(2+1)維廣義Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff方程的所有單行波解的分類、表示及分叉行為

杜興華

( 東北石油大學 數學與統計學院，黑龍江 大慶 163318 )

(2+1)維廣義Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff方程的所有單行波解的分類、表示及分叉行為

杜興華

( 東北石油大學 數學與統計學院，黑龍江 大慶 163318 )

利用多項式完全判別系統法，求出(2+1)維廣義Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff方程的所有單行波解的分類和表示(包括新解)，顯示參數變化導致的分叉現象，從局域運動轉變到周期波動，體現模型豐富的物理內涵。

多項式完全判別系統； 行波解； 廣義Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff方程； 分叉現象

0 引言

求解非線性發展方程的精確行波解是非線性科學中的主要課題，已發展出來反散射法[1]、Backlunud法[2]、Darboux變換法[3]、延拓法[4-5]、Painleve分析法[6]、 Lie群法[7-8]、 Tanh函數法[9]。劉成仕提出多項式完全判別系統法[10-14]，即通過化所求方程為初等積分形式，利用多項式完全判別系統構造非線性發展方程的精確行波解，可以求得多種非線性發展方程豐富的精確行波解。對于某些非線性發展方程，可以得到所有單行波解的分類，其中包含其他方法得不到的新解。筆者利用多項式完全判別系統法，研究(2+1)維廣義Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff(GCBS)方程[15-17]，求出GCBS方程的所有單行波解的分類和表示，其中包含新解，同時討論解的物理意義及物理模型豐富的動力學行為。

1 單行波解分類

考慮(2+1)維廣義Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff(GCBS)方程

αuxt+βuxuxz+δuzuxx+uxxxz=0,

(1)

式中：α≠1；β、δ為任意非零常數。

式(1)是由Bogoyavlenskii O I利用Calogero F建議修改的Lax格式構造的，是Schiff J利用約化規范場論中的Yang-Mills方程得到的[18-20]。當令α=4，β=4，δ=2時，式(1)變成Bogoyavlenskii-Schiff方程；當α=4，β=8，δ=4時，式(1)變成(2+1)維Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff(CBS)方程。如文獻[15]利用廣義Riccati方程展開法獲得一些精確解；文獻[17]構造無窮序列類孤子新解。

對式(1)做行波變換

u(x,z,t)=u(ξ),ξ=kx+lz-ωt。

(2)

將式(2)代入式(1)得到非線性微分方程

-αkωu″+βk2lu′u″+δk2lu′u″+k3lu(4)=0。

(3)

對式(3)進行關于ξ積分得

?=c1,

(4)

式中：c1為積分常數。

做變換

ν=u′,

(5)

將式(5)代入式(4)并積分得

(6)

式中：c0為積分常數。

做變換

(7)

則式(6)變成

(8)

令

F(w)=w3+d2w2+d1w+d0,

(9)

其中

(10)

將式(8)化為初等積分

(11)

式中：ξ0為積分常數。F(w)完全判別系統為

(12)

根據三階多項式完全判別系統Δ和D，分為四種情形討論。

情形1Δ=0，D<0，F(w)=0有一個二重實根和一個單重實根，即

F(w)=(w-α1)2(w-α2),

(13)

式中：α1、α2為實常數，且α1≠α2。對式(11)進行積分得

(14)

(15)

如果w>α2，則式(6)的精確解為

(16)

(17)

(18)

情形2Δ=0，D=0，F(w)=0有一個三重實根，即

F(w)=(w-α1)3。

(19)

式(6)的精確解為

(20)

情形3Δ>0,D<0,F(w)=0，有三個不同的實根，即

F(w)=(w-α1)(w-α2)(w-α3),

(21)

式中：α3為實常數，且α1<α2<α3。式(12)變為

(22)

當α1

(23)

當w>α3時，式(6)的精確解為

(24)

情形4Δ<0,F(w)=0有一個實根和一對共軛復根，即

F(w)=(w-α1)(w2+pw+q),

(25)

式中：p、q為實常數,且p2-4q<0。式(12)變為

(26)

當w>α1時，式(6)的精確解為

(27)

定理 式(1)的所有單行波解的分類：

(1)如果ν1(ξ)是式(6)的解，那么式(1)的行波解為

(28)

(2)如果ν2(ξ)是式(6)的解，那么式(1)的行波解為

(29)

(3)如果ν3(ξ)是式(6)的解，那么式(1)的行波解為

(30)

(4)如果ν4(ξ)是式(6)的解，那么式(1)的行波解為

(31)

(5)如果ν5(ξ)是式(6)的解，那么式(1)的行波解為

(32)

(6)如果ν6(ξ)是式(6)的解，那么式(1)的行波解為

(33)

(7)如果ν7(ξ)是式(6)的解，那么式(1)的行波解為

(34)

式(28-30)為孤波解，表示能量在無窮遠衰減的波動現象，類似于量子力學中局域波函數，表示粒子運動的一種局域現象。式(31)是有理解，也在遠處衰減，但是沒有式(28-30)衰減的迅速，表示一種較大范圍的局域效應。式(32-34)是橢圓函數解，表示周期的波動現象。

對于不同的參數，式(1)解的形式是完全不同的。特別是當判別系統的值達到臨界點時，解開始發生分叉現象，從局域運動轉變為周期運動，體現模型豐富的動力學行為。

2 單行波解實現

(35)

(36)

當α<0時,式(1)的行波解為

(37)

(38)

(39)

當w>0時，式(1)的行波解為

(40)

(41)

3 結束語

利用多項式完全判別系統法，將(2+1)維廣義Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff方程化為積分形式，利用三階多項式完全判別系統，求出方程的所有單行波解的分類，其中包含其他方法沒有得到的新解，如式(32-34)。 在不同等參數條件下解是可以實現的，根據解的分類，對于不同的參數選取，解的形式發生變化，即發生典型的分叉現象，從局域運動到周期運動變化，顯示模型豐富的物理內涵。對于不同的環境條件，模型顯示不同的物理圖像，比一般的動力系統相圖法更簡單直接。

[1] Ablowitz M J, Clarkson P A. Soliton, nonlinear evolution equation and inverse scattering [M]. Cambridge: Cambridge University Press, 1991.

[2] 谷超豪.孤立子理論及其應用[M].杭州:浙江科技出版社,1990. Gu Chaohao. Soliton theory and its applications [M]. Hangzhou: Zhejiang Science and Technology Publishing House, 1990.

[3] Matveev V B, Salle M A. Darboux transformations and solitons [M]. Berlin: Springer, 1991.

[4] Estabrook F B, Wahlquist H D. Prolongation structures of nonlinear evolution equations, Ⅱ [J]. Journal of Mathematical Physics, 1976,17(7):1293-1297.

[5] Zhang D G. Integrability of fermionic extensions of the Burgers equation [J]. Physics Letters A, 1996,223(6):436-438.

[6] Hereman W, Takaoka M. Solitary wave solutions of nonlinear evolution and wave equations using a direct method and MACSYMA [J]. Journal of Physics A: Mathematical and General, 1990,23(21):4805-4822.

[7] Olver P J. Applications of Lie group to differential equation [M]. New York: Springer, 1986.

[8] Bluman G W, Kumei S. Symmetries and differential equations [M]. Berlin: Springer, 1989.

[9] Parkes E J, Duffy B R. An automated tanh-function method for finding solitary wave solutions to non-linear evolution equations [J]. Computer Physics Communications, 1996,98(3):288-300.

[10] Liu C S. Exact traveling wave solutions for (1+1)-dimensional dispersive long wave equation [J]. Chinese Physics Society, 2005,14(9):1710-1715.

[11] Liu C S. Classification of all single traveling wave solutions to Calogero-Degasperis-Focas equation [J]. Communications in Theoretical Physics, 2007,48(4):601-604.

[12] Liu C S. Applications of complete discrimination system for polynomial for classifications of traveling wave solutions to nonlinear differential equations [J]. Computer Physics Communications, 2010,181(2): 317-324.

[13] Liu C S. All single traveling wave solutions to (3+1)-Dimensional Nizhnok-Novikov-Veselov equation [J]. Communications in Theoretical Physics, 2006,45(6):991-992.

[14] 杜興華.2+1維Bousenisq方程的精確行波解[J].大慶石油學院學報,2007,31(1):118-119. Du Xinghua. Exact traveling wave solutions to (2+1)-dimensional Bousenisq equation [J]. Journal of Daqing Petroleum Institute, 2007,31(1):118-119.

[15] Li B, Chen Y. Exact analytical solutions of the generalized Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff equation using symbolic computation [J]. Czechos lovak Journal of Physics, 2004,54(5):517-528.

[16] 張煥萍,陳勇,李彪.2+1維廣義Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff方程的無窮對稱及其約化[J].物理學報,2009,58(11):7393-7396. Zhang Huanping, Chen Yong, Li Biao. Infinitely many symmetries and symmetry reduction of (2+1)-dimensinal generalized Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff equation [J]. Acta Physica Sinica, 2009,58(11):7393-7396.

[17] 套格圖桑.(2+1)維廣義Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff方程的無窮序列類孤子解[J].物理學報,2013,62(21):210201-1-7. Taogetusang. New infinite sequence soliton-like solutions of (2+1)-dimensinal generalized Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff equation [J]. Acta Physica Sinica, 2013,62(21):210201-1-7.

[18] Bogoyavlenskii O I. Overturning solitons in new two-dimensinal integrable equations [J]. Mathematics of the USSR-lzvestiya, 1990,34(2):245-259.

[19] Calogero F. A method to generate solvable nonlinear evolution equations [J]. Lettere al Nuovo Cimento, 1975,14(12):443-447.

[20] Schiff J. Integrabillty of Chern-Simons-Higgs vortex equations and a reduction of the Self-Dual Yang-Mills equations to three dimensions [M]//Leri D, Winternitz. Painleve trascendents. New York: Plenum Press, 1992:393-405.

2017-05-02；編輯：任志平

國家自然科學基金項目(11375030)

杜興華(1969-)，女，碩士，教授，主要從事數學物理方面的研究。

O192； O189.1

A

2095-4107(2017)03-0111-06

DOI 10.3969/j.issn.2095-4107.2017.03.012