解.因此,在考慮方程(3)的解的振動性時,只需考慮其最終正解.

令

用 φ(t)乘以方程(3)的兩端,則(3)式變為

令R(t)=φ(t)r(t),Q(t)=φ(t)q(t),由上式可得

下面分兩種情況討論方程(3)的解的振動性,即

2 主要結果及證明

為證明定理,需要下面的引理.

引理 2.1設x(t)是方程(3)的最終正解且條件(4)成立,則x′(t)>0.

證明因為 x(t)是方程 (3)在 [t0,∞)上的最終正解,則存在 T≥t0使得當 t≥T時有 x(t)>0,x(σ(t))>0.由方程 (3),得到

因此 φ(t)r(t)|x′(t)|α?1x′(t) 是非增函數且 x′(t) 的符號僅有兩種可能. 我們斷言 x′(t)>0

當 t≥T時.否則,假設x′(t)<0當t≥T時,由(6)式知,存在常數h,使得

即

從T到t積分上式,得

上式中令t→∞,由條件(4)得x(t)→?∞.此式與題設x(t)>0矛盾,故假設不成立.

引理 2.2設x(t)是方程(3)的最終正解且條件(4)成立,令

證明因為x(t)是方程(3)在[t0,∞)上的最終正解,則存在 T≥t0使得當t≥T時,有 x(t)>0,x(σ(t))>0.由引理 2.1知 x′(t)>0.方程 (3)變為等價方程

由方程(9)和W(t)的定義,可知

當α≤β時,由方程 (9)知 R(t)(x′(t))α為減函數,即

綜上,有

其中 m=min{mα,1,mβ},λ=min{α,β}.

定理 2.1設(H1)-(H3)和條件(4)成立,存在函數ρ(t)∈C1([t0,∞),R+)使得條件

則方程(3)振動.

證明設 x(t)是方程 (3)的非振動解.不失一般性,設 x(t)為 [t0,∞)上的最終正解(x(t)<0的情況類似的分析成立),則由引理2.2,有

(14)式兩邊同時乘以ρ(t)并從T到t積分,可得

上式與條件(13)矛盾,故x(t)是方程(3)的振動解.

推論 2.1當α=β時,方程(3)可化為半線性微分方程

此時,方程的振動條件(13)變為:

注 2.1文獻[1]中的定理2.1和定理3.1是推論2.1的特例.推論2.1推廣并改進了文獻[12]中的定理2.1和定理2.4.

推論 2.2當α=1時,方程(3)可化為Emden-Fowler型中立時滯微分方程:

故振動條件(13)可變為:

注 2.2推論 2.2推廣并改進了文獻 [2]中的定理 2.1.文獻 [2]中的定理 2.1僅得到當α=1和β>1時方程的解振動準則,而得到對任意α>0和β>0時方程的解振動準則.

推論 2.3

方程(9)是方程(3)的特例.如取ρ(t)=1,則振動條件(13)可化為

注 2.3推論2.3推廣了著名的Leighton振動準則.

例2.1考慮下面的二階時滯微分方程

上述方程是文獻[2]中的例2.4.利用文獻[2]中的定理2.1可得,對一切λ>1,方程的每一解振動或滿足x(t)→0(t→∞).但是,利用推論2.3易知,對一切λ>0,方程的每一解振動.

定理 2.2設(H1)-(H3)和條件(4)成立,如果

則方程(3)振動.

證明設 x(t)是方程 (3)的非振動解.不失一般性,設 x(t)為 [t0,∞)上的最終正解(x(t)<0的情況類似的分析成立).由引理2.2,有

成立.

證明設 x(t)是方程 (3)的非振動解.不失一般性,設 x(t)為 [t0,∞)上的最終正解 (x(t)<0的情況類似的分析成立),則存在 T≥t0,使得當 t≥T時,有 x(t)>0和 x(σ(t))>0.x′(t)最終保號且僅有兩種可能.

情形 1設當t足夠大時x′(t)>0.方程(3)變為等價方程

又回到定理1的情況.由定理1的證明得出矛盾,知方程(3)在[t0,∞)上無最終正解.

情形 2設當t足夠大時x′(t)<0.方程(3)變為等價方程

因為 x(t)≤ x(σ(t)),則

引理 2.4設x(t)是方程(3)的最終正解且(13)成立,則存在常數l使得

證明由方程 (27) 知,(R(t)(?x′(t))α)′≥ 0,故可得

證明設 x(t)是方程 (3)的非振動解.不失一般性,設 x(t)為 [t0,∞)上的最終正解(x(t)<0的情況類似的分析成立),則由題設和引理2.3,可知

由于(39)式與條件(36)矛盾,故方程(3)振動.

例2.3考慮下面的二階時滯微分方程

注意到,若取ρ(t)=1,則由定理2.3得,當α≥β>0時,方程的每一解振動.

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Oscillation of the half-linear Emden-Fowler di ff erential equation

Li Wenjuan1,Tang Huo1,Li Shuhai1,Yu Yuanhong2
(1.School of Mathematics and Statistics,Chifeng University,Chifeng 024000,China;2.Academy of Mathematics System Sciences,Chinese Academy of Sciences,Beijing 100190,China)

In this paper,we study the oscillation of a half-linear Emden-Fowler di ff erential equation With the help of the generalized Riccati transformation and integral averaging technique,we establish some new oscillation criteria for the above equation.These results extend and improve some existing results in the cited literature.Also,our results are illustrated with some examples.It is shown that the theorem has some advantages over the existing literature.

Emden-Fowler equation,half-linear di ff erential equations,oscillation

O175.27

A

1008-5513(2017)03-0274-12

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.03.007

2017-03-10.

國家自然科學基金(11561001);內蒙古自然科學基金(2014MS0101).

李文娟(1981-),碩士,講師,研究方向：穩定性理論及應用.

2010 MSC:34C10,34C15