二次樣條插值的MATLAB實現

于振廷

摘 要：二次樣條插值在工程設計上被廣泛應用，且具有計算簡單、穩定性好、收斂快等特點。憑借定義討論給定一階導數值時的二次樣條插值，并根據數據用MATLAB實現。

關鍵詞：二次樣條；插值；MATLAB

工程上的許多問題，為了顯示其內在規律的數量關系，我們都可用數學函數的思想y=f（x）來表示。有些問題其計算量大且較為復雜，難以還原準確的f（x）。[ 1 ]因此我們引入差值概念，用分段多項式P（x）近似f（x）。

一、二次樣條插值的特點

二次樣條插值是一種低階次的插值，與高階次插值相比較，它具有計算簡單、穩定性好、收斂性有保證且易在電子計算機上實現等特點，同時能保證在連接處的連續性及一階導數的連續性。[ 2 ]

二、二次樣條差值的定義

給定區間[a，b]，取n+1個點分別x0，x1，x2，…xn，另a=x0，b=xn，二次樣條函數S（x）滿足以下條件：

1）S（x）在每個區間間隔[xi-1，xi]（i=1，2，…，n）上是一個二階多項式；

2）S（x）在每一個內接點xi（i=1，2，…，n-1）上具有一階的連續導數；

3）S（x）在所有節點滿足S（xi）=yi（i=0，1，2，…，n）。

這樣就可以確定3n-1個方程，并在[a，b]的兩個端點處增加一個條件，這樣就能確定一個特定的二次樣條插值函數。這個條件即邊界條件，本文僅討論給定初始端點的一階導數值： （x0）= 0的情況。[ 3 ]

三、二次樣條插值的計算

給定初始端點一階導數值： （x0）= 0：[ 4 ]

在區間[x0，x1]內，已知S（x0）=y0，S（x1）=y1和 （x0）= 0，由Hermite插值公式可知：

S（x）= （x-x0）2+ 0（x-x0）+y0 （1）

其中hi=xi+1-xi（i=1，2，…，n-1），此時， 1= （x1）= - 0，同樣加上S（x1）=y1，S（x2）=y2，兩個條件可推導出區間[x1，x2]內的二次插值函數，以此類推得到區間內[xi，xi+1]（i=1，2，…，n-1）二次樣條插值函數為：

S（x）= （x-xi）2+ i（x-xi）+yi（2）

而 i+1可由公式3遞推得到：

i+1= （xi+1）= - i （3）

四、二次樣條插值函數的MATLAB實現

我們以y=2sin（x）+1為例，在區間[0，π]上分為5段并計算x，y的數值，如表1，并計算得出其端點的一階導數值 =2。

我們僅根據數據x，y， ，用MATLAB的方法計算二次樣條插值，并畫出其仿真圖，如圖1。

表1

clear all

syms z；

x=0：（1/5）*pi：pi；y=[1.0000 2.1756 2.9021 2.9021 2.1756 1.0000]；

y1（1，1）=2；n1=length（x）-1；

for i=1：1：n1；

A1=（y（1，i+1）-y（1，i）-（x（1，i+1）-x（1，i））*y1（1，i））/（x（1，i+1）-x（1，i））^2；A2=y1（1，i）；A3=y（1，i）；

y11（1，i）=A1；y12（1，i）=A2-2*A1*x（1，i）；y13（1，i）=A1*x（1，i）^2-A2*x（1，i）+A3；

y1（1，i+1）=2*（y（1，i+1）-y（1，i））/（x（1，i+1）-x（1，i））-y1（1，i）

end

for i=1：1：n1

ai=y11（1，i）；bi=y12（1，i）；ci=y13（1，i）；fi=ai*z.^2+bi*z+ci；ezplot（z，fi，[x（1，i），x（1，i+1）]）；

hold on；end

由圖1可知二次樣條插值可以很好的還原原函數。

五、結語

本文對二次樣條插值進行介紹，并引用數據用MATLAB方法計算二次樣條插值，并給出相應的程序以及仿真圖。從結果上看二次樣條插值計算簡單，并可以很好的還原原函數。

參考文獻：

[1] 李慶楊，王能超.數值分析[M].第五版.北京：清華大學出版社，2008.12：22.

[2] 許小勇，鐘太勇.三次樣條插值函數的構造與Matlab實現[J].自動測量與控制，2006，第25卷第11期：76-78.

[3] 李岳生.多點邊值問題與樣條插值[J].中國科學，1983，第二期：147-156.

[4] 劉為，高毅.二次樣條插值研究[J].計算機與數學工程，2011，第3期：21-24.