斐波那契數(shù)列的內(nèi)涵和應(yīng)用價(jià)值

楊順祥

一、斐波那契數(shù)列的由來(lái)

澳大利亞、新西蘭本來(lái)是沒(méi)有兔子的。

1859年，澳大利亞的墨爾本動(dòng)物園從英國(guó)運(yùn)來(lái)24只兔子供人觀賞。不料，1864年的一天，動(dòng)物園失火，幸免于難的兔子逃到草原上。一望無(wú)垠的大草原，不僅飼草豐美，沒(méi)有天敵，野兔的繁殖非常快。到1928年，兔子數(shù)量狂增至40億只，遍及澳大利亞的2/3地區(qū)。它們吃莊稼，毀壞新播下的種子，啃嫩樹(shù)皮和牙，并且打地洞損壞田地和河堤。它們消耗了牧場(chǎng)牧草和大量灌木，使畜牧業(yè)面臨著滅頂之災(zāi)。問(wèn)題還在于兔子破壞了植被，又引起了水土流失。一時(shí)，兔災(zāi)成害，人民遭殃。新西蘭也引進(jìn)了兔子，32年兔成災(zāi)。

這些地區(qū)從實(shí)踐中體悟到兔子繁殖的神奇速度問(wèn)題，其實(shí)，早在630年以前，意大利數(shù)學(xué)家斐波那契就從理論上論述了這個(gè)問(wèn)題，只是那時(shí)沒(méi)有引起注意，在他的《算盤(pán)書(shū)》一書(shū)中，就說(shuō)到了兔子繁殖問(wèn)題。

題意是：假設(shè)一對(duì)剛出生的小兔一個(gè)月后就能長(zhǎng)成大兔，再過(guò)一個(gè)月就能生下一對(duì)小兔，并且此后每個(gè)月都生一對(duì)小兔，一年內(nèi)沒(méi)有發(fā)生死亡，問(wèn)：一對(duì)兔子，一年內(nèi)繁殖成多少對(duì)兔子？

對(duì)于n=1，2，……12，令 表示第n個(gè)月開(kāi)始時(shí)兔子的總對(duì)數(shù)， 分別是未成年和成年的兔子（簡(jiǎn)稱(chēng)小兔和大兔）的對(duì)數(shù)，則

顯然，F(xiàn)1=1，F(xiàn)2=2，而且從第三個(gè)月開(kāi)始，每月的兔子總數(shù)恰好等于它前面兩個(gè)月的兔子總數(shù)之和， 按照這個(gè)規(guī)律寫(xiě)下去，就得：

1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233。

這就是斐波那契數(shù)列的通常定義，也就是數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……，這個(gè)數(shù)列又叫黃金數(shù)列。

列昂那多又名斐波那契，所以這個(gè)數(shù)列稱(chēng)作斐波那契數(shù)列，其中每一項(xiàng)稱(chēng)作斐波那契數(shù)。

二、斐波那契數(shù)列的內(nèi)涵

1.在斐波那契數(shù)列中，前后兩項(xiàng)的比值 是以黃金數(shù)0.618為極限的。

2.斐波那契數(shù)列的任意相鄰四項(xiàng)滿足 。

3.在斐波那契數(shù)列中或根據(jù)數(shù)列后一項(xiàng)是前兩項(xiàng)之和形成的類(lèi)斐波那契數(shù)列中，有前十項(xiàng)之和等于第七項(xiàng)的11倍。

4.科學(xué)家發(fā)現(xiàn)無(wú)論在數(shù)學(xué)領(lǐng)域還是在自然界中都有很多有趣的現(xiàn)象與斐波那契數(shù)列有關(guān)。

三、斐波那契數(shù)列的應(yīng)用價(jià)值

1.應(yīng)用舉例

斐波那契數(shù)列的重要價(jià)值還在于它能作為一些實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，從而使復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化到我們熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決上。

問(wèn)題一：一枚均勻的硬幣擲10次

問(wèn)：不接連出現(xiàn)正面的可能情形共有多少種？

解：設(shè)將這枚硬幣擲了n次，沒(méi)有接連出現(xiàn)正面的數(shù)目為 ，則 = 2 =3（正——反，反——正，反——反）， =5

一般的，若第n+2次擲出的是反面，則第n+2次中無(wú)接連出現(xiàn)正面的數(shù)目是 ；若第n+2次擲出的是正面，則第n+1次需擲出反面，這樣無(wú)接連擲出正面的數(shù)目為 ，所以 = + ，n=1，2，3……

這樣， = + =8， = + =13， =21， =34， =55， =89， =144.

所以，不接連出現(xiàn)正面的可能情形共有144種。

問(wèn)題二：街頭叫賣(mài)聲與斐波那契

“街頭叫賣(mài)聲”是怎么操作的？有最佳的操作方案嗎？

解：（1）操作方法如下。

操作時(shí)，需兩臺(tái)錄音機(jī)，相互之間反復(fù)播音和錄音。當(dāng)一臺(tái)錄音機(jī)播音時(shí)，另一臺(tái)錄音機(jī)同時(shí)開(kāi)始錄音，如此方法操作。

第一步：第一臺(tái)錄音機(jī)先直接錄入一段人的叫賣(mài)聲。

第二步：第一臺(tái)錄音機(jī)播放剛才錄的那段聲音，同時(shí)，第二臺(tái)錄音機(jī)錄入這段聲音。

第三步：第二臺(tái)錄音機(jī)播放剛才錄的那段聲音，同時(shí)，第一臺(tái)錄音機(jī)在上次錄的磁道后，接著錄入這段聲音。

第四步：第一臺(tái)錄音機(jī)播放前兩次錄的那段聲音，同時(shí)，第二臺(tái)錄音機(jī)在上次錄的磁道后，接著錄入這兩段聲音。

如此反復(fù)，直到錄到所需要的時(shí)間長(zhǎng)度為止。

（2）設(shè)將第一步錄入的聲音遍數(shù)記作 ，第二步錄入的聲音遍數(shù)記作 ，在第三步中，總錄入的聲音遍數(shù)記 ，……在第n步中，總錄入的聲音遍數(shù)記 ；由上面的操作步驟，得 =1， =1. （n 3）

（3）若吆喝一遍叫賣(mài)聲，連同中間停頓共需10秒鐘，那么錄制一盒長(zhǎng)為1小時(shí)的磁帶只需操作幾步？

所錄制的長(zhǎng)度依次為1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，……

因?yàn)?77>3600/10，故連續(xù)操作14次就可以錄制一盒可以播放1小時(shí)的磁帶。

2.雄蜂家族問(wèn)題

從蜜蜂的繁殖來(lái)看，雄蜂是由未受精卵孵化而成的，只有母親，沒(méi)有父親，而雌蜂是由受精卵孵化的，所以有一父一母，因?yàn)榉浜螽a(chǎn)的卵，受精的孵化為雌蜂，未受精的孵化為雄峰。人們?cè)谧匪菪鄯宓淖嫦葧r(shí)，一只雄蜂僅有一個(gè)母親，沒(méi)有父親，所以?xún)纱臄?shù)目皆為1；而這只雄風(fēng)的母親（雌蜂）必有一父一母，所以第三代的數(shù)目是2；而第三代的雄蜂又僅僅有母親，雌蜂則又有一父一母，所以第四代的數(shù)目是3；按照這個(gè)規(guī)律，則一只雄峰每代的祖先的數(shù)目剛好就是“斐波那契數(shù)列”。

3.樹(shù)木生長(zhǎng)問(wèn)題

如果一根樹(shù)枝每年長(zhǎng)出一根新枝，而長(zhǎng)出的新枝兩年以后，每年也長(zhǎng)出一根新枝，并且每一條樹(shù)枝都按照這個(gè)規(guī)律長(zhǎng)出新枝，這樣，第一年只有主干；第二年有2枝；第三年有3枝；接下去是5枝，8枝，13枝……那么把這些樹(shù)枝數(shù)排起來(lái)，也構(gòu)成一個(gè)“斐波那契數(shù)列”。

4.斐波那契數(shù)列與魔術(shù)

生活中我們常常相信親眼所見(jiàn)，但又常常為自己的眼睛所騙，魔術(shù)就是一個(gè)很好的例子。數(shù)學(xué)中也有這種欺騙我們眼睛的奇妙的數(shù)學(xué)魔術(shù)，好多魔術(shù)家運(yùn)用障眼法及數(shù)學(xué)原理，讓我們百思不得其解。

總之，神奇的斐波那契真的是不可思議，他的發(fā)現(xiàn)不僅讓數(shù)學(xué)又踏入了一個(gè)高峰，更重要的是他對(duì)數(shù)學(xué)及其他領(lǐng)域的貢獻(xiàn)，他把人們引入一個(gè)神奇而又神秘的境界，不僅探索它的性質(zhì)，尋覓它有生命的數(shù)字秘密，而且繁衍出許多有缺的數(shù)學(xué)游戲，魔術(shù)、拼圖等。斐波那契數(shù)列的內(nèi)涵和它的應(yīng)用價(jià)值還不僅僅是以上所述的這些，在許多領(lǐng)域里它都有廣泛的應(yīng)用。人們掌握的只是些鳳毛麟角，可見(jiàn)這個(gè)黃金數(shù)列的前途是無(wú)可限量的。