數學教學中的變式訓練

馬瓊孝

一、概念的變式訓練

數學概念的形成，尤其是對概念的內涵和外延的理解是學好數學的關鍵。概念形成過程中的訓練主要是呈現概念的外延，以突出概念的內涵，使學生能深刻、準確地理解掌握概念。如在學習平方根的概念時，可以設計這樣的變式訓練。

例題：16的平方根是 。

此題主要是理解、掌握平方根的概念。但本節課還介紹了“正的平方根”和“負的平方根”這兩個概念，學生往往區分不開，所以進行如下變式：

變式1：16的正的平方根是 。16的負的平方根是 。

這節課的教學時，還介紹了符號的表達式，在應用時學生對符號式和文字表達理解不夠深刻，又進行了變式。

變式2： 的正的平方根是 。

大多數學生得到的答案為4，這正是學生沒有理解好符號與文字表達的關系的具體體現。在學生出錯的基礎上講解，此題要經過兩次運算，先算 等于4，再算4的正的平方根等于2，學生大大加深了對符號表達和概念的理解。

變式3：已知 的平方根是 ，則 = 。

再次進行變式訓練3學生對平方根的概念掌握更加靈活，同時也培養了數學的逆向思維能力。

二、公式、法則、定理等的變式訓練

數學中的公式、法則、定理是數學知識中的重要內容，它們是解決數學問題的重要理論基礎。在教學中要善于利用變式訓練引導學生掌握公式、法則、定理中的各要素之間的聯系和本質規律，使學生能加深理解和靈活運用。如在學習圓的切線的判定定理時，我通過下列3個判斷題強調了定理中的關鍵要素：過半徑外端、垂直，讓學生真正理解定理。

（1）經過半徑外端的直線是圓的切線.（×）

（2）垂直于半徑的直線是圓的切線. （×）

（3）過直徑的外端并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線.（√）

又比如，對完全平方公式“ ”的新課講授時進行如下的變式訓練：

計算：（1） ， （2） ，

（3） ，（4） 。

這些訓練由淺入深，實實在在的增強了學生對完全平方公式的內化理解，提高了對公式熟練應用的程度。

三、題目形式的變式訓練

（一）多題一解，培養學生觸一通類的數學思維能力

如在確定二次函數的解析式教學時，我設置了這樣一組變式題目：

例題：已知二次函數的圖像經過 、 、 三點，求這個二次函數的解析式。從例題出發，進行了下列變式訓練。

變式1：已知二次函數的圖像經過一次函數 的圖像與 軸、 軸的交點A、C，并且經過點 ，求這個二次函數的解析式。

變式2：已知拋物線經過兩點 、 。且對稱軸是直線 ，求這條拋物線的解析式。

對變式1，先讓學生比較它與例題的已知條件有什么不同？再思考怎樣轉化為例題求解，然后討論怎樣求A、C兩點的坐標。對變式2，引導學生抓住“對稱軸是直線 ”利用對稱性，求點A的坐標。這組題目最終都是通過設二次函數一般式，利用三點法建立方程組來求解。通過這組“多題一解”變式訓練，抓住本質，觸一通類，收到舉一反三的效果。

（二）一題多變，培養學生思維的深刻性

如在平行四邊行形的判定定理3的教學時，設置了這樣一組變式題目：

例題：在平行四邊形ABCD中，E、F分別是OB、OD的中點，四邊形AECF是平行四邊形嗎？請說明理由。（引導學生分析，完成此例題）

變式1：若將例題中的已知條件E、F分別是OB、OD的中點改為點E、F三等分對角線BD，其它條件不變，問上述結論成立嗎？為什么？

變式2：若將例題中的已知條件E、F分別是OB、OD的中點改為BE=DF，其它條件不變，結論成立嗎？為什么？

變式3：若將例題中的已知條件E、F分別是OB、OD的中點改為E、F為直線BD上兩點且BE=DF，結論成立嗎？為什么？

變式4：在平行四邊形ABCD中，H、G、E、F分別為線段BO、DO、AO、CO的中點，問四邊形EGFH是平行四邊形嗎？為什么？

變式5：在平行四邊形ABCD中，E、F是對角線AC上的兩個點；G、H是對角線BD上的兩點。已知AE=CF，DG=BH，上述結論仍舊成立嗎？

例題主要是利用“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”這個判定來證明四邊形AECF是平行四邊形。這組變式中E、F位置由線段上變為直線上，由特殊性規律變為一般性規律，培養了學生的由特殊到一般的歸納分析能力。由兩點變為四點層層深入挖掘學生思維的深度、廣度，讓學生體會從特殊到一般的過程。

可見，這組變式題“變”的過程中在逐步加深，讓學生深刻理解平行四邊形的判定定理的應用，同時極大的挖掘題目的有用性，達到精講精練，提高課堂的實效性。

四、解題方法的變式訓練

解題方法的變式訓練也就是“一題多解”，在教學中老師引導學生能從不同的角度，知識，思想方法來思考解決同一個問題，使學生從單一的思維模式中解放出來，培養學生創新，發散思維。

例題：求證：同一底上兩個角相等的梯形是等腰梯形。（至少用三種證法）

證法1：把兩個腰連上去，得到一個等腰三角形（底角相等），上面的小三角形和大三角型相似可以證明梯形為等腰梯形。

證法2：在梯形內側作高線，得到兩個直角三角形，通過證2個三角形全等可以證明梯形腰相等。（角角邊）

證法3：在梯形外側作高線（連成個長方形），同樣可以證2個外面的三角形全等得到梯形兩腰相等。（角邊角）

通過不同角度的證法，既熟練了等腰梯形的判定方法，又開闊了學生的思路，激活了思維。這樣的例子在中學數學中到處都可以找到。希望老師們能挖掘教材，深入教材，充分利用教材，達到事半功倍的效果。

總之數學變式訓練不是為了“變式”而變式，而是要根據教學或學習的需要，遵循認知規律而設計，其目的是通過變式訓練，把知識轉化為能力，形成技能技巧，完成“應用——理解——形成技能——培養能力”的認知過程。因此，教學中數學變式訓練設計要巧，要有藝術性，要把握變式的度，要有目的性，要起到引導、激發學生思維活動的作用。