探索規律：知其然并知其所以然

吳文娟，江蘇省宜興市第二實驗小學辦公室主任，中學高級教師，江蘇省數學教育學會會員，江蘇省特級教師“后備班”學員，曾先后被評為無錫市優秀教育工作者、無錫市教育系統優秀共產黨員、無錫市數學學科帶頭人。曾獲得無錫市優質課評比一等獎、江蘇省優質課評比一等獎等獎項；參與了4項省、市級課題研究，有30余篇論文在省級以上刊物公開發表。

數學是研究模式和規律的科學。小學數學“數與代數”中有大量的規律、公式和算法，有助于學生逐步養成從數學角度探索身邊事物之間的關系及變化規律，并用適當的數量關系表達出來。新課標強調，要讓學生經歷探索過程，積累數學活動經驗，探索規律的教學過程比結果更重要。目前，讓探索規律的重點落在“探索的過程”之中已是大家的共識，那探索規律是不是僅限于“經歷過程，獲得結果”呢？筆者認為，知其然，還應知其所以然，即獲得規律的同時，還要了解規律背后蘊藏的數學道理。

一、尋因：找規律為何要講“理”

一是講“理”能積累活動經驗。探索規律要講“理”，就必須讓學生經歷從具體現象進行抽象、猜想，并對猜想進行多方驗證的過程。在豐富多樣的探索活動中，學生積累觀察、試驗、猜測、驗證、推理與交流等數學活動經驗。例如，三角形的內角和是180度，如果能夠展開探究過程，讓學生在面對已知“直角三角形內角和是180度”的情況下大膽猜測任意三角形內角和，再通過量一量、折一折、拼一拼、轉化成長方形、分一分等活動驗證，學生不僅能獲得三角形內角和是180度的“理”，也從中積累了觀察、實驗、猜想驗證等重要的數學活動經驗。

二是講“理”能溝通知識聯系。規律背后的“理”常常是以前學過的知識、定理、方法等，如果在獲得規律的同時能講明其中的道理，就會溝通知識間的聯系，將所獲規律順利納入學生已有的認知結構。如在探索小數的性質時，教師可引導學生從小數的數位及計數單位來觀察小數的性質。經過觀察，學生就會發現：在小數的末尾添上0或去掉0，并不會改變小數各數位上的數字，因而小數的大小不變。這樣說的“理”，不僅道明了知識間的聯系，而且讓學生更容易理解和接納新的規律。

三是講“理”能養成理性思維。數學是一門嚴謹、嚴密的學科，它要求有條有理、有根有據地思考，注重對學生演繹推理能力的培養。新課改后，學生推理能力的培養得到了加強，他們經常要經過猜想去尋找規律，但要確認它的真實可信就必須進行驗證。小學階段雖然還不能用嚴格的演繹推理來證明，但培養學生的證明意識和理性思維習慣，與初中教學很好地接軌卻是非常重要的。因此，找規律的同時要講“理”，讓學生嘗試用舉例、實驗、推理等多種方式來驗證規律的正確或錯誤，才能使學生從小養成良好的理性思維習慣。

二、索果：找規律如何講“理”

1.把握最恰當的時機，提升探索規律的深度

（1）理為先導，化繁為簡。有些規律比較繁難，但背后的道理卻非常簡單。如果以“理”為魂，串成一條線，學生就能很容易地理解規律，從而起到化繁為簡的效果。例如教師在完成“一一間隔的規律”教學后，讓學生記住三種情況：兩端事物一樣，兩端事物不一樣，在封閉圖形上間隔排列。其實，有很多學生難以記住這三種不同的情況。鑒于此，教師可出示摩托車和小汽車雜亂擺放的圖片，引導學生利用已有的經驗：一組組圈一圈、一一間隔排一排，比較兩種玩具的多少，自然引入“一一對應”的比較方法，悄無聲息地滲透了這種數學思想。這樣，在接下來的探索規律中，學生就會主動利用對應思想來理解“間隔排列”規律。

（2）術理同行，步步為營。有時探索的過程和道理的理解要同步進行，在逐步深入的探索進程中，對“理”的理解會越來越“明”、越來越“深”。如搭配規律背后的道理是乘法的意義，所以在每次獲得搭配結果時都要圍繞乘法的意義來理解算式的含義，為最后深刻理解字母表達式積累認識。首先，出示三種點心和兩種飲料，如果選一種點心和一種飲料配成早餐，有多少種不同的搭配方式？教師要引導學生借助連線理解為什么是3×2，它表示3個2種或2個3種的意思。當飲料增加一種時，同樣要理解3×3的意義；點心再增加一種時，要理解4×3的意義；最后如果點心有10種，飲料有8種時，不連線而引導學生通過意義理解列出算式，總結出搭配規律的算法。一次次溝通乘法意義和搭配規律之間的聯系，使學生在探究規律的過程中對“理”的認識不斷加強，直至在對“理”完全理解的基礎上得出最終的規律。

（3）因術溯理，溝通聯系。有時也會在規律探究之后，通過驗證和追問“為什么”來反思和追溯規律背后隱藏的道理，這往往會將規律與以前學過的知識或經驗聯系起來，形成新的認知結構。例如，探索完“3的倍數的特征”后，學生都會產生一種疑惑：為什么2和5的倍數只要看末尾，而3的倍數卻要看各數位上數字之和呢？雖然經歷了探究過程，但學生卻無法解開這個謎。這時，教師可進一步引導學生研究“為什么”，既是順應學生此時的疑惑心理，也是溝通3的倍數特征和除法意義最好的時機。可以出示一個具體的題目：現在有342個蘋果，每3個分一份，看看能不能分得正好。借助圖引導學生分一分，第一個1百，除以3還余1個，第2個1百除以3余1個……即百位除以3余下3個；同理，十位上除以3余下4個，個位上除以3余下5個。而342除以3是不是正好，現在只要看百位、十位、個位余下的蘋果總和，也就是3+4+2是不是3的倍數，即各數位上的數字之和是不是3的倍數。結合除法的意義，從分東西的角度來思考，原來復雜的道理也會讓學生有感性的認識。

2.尋找最恰當的形式，適應兒童認知水平

（1）幾何直觀，讓理可視。幾何直觀是具體、生動、看得見的，它能讓學生更容易接受和理解。如通過“和的奇偶性”一課的學習，學生知道了“偶數+偶數=偶數”“奇數+奇數=偶數”“奇數+偶數=奇數”，為什么會有這樣的規律呢？教師可先出示并解釋華羅庚說過的一段話：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休”，引導學生用畫圖來表示這三個規律。通過合作交流后獲得三幅圖（見圖1、圖2、圖3），直觀形象地說明了以上三個結論。

通過“數形結合”，使原本抽象的規律變得生動、形象了，背后隱藏的道理也變得“看得見、摸得著”了。

（2）演繹推理，讓理可證。探索規律常常起始于對現象的觀察、比較、歸納、類比，通過合情推理提出猜想，再通過演繹推理驗證猜想。在這里，演繹推理不僅可以證明規律是否正確，也可以揭示“為什么有這樣的規律”。例如，六年級下冊探究“面積的變化規律”一課，學生通過畫圖、舉例、計算，發現無論是長方形、正方形、平行四邊形、梯形、三角形還是圓，若圖形按3∶1放大，那放大后圖形的面積與原圖形面積的比就是9∶1，于是猜想圖形按n∶1放大，那放大后圖形的面積與原來圖形的面積比是n2∶1。為什么會有這樣的規律，可以引導學生通過演繹推理來證明。如長方形放大前：a×b，放大后：na×nb，放大后與放大前的面積比是■=■=■。

按教材要求只需用具體的數計算得出規律，這樣學生就看不到1的實質是1的平方。用演繹推理來證明其中的道理，不僅讓結論變得更可信，也為結論的推廣提供了有力的經驗支撐。

（3）實驗操作，讓理可信。數學實驗是為了檢驗數學事實或驗證數學猜想而進行的一系列數學操作或數學活動。有些規律之“理”很難證明，或證明所用知識超出了學生的認知水平，而數學實驗恰好是一種可信的說理方法。如探索“三角形內角和”時，首先讓學生計算三角板的內角和，初步得到猜想：等腰直角三角形三個內角和是180度，那其他直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形的內角和呢？學生首先想到了測量，結果發現數據均不相同，但接近180度。鑒于測量方法有誤差，不夠嚴謹，故教師可引導學生用撕角拼一拼、折角拼一拼的辦法。但撕、拼的過程中仍會不準確，這時學生一時難以想到，教師意在引導學生借助長方形，將長方形分成兩個完全相同的直角三角形。反之，任意兩個完全相同的直角三角形可以拼成一個長方形，這可以證明每個直角三角形的內角和就是“360÷2=180”度；任意一個銳角三角形、鈍角三角形也可以分成兩個直角三角形。

在一個比一個精確的數學實驗中，學生越發確信結論的正確，同時也體會到數學實驗也是要講究科學性和精確性的。

三、結束語

綜上所述，新課標強調探索規律要讓學生親自經歷探索的過程，對是否揭示規律背后的“理”不作要求，但教師不能對隱藏在規律背后的“理”視而不見，而應利用恰當的方式，在合適的時機揭示規律背后的基本概念、原理、方法、思想，讓學生知其然并知其所以然。這既是數學學科本質的要求，也是促進學生數學能力發展的要求，更是追求有深度的課堂的要求。

參考文獻（編者略）

（責任編輯 郭向和）