習題與變式

左效平

同學們若能對課本上的習題進行深入思考。往往能收到意想不到的效果。

在人教版七年級數學下冊教科書中有如下一道習題（第70頁第6題）：

如圖1，建立平面直角坐標系，能使點8，C的坐標分別為（0，0）和（4，0），寫出點A，D，E，F，G的坐標，并指出它們所在的象限。

分析：要想求出點A，D，E，F，G的坐標，并指出它們所在的象限，正確建立平面直角坐標系是關鍵。而建立平面直角坐標系的核心要素是確定坐標原點的位置，找出水平的橫軸和鉛直的縱軸。

水平的橫軸這樣找：過坐標原點畫一條水平的直線，規定向右為正方向。并且在直線上標上單位長度。

鉛直的縱軸這樣找：過坐標原點畫一條與水平的橫軸垂直的直線，規定向上為正方向，并且在直線上標上單位長度。

這樣，平面直角坐標系就建立起來了。

在這里，要提醒同學們注意的是，當點在x軸或者y軸上時，不屬于任何象限。

解：因為點B的坐標為（0，0），所以平面直角坐標系的原點是點B。因為點B，C的坐標分別為（0，0）和（4，0），所以點B，C在一條直線上，并且這條直線就是x軸所在的直線。過點B作直線BC的垂線，并且規定向上為正方向。這條垂線所在的直線就是y軸所在的直線，建立平面直角坐標系如圖2所示。

所以點A（-2，3）位于第二象限，點D（6，1）位于第一象限，點E（5，3）位于第一象限，點F（3，2）位于第一象限，點G（1，5）位于第一象限。

變式1：兩點坐標分別為（0，a）與（b，0），要求確定其他點的坐標。

要領：畫出經過點（0，a）的鉛直直線，畫出經過點（b，0）的水平直線，建立平面直角坐標系，找出其他點的坐標。

例1 （2016年山西）如圖3是利用網格畫出的太原市地鐵1號、2號線路部分規劃示意圖。若建立適當的平面直角坐標系。使“雙塔西街”的坐標為（0，-1），“桃園路”的坐標為（-1，0），則“火車站”（正好在網格點上）的坐標是

。

分析：根據“雙塔西街”的坐標為（0，-1），知道y軸是經過該點的鉛直直線。且向上為正方向。根據“桃園路”的坐標為（-1，0），知道x軸是經過該點的水平直線。且向右為正方向。兩線的交會處“大南門”為坐標原點。這樣坐標系就建立起來了。解答就簡單了。

解：“雙塔西街”的坐標為（0，-1），“桃園路”的坐標為（-1，0），所以“大南門”為坐標原點，所以“火車站”（正好在網格點上）的坐標為（3，0）。

點譯：確定坐標原點，確定數軸上單位長度是解題的關鍵。

變式2：兩點坐標分別為（0，a）與（m，n），要求確定其他點的坐標。

要領：畫出經過點（0，a）的鉛直直線，畫出經過點（m，0）的水平直線，建立平面直角坐標系，找出其他點的坐標。

例2 （2015年北京）圖4是利用平面直角坐標系畫出的故宮博物院的主要建筑分布圖。若這個坐標系分別以正東、正北方向為x軸、y軸的正方向，太和殿的坐標為（0，-1），九龍壁的坐標為（4，1），則下列宮殿的坐標正確的是（ ）。

A.景仁宮（4，2） B.養心殿（-2，3）

C.保和殿（1，0） D.武英殿（-3。5，-4）

分析；根據太和殿的坐標為（0，-1），知道太和殿在y軸上。結合九龍壁的坐標為（4，1），可以確定坐標系的原點位于中和殿。建立如圖5所示的平面直角坐標系。細心觀察，景仁宮的坐標為（2，4），所以A是錯誤的。養心殿的坐標是（-2，3），所以B是正確的。保和殿的坐標是（1，1），所以C是錯誤的。武英殿的坐標是（-4。5，-4），所以D是錯誤的。

解：選B。

點評：平時多加練習，考試時才會得心應手。

變式3：兩點坐標分別為（a，b）與（a，n），要求確定其他點的坐標。

要領：畫出經過點（a，b），（a，n）的鉛直直線，把直線向左或向右平移|a|個單位長度。得到），軸所在直線，畫出經過點（a，0）的水平直線，建立平面直角坐標系，找出其他點的坐標。

例3 （2015年綿陽）如圖6是轟炸機的一個飛行隊形，如果A，B兩架轟炸機的坐標分別為（-2，1）和（-2，-3），那么轟炸機C的坐標是____。

分析：根據A（-2，1）和B（-2，-3），知道A，B兩點在一條直線上，x軸位于點A下方且距點A一個單位長度，y軸位于點A右邊且距點A兩個單位長度，這樣，我們就可順利建立平面直角坐標系。

解：因為A（-2，1）和B（-2，-3），所以可得轟炸機C的坐標為（2，-1）。

點砰：根據A（-2，1）和B（-2，-3），確定原點的位置，建立平面直角坐標系是解題的關鍵。