如何準確判斷近似數與有效數字

宋座云

一、產生近似數的主要原因

一是“計算”產生近似數。如除不盡，有圓周率π參加計算的結果等；

二是用測量工具測出的量一般都是近似數，如長度、重量、時間等；

三是不容易得到，或不可能得到準確數時，只能得到近似數，如人口普查的結果，就只能是一個近似數；

四是由于不必要知道準確數而產生近似數。

二、近似數和有效數字的有關概念

近似數：與實際數字比較接近，但不完全符合 （比實際數字略多或略少）的數，稱之為近似數。對近似數，人們常需知道他的精確度。一個近似數的精確度。有兩種表述方式：一是四舍五入法；二是進一和去尾法。在實際問題中，不僅存在大量的準確數，同時也存在大量的近似數，出現近似數有兩點：一是完全準確是辦不到的；二是有時是沒有必要的。

有效數字：一個數，從左邊第一個不為0的數字數起，到精確的數位止，所有的數字（包括0，科學計數法不計10的N次方），稱為有效數字。簡單的說，把一個數字前面的0都去掉，從第一個正整數到精確的數位止，所有的都是有效數字了。與實際數字比較接近，但不完全符合 （比實際數字略多或略少） 的數，稱之為近似數。

熟悉精確度的兩種形式，一是精確到哪一位，二是保留幾個有效數字，它們是不一樣的。精確到哪一位，可以表示出誤差絕對值的大小，如在測量樓的高度時，精確到0.1米，這說明結果與實際誤差不大于0.05，而有效數字則可以比較幾個近似數中哪一個更精確。

三、近似數的判斷

第一，某些小范圍的可數的數據一般為精確的，其它加上人為因素的一般是近似的，比如，經過測量得到的數據；

第二，語句中帶有“大約，左右”等詞語，里面出現的數據是近似數。

四、已知一個近似數如何去判斷其精確度和有效數字

（一）普通形式的數，這種數能直接判斷

例1 下列由四舍五入得到的近似數，各精確到哪一位？各有哪幾個有效數字？

（1）38200 （2）0.040 （3）20.05000

分析：對于一個四舍五入得到的近似數，如果是整數，如38200，就精確到個位；如果有一位小數，就精確到十分位；兩位小數，就精確到百分位；象0.040有三位小數就精確到千分位；象20.05000就精確到十萬分位。有效數字的個數應按照定義計算。

（1）38200精確到個位，有五個有效數字3、8、2、0、0。

（2）0.040精確到千分位（即精確到0.001）有兩個有效數字4、0。

（3）20.05000精確到十萬分位（即精確到0.00001），有七個有效數字2、0、0、5、0、0、0。

（二） 科學記數法表示的近似數的判斷方法

對于用科學記數法表示的近似數，有效數字只看“a×10n”前面的部分，在確定其精確到哪一位時，需先將科學記數法表示的數還原成小數或整數，再看科學記數法中“a”的最右邊的數字所處的位置，這也就它精確的位數。對于有效數字，a里面的每一位數字都是有效數字。

例2下列用科學記數法表示的近似數，各精確到哪一位，有幾個有效數字？

①1.78×105；②2.50×102

解①1.78×105=178000，8在千位上，所以精確到千位，有效數字是1、7、8、三個。

②2.50×102=250，0在個位上，所以精確到個位，有效數字是2、5、0三個。

（三）帶文字單位數的判斷方法

例3下列由四舍五入得到的近似數，各精確到哪一位？各有幾個有效數字？

（1）70萬 （2）9.03萬 （3）1.8億

分析：因為這四個數都是近似數，所以

（1）的有效數字是2個：7、0，0不是個位，而是“萬”位；

（2）的有效數字是3個：9、0、3，3不是百分位，而是“百”位；

（3）的有效數字是2個：1、8，8不是十分位，而是“千萬”位；

解：

（1）70萬. 精確到萬位，有2個有效數字7、0；

（2）9.03萬.精確到百位，有3個有效數字9、0、3；

（3）1.8億.精確到千萬位，有2個有效數字1、8；

五、如何根據要求取近似值

（一）小于10的數

如 用四舍五入法，按括號里的要求對下列各數取近似值。

（1）1.5982（精確到0.01）

（2）0.03049（保留兩個有效數字）

分析：四舍五入是指要精確到的那一位后面緊跟的一位，如果比5小則舍，如果比5大或等于5則進1，與再后面各位數字的大小無關。

（1）1.5982要精確到0.01即百分位，只看它后面的一位即千分位的數字，是8>5，應當進1，所以近似值為1.60。

（2）0.03049保留兩個有效數字，3左邊的0不算，從3開始，兩個有效數字是3、0，再看第三個數字是4<5，應當舍，所以近似值為0.030。

（二）大于10的數

用四舍五入法，按括號里的要求對下列各數取近似值，并說出它的精確度（或有效數字）。

（1）26074（精確到千位）

（2）7049（保留2個有效數字）

（3）26074000000（精確到億位） （4）704.9（保留3個有效數字）

分析：根據題目的要求：

（1）26074≈26000；

（2）7049≈7000

（3）26074000000≈26100000000

（4）704.9≈705

（1）、（2）、（3）題的近似值中看不出它們的精確度，所以必須用科學記數法表示。（1）26074=2.6074×104≈2.6×104，精確到千位，有2個有效數字2、6。（2）7049=7.049×103≈7.0×103，精確到百位，有兩個有效數字7、0。

（3）26074000000=2.6074×1010≈2.61×1010，精確到億位，有三個有效數字2、6、1。

（4）704.9≈705，精確到個位，有三個有效數字7、0、5。

六、注意區別，以防誤區

（1）近似數最前面的數0，不能當做有效數字。

（2）近似數最后面的數0，不能隨便省略。