加權整體最小二乘在GPS高程擬合中的應用

張鵬杰，鄭曉晨，孟祥用，張珍肖

(石家莊市勘察測繪設計研究院，河北 石家莊 050019)

加權整體最小二乘在GPS高程擬合中的應用

張鵬杰*，鄭曉晨，孟祥用，張珍肖

(石家莊市勘察測繪設計研究院，河北 石家莊 050019)

對于L=BX的工程問題，因為系數矩陣B和觀測向量L的元素都是實測數據，并且有時候是不等精度獲得的，存在或大或小的誤差，因此在這些地方運用加權整體最小二乘求解是更加適用的。本文給出了加權整體最小二乘的解法，最后結合實例進行計算，得出利用加權整體最小二乘方法所得到的檢核數據的殘差最小的結論，驗證了該理論的可行性，可以在工程應用中進行推廣。

加權整體最小二乘；GPS高程擬合；隨機模型；參數估計

1 引 言

GPS高程擬合在實際工程中應用很多，如何準確地把大地高H轉化為正常高h，一些學者做出了研究，在文獻[1]和文獻[2]中作者對高程分區擬合進行了應用研究，在文獻[3]中，針對高程擬合時多項式容易出現病態的問題，作者給出了解決辦法。通過上述文獻的案例數據，均表明采用多項式對GPS高程進行擬合的方法是可行的，但考慮到水準測量和GPS大地高測量均帶有不同程度的誤差，因此引進加權整體最小二乘的方法是更為適用的。

在文獻[5]、文獻[6]和文獻[8]中，作者對整體最小二乘的方法進行了闡述，證明了在觀測方程兩邊均含有誤差的情況下，采用整體最小二乘方法對參數的估計更為準確。在文獻[4]和文獻[9]中，作者在整體最小二乘方法的基礎上加入了權值，在參數估計的結果上顯現了更大的優勢。

2 加權整體最小二乘(WTLS)原理

對于觀測方程：

(1)

可以列出誤差方程：

(2)

加權整體最小二乘估計準則為：

VTPLV+vec(EB)TPBvec(EB)=min

(3)

以式(2)為條件，按Lagrange乘數法求解，構成目標函數為：

(4)

(5)

(6)

(7)

上式也可寫成：

2KTEB+2KTB=0

(8)

由式(5)、式(6)分別得：

V=QLK

(9)

(10)

將上面兩個式子代入誤差方程式(2)得：

(11)

式中：

(12)

將式(11)代入式(8)，整理得：

(13)

上式即為未知參數的加權整體最小二乘解，我們采用迭代法來進行求解。求解步驟為：

(3)將K代入式(10)，求得vec(EB)，還原成EB；

當系數矩陣結構比較復雜時，單獨對系數矩陣給予權值，QB的維數將會很大，這樣會對將來的計算造成困難，此時我們可以對系數矩陣按列和行來給予權值。QL為觀測值L的協因數陣，Q0為系數陣B的列向量協因數陣，Qx為系數陣B的行向量協因數陣，且有QB=Q0?QX。

3 GPS高程擬合

用于GPS高程擬合的數學模型很多，我們用最常用的是曲面擬合法。當GPS點布設成一定區域面時，可以采用曲面擬合法進行擬合，原理是：根據測區中公共點的平面坐標x、y和高程異常值ξ，用數值擬合法，擬合出測區的似大地水準面，再內插出待求點的高程異常值，從而求出待定點的正常高。

多項式曲面擬合法在擬合似大地水準面上較為準確，尤其是二次多項式曲面數學模型最為常用。即對于公共點上的高程異常值與平面坐標之間假定存在如下數學模型：

(14)

式中，a0、a1、a2、a3、a4、a5為模型待定參數。因此，區域內至少需有6個公共點。當公共點多于6個時，可組成誤差方程：

V=BX-L

(15)

式中：

按最小二乘原理解求出模型待定參數a0、a1、a2、a3、a4、a5的數值。該擬合方法適合于平原與丘陵地區，實踐表明，在一定范圍內擬合精度可優于 3 cm。二次曲面擬合還可進一步擴展為多項式曲面擬合法，這時數學模型為：

寫成矩陣形式，列誤差方程表示與式(15)相同。

在實際應用中，如果把測區的似大地水準面假定為平面擬合模型，一般取式的前三項，對于測區面積不是很大，特別是測區內高程異常的變化有規律且地形變化平緩，已知點分布均勻的情況下，把測區的似大地水準面看成是一個二次曲面，則更為符合對似大地水準面的描述，根據過去的計算經驗，能夠達到比較理想的精度，所以在本文中我們采用二次曲面擬合法。

4 加權整體最小二乘在GPS高程擬合中的應用

為研究加權整體最小二乘(WTLS)的可行性和有效性，我們使用黃河某公路大橋數據來進行分析。該大橋處在黃河流經的平原上，橋址所處地區地勢平坦，海拔在 1 200 m左右，橋址兩端相對高差不到兩米，兩岸河床寬度在 1 000 m左右，交通便利，測區范圍內的國家三角點和大地水準點資料都已收集齊全。點位分布如圖1所示：

圖1 某黃河大橋測區控制點分布圖

測區內GPS點的高程異常值和平面坐標的數據列于表1。

原始數據 表1

表中，x、y為GPS點的平面坐標，ξ為經水準聯測得到的該點處高程異常值。

現在我們取GPS點1、2、3、4、5、6、7、11、13、14、15、16、17、20、21來進行建立模型計算參數，GPS點8、9、10、12、18、19六個點來做外部檢核。采用二次多項式曲面擬合方法進行擬合，公式為：

在WTLS的算法中，對系數矩陣B的權值按行和列來分別給予。列方程L=BX，其中：

PL為觀測值權陣，Q0為系數陣列向量協因數陣，Qx為系數陣行向量協因數陣，In為n階單位陣。

用最小二乘(LS)、一般整體最小二乘(TLS)和加權整體最小二乘(WTLS)三種方法分別對參數進行求取，并對外部檢核數據進行計算，列于表2，然后計算其與測量值的殘差，并繪圖表示于圖2。

外符合數據 表2

圖2 檢核點殘差(單位/mm)

根據實際工程項目獲得的數據，利用GPS高程擬合原理和方法，采用二次擬合模型來進行擬合，并用最小二乘、整體最小二乘和加權整體最小二乘來進行解算參數，求得高程異常值，將GPS測量得到的大地高轉化為工程項目中需要的正常高，對結果進行比較分析。最后得出結論：從圖2中可以很直觀地看出，對于6個外部檢核數據，加權整體最小二乘所計算的結果得到的殘差均是最小的。通過與規范中水準等級限差進行比較，加權整體最小二乘可以達到三等水準精度要求，一般整體最下二乘可以達到四等水準精度要求，而最小二乘剛好也可以達到四等水準精度要求。這就說明加權整體最小二乘可以大大提高似大地水準面的擬合精度，為GPS高程數據的實際應用提供了有力的保證。

5 結 論

由于整體最小二乘方法建立的模型對方程的兩邊都進行了最小化約束，因此它比假設系數矩陣無誤差的最小二乘方法更加合理，而加權整體最小二乘則是在整體最小二乘的基礎上考慮了權值的問題，把對方程影響程度大的因子賦予了較大的權值，因此它又比一般整體最小二乘方法更加合理。計算結果說明了加權整體最小二乘法在高程擬合中的優勢，該方法具有較好的理論研究價值和實用價值，應將這種方法廣泛地應用于工程實際中來。

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Weighted Total Least Squares Theory with Applications in GPS Elevation Fitting

Zhang Pengjie ，Zheng Xiaochen ，Meng Xiangyong ，Zhang Zhenxiao

(Investigation and Surveying Institute of Shijiazhuang City，Shijiazhuang 050019，China)

For the engineering problems of L=BX，the elements of coefficient matrix B and the observation vector L were measured data，and sometimes they were unequal precision obtained，exsisting error or big or small，so in these areas using the weighted total least squares solution was more suitable . This paper gave a method of weighted total least squares，finally calculated with examples，came to conclusion that the residuals of checking data by using the weighted total least squares method was least ，verified the feasibility of theory，could be applied in engineering application.

weighted total least squares；GPS elevation fitting；stochastic model；parameter estimation

1672-8262(2017)03-86-04

P228

B

2016—10—22

張鵬杰(1986—)，男，工程師，碩士，主要從事城市測量技術工作。