沿岸流非線性不穩定特征數值研究

沈良朵，鄒志利，唐志波，倪云林，陳維

(1.浙江海洋大學 港航與交通運輸工程學院， 浙江 舟山 316022;2.大連理工大學 海岸與近海工程國家重點實驗室， 遼寧 大連 116024)

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沿岸流非線性不穩定特征數值研究

沈良朵1，鄒志利2，唐志波1，倪云林1，陳維1

(1.浙江海洋大學 港航與交通運輸工程學院， 浙江 舟山 316022;2.大連理工大學 海岸與近海工程國家重點實驗室， 遼寧 大連 116024)

當不穩定剪切波的波幅達到有限幅值之后，需要用非線性不穩定模型來分析沿岸流不穩定運動特征。本文通過建立并驗證沿岸流非線性不穩定數學模型，在討論該模型參數對沿岸流不穩定影響的基礎上，率定實驗中的模型參數并利用該數學模型模擬了實驗中沿岸流不穩定的發展過程及其特征，主要結論有：(1)底摩擦系數越小，側混系數越小，不穩定發生的時間越早，不穩定的波動幅值越大；(2)沿岸流非線性不穩定演化可能出現的5個階段(線性階段、倍周期階段、大周期階段、波群階段以及不規則階段)，實驗中出現的沿岸流通常處于線性階段或非線性倍周期階段，倍周期階段的渦旋是由線性階段的渦旋發生追趕、配對直至合并產生的。渦旋配對以碰撞的形式發生，大部分能量轉移至追蹤波，然后以較慢的渦旋速度沿岸傳播。

非線性不穩定；非線性；不穩定；沿岸流不穩定；沿岸流

1 引言

在波浪傳向海岸過程中，除自身的周期性運動外，還有由于波浪非線性和波浪破碎而產生包括質量輸移流、沿岸流、沿岸流不穩定運動及破波帶內的旋渦運動等多種形式的水流運動。這些復雜的水流運動和波浪運動相互作用，會使海岸區域的物質輸移擴散及泥沙運動出現復雜的運動形態。波浪的非線性使水質點的運動軌跡不封閉從而產生了質量輸移流[1]；波浪斜向入射傳至海岸時，為平衡輻射應力梯度，將沿岸波動動量轉化為時均沿岸流動從而產生了波生沿岸流。隨著對沿岸流認識的深入，近些年人們還發現沿岸流存在不穩定現象[2-3]，即沿岸流在沿岸流動的同時，速度矢量還存在長周期左右擺動。該沿岸流不穩定現象也被稱為剪切波。Oltman-Shay等[2]通過觀察發現了近岸破碎區周期O(1 000 s)、波長O(100 m)沿岸傳播波動的存在。這些波動比觀察到的對應頻率的重力波波長要小得多。這些像波浪運動一樣沿岸傳播波動的存在及其屬性與破波區沿岸流的存在、強度和方向有關。自Oltman-Shay等[2]在現場觀測到的沿岸流不穩定運動以來，人們就對其特性進行了很多研究。Bowen和Holman[4]用線性不穩定理論解釋了Oltman-Shay等[2]現場觀測到的沿岸流不穩定現象，并將這種周期性低頻振蕩稱為剪切波或者沿岸流不穩定運動。他們通過一個簡單的流速剖面(其沿岸流離岸一側的背景旋只有一個極值)闡述了剪切不穩定機理。但進一步研究發現線性不穩定理論只適用于小波幅的剪切波：a/L?1，a和L分別為剪切波的波幅和波長。當不穩定剪切波的波幅達到有限幅值之后，需要用非線性不穩定模型來分析，因為隨著沿岸流不穩定運動的進一步發展，由不穩定引起的擾動速度場、波面變化等使得原來線性不穩定模型中的一些假定不再成立，包括較小的擾動項和忽略掉的非線性項(非線性作用較強時，不能忽略)。

研究非線性波浪的一個有效方法是使用通過多尺度漸近展開得到的簡單數學模型。同原始的淺水方程相比，這些模型一般應用范圍有限，但只要潛在的假定是有效的，它們就能有效地描述非線性剪切波必要的動力特性。Dodd和Thornton[5]、Feddersen[6]利用弱非線性理論對海灘上的沿岸流不穩定進行了解析研究。結果表明：當沿岸流不穩定達到有限幅值后，就會改變平均沿岸流的分布。雖然弱非線性理論在超出線性區域的范圍時對于理解不穩定運動的發展是有用的，但它仍局限于小波幅波浪的情況。對于淺水中所觀察到的強非線性剪切波不再有效。Falques等[7]在“剛蓋”假定的基礎上建立了考慮底摩擦和側混的非線性淺水模型，并在平面斜坡地形上用該模型進行了數值模擬實驗。他們通過數值研究發現，非線性不穩定的波動幅值要么是周期性變化的，要么為常數；另外，他們還發現，非線性不穩定的波動周期隨著波動幅值的增大而增大。Allen等[8]用數值模擬詳細分析了平面斜坡地形下沿岸流不穩定運動受底摩擦系數和計算域在沿岸方向長度的影響。?zkan-Haller和Kirby[9]用考慮底摩擦和側混影響的非線性淺水方程對SUPERDUCK實驗中的沿岸流不穩定運動進行了數值研究。他們討論了底摩擦與側混效應對不穩定運動結果的影響，結果表明：底摩擦系數越小，則平均沿岸流越大，相應的速度波動幅值也越大，產生的渦旋運動也更劇烈；側混系數越小，則速度時間歷程波動幅值越大，不穩定運動波長越小，相應的渦旋運動也更加劇烈。Slinn等[10]用考慮底摩擦而沒有考慮側混的非線性淺水方程研究了兩個沙壩地形上的剪切不穩定。他們發現底摩擦系數對不穩定運動波動幅值有較大影響：當底摩擦系數較大時，剪切波呈現等幅波動，與線性不穩定結果類似；當摩擦系數較小時，不穩定運動波動幅值逐漸變得不規則。?zkan-Haller和Li[11]通過輻射應力梯度項和波流相互作用項耦合研究了破波區沿岸流波流相互作用的剪切不穩定效應。Terrile等[12]利用相位重解模型(沒有考慮波流之間的區別)求解了流場，研究了近岸環流中的渦旋輸移運動。此外，任春平[13-14]利用最大熵譜估計分析了鄒志利等[15]在大連理工大學實驗室進行的沿岸流不穩定運動實驗。Feddersen等[16]通過高階Boussinesq模型數值模擬了加利福尼亞亨廷頓海灘附近波浪和沿岸流共同作用下HB06染料的擴散實驗，模擬結果與破波區染料輸移擴散現場實驗觀測到的低頻渦旋吻合良好。以上提到的對沿岸流不穩定的研究中，當初始的平均沿岸流逐漸發展成有限幅值波動的沿岸流不穩定運動之后，所有研究者的思想都是基于Bowen和Holman[4]所用的線性不穩定理論。

2 沿岸流非線性不穩定控制方程

沿岸流不穩定水動力方程基于波浪周期平均和水深平均的二維近岸環流方程：

?η?t+??x[ud]+??y[vd]=0，

(1)

?u?t+u?u?x+v?u?y=-g?η?x+τx+τ′x-1ρdτbx，

(2)

?u?t+u?u?x+v?u?y=-g?η?y+τy+τ′x-1ρdτby，

(3)

式中，x和y分別為垂直海岸方向和沿岸方向，取x軸向岸為正，原點取在岸線上；η為波浪周期時間平均后的波面升高；h為靜水水深，d=h+η為總水深；u和v分別為x和y方向的波浪平均和水深平均的水流速度；τx和τy為波浪驅動力；τ′x和τ′y為側向混合項；τbx和τby為底摩擦力項。

把流動分為穩定的部分和波動的部分，則穩定情況下x方向和y方向的動量方程滿足以下方程：

g?η?x=-1ρd?Sxx?x+?Sxy?y，

(4)

-1d??xved?V?x+μdV=-1ρd?Sxx?x+?Sxy?y，

(5)

式中，Sxx、Sxy和Syy表示下標所指的相應方向的平均輻射應力。將波浪輻射應力分解為平均輻射應力和波動輻射應力之和，此時x方向的平均輻射應力由穩定的增減水η來表達，y方向的平均輻射應力可用穩定的速度剖面V來表達，這樣表達的輻射應力滿足下面的二維近岸環流方程：

?η?t+??x[ud]+??y[vd]=0，

(6)

?u?t+u?u?x+v?u?y=-g?η?x+g?η?x-

1ρd?Sxx?x+?Sxy?y+τ′x-1ρdτbx，

(7)

?u?t+u?u?x+v?u?y=-g?η?x-1d??xved?V?x+

μdV-1ρd?Sxy?x+?Syy?y+τ′y-1ρdτby，

(8)

式中，Sxx、Sxy和Syy表示下標所表示相應方向的波動輻射應力，它們的值可這樣求得：首先由初始入射邊界處總的波能計算得到各位置隨時間變化的波能，然后再減去各位置不隨時間變化的平均波能，這樣可以得到各位置隨時間變化的波能的波動部分，由該波能的波動部分計算得到相應的波動輻射應力。對規則波而言，波動的輻射應力為0，故此時的波浪作用力項可簡化為τx=g?η/?x和τy=-?(νed?V/?x)/(d?x)+μV/d。

方程中的側向動量摻混作用力τ′x和τ′y，采用?zkan-Haller和Kirby[9]給出的公式計算：

τ′x=2d??xνed?u?x+1d??yνed?v?x，

τ′y=1d??xνed?v?x,

(9)

式中，渦黏系數νe與能量損耗有關，可寫由νe=Mhgh，系數M的范圍為0.008～0.067。

方程中的底摩擦作用力項τbx和τby采用Haller耗散項[9]：

τbx=2μρuc，τby=μρvc,

(10)

式中，底摩擦系數μ=(2/π)fcwuwa，fcw為波流共存時的底摩擦系數，uwa為近底波浪水質點水平速度幅值。

需要指出的是方程中的波浪作用力包含輻射應力的波動影響，此時的能量方程應包含波能Ew隨時間的變化項?Ew/?t，如式(11)所示。

?Ew?t+?Ewcgcosα?x=-S.

(11)

對于規則波來說，因為波能Ew不隨時間的變化而變化，所以?Ew/?t=0。

3 模型驗證

為了驗證本文沿岸流不穩定運動模型的可靠性，本節針對Allen等[8]平面斜坡地形上的沿岸流不穩定運動進行了數值計算，因為本模型和Allen等[8]模型都采用二階精度的中心差分和ABM格式的時間步進方法。通過計算所得的沿岸流不穩定運動時間歷程和Allen等[8]的計算結果對比，發現結果差別很小，這表明本文所用的數學模型是可靠的。

計算區域的地形為平面斜坡，見圖1，坡度為1∶20，垂直于岸方向的計算長度L(x)=1 000 m。初始流速V(x)采用n=3時的Allen型(V(x)=c0x2e-(x/α)n)平均沿岸流分布，并使其平均沿岸流最大值為Vmax=1 m/s，最大值位置距岸線x=90 m處。該流速剖面對應的沿岸流最大不穩定的增長率ωi相應的波數為k0=0.013 9 m，該波數對應的相速度cr=0.65 m/s。沿岸流不穩定運動的周期為2π/(k0cr)=690 s。本節計算的是沿岸方向的長度為1倍最不穩定增長率對應的波長λ0=2π/k0的情況，所以計算區域沿岸方向的長度L(y)=λ0=450 m。

圖1 計算區域的海底地形Fig.1 Model geometry of the computational domain

圖2給出了底摩擦系數μ=0.006時位于x=90 m,y=0.25L(y)=112.5 m處的垂直岸向速度u的時間歷程Allen等[8]和本文數值計算結果的比較。

圖2 Allen等[8]和本文垂直岸方向速度u的時間歷程的比較Fig.2 Comparison of time series of u between Allen et al.[8] and this paper

由圖2比較可知，本文的沿岸流不穩定運動模型能較好地重現Allen等[8]的數值計算結果。當μ=0.006時，本文的數值結果中速度u波動幅值出現了群的特征：群的周期約為3.2 h，每一個群周期含13個小周期波動，對應的每個小周期約為886 s，u的波動幅值的范圍為0.06～0.20 m/s；Allen等[8]相應計算結果中速度的時間歷程也出現了類似群的特征：群的周期約為3 h，比本文結果略小，每一個群周期含12個小周期波動，對應的每個小周期約為900 s，速度u的波動幅值為0.05～0.17 m/s，與本文的結果接近。需要指出的是空間步長對不穩定群周期有重要影響，當采用較大的空間步長時，相應的群周期也較大。通過與Allen等[8]結果的比較可知，每個不穩定波長大約需要200個網格點來確保模型的計算精度。

4 模型參數對沿岸流不穩定的影響

沿岸流不穩定非線性數學模型中包含底摩擦力項τbx和τby及側向動量摻混作用力τ′x和τ′y項，?zkan-Haller和Kirby[9]在模擬SUPERDUCK現場實驗中的剪切不穩定時指出，底摩擦與側混對沿岸流不穩定計算結果有重要影響。這里以在大連理工大學所做的沿岸流不穩定實驗波況(Tp=1 s，Hrms=5.63 cm)[17]為例(不考慮不規則波輻射應力的波動影響)，分別通過固定側混系數M變換不同的底摩擦系數fcw來討論底摩擦系數fcw對沿岸流不穩定的影響以及通過固定底摩擦系數系數fcw變換不同的側混系數M來討論底側混系數M對沿岸流不穩定的影響。

圖3給出了側混系數M=0.02時，底摩擦系數fcw分別取0.000 25、0.000 5、0.001 5和0.005時，位于實驗點(2.5 m，14.5 m)處垂直岸方向流速u和沿岸方向流速v的時間歷程。由圖3可見，在當底摩擦系數fcw取小于0.000 5時，流速時間歷程出現了類似群的特性，隨著時間繼續，還會進一步發展成不規則波動的形式；增大底摩擦系數fcw至0.001 5時，群特性消失，經過一段時間慢慢發展成具有恒定幅值和倍周期的不穩定形式；再進一步增大底摩擦系數fcw時，流速時間歷程波動消失，流速是穩定的。進一步比較發現，底摩擦系數fcw越小，不穩定越容易發生且不穩定出現得越早。

圖3 不同底摩擦系數時流速u、v時間歷程
Fig.3 Time series of velocities u， v for different bottom friction coefficients

圖4給出了底摩擦系數fcw=0.000 5時，側混系數分別取0.01、0.02和0.04，位于實驗點(2.5 m，14.5 m)處流速u、v時間歷程。由圖4可見，和底摩擦系數fcw對沿岸流不穩定的影響類似，側混系數M取較小值0.02時，流速時間歷程出現了類似群的特性；減小側混系數M至0.01，群特性消失，經過一段時間慢慢發展成具有恒定幅值和倍周期的不穩定形式；而當加大側混系數M時，沿岸流不穩定則一直保持在等幅等周期的線性不穩定階段。此外，側混系數M越小，不穩定發生的時間越早，不穩定的波動幅值越大。

圖4 不同側混系數時流速u、v時間歷程Fig.4 Time series of velocities u， v for different lateral mixing coefficients

表1 不同底摩擦系數和側混系數作用下的不穩定特征

表1給出了上述不同底摩擦系數fcw和側混系數M作用下的不穩定特征的匯總結果。進一步觀察物理模型實驗流速歷程測量結果發現，底摩擦系數fcw取0.001，側混系數M取0.02時，數值計算歷程中0.38～0.58 h的波動特征和實驗結果(低通濾波截斷頻率為0.1 Hz)吻合良好，見圖5(數值計算時間由0.38～0.58 h平移至與實驗記錄相同的0～720 s)。實驗中的波動周期約為200 s，而數值計算的約為164 s，與實驗結果較為吻合；二者的波動幅值也較為吻合，約為2 cm/s。這表明底摩擦系數fcw取0.001時，能基本重現實驗中出現的沿岸流不穩定現象，同時也表明該情況實驗中沿岸流處于線性不穩定或弱非線不穩定階段。

圖5 流速u、v時間歷程(┄)和實驗結果(—)比較(實驗點(x，y)=(2.5 m，14.5 m)Fig.5 Comparison of time series of velocities u， v at (x，y)=(2.5 m，14.5 m) between simulation and experimental result

5 實驗中沿岸流非線性不穩定特征數值模擬

這里以物理模型實驗不規則波況(Tp=2 s，Hrms=3.38 cm)[17]為例來說明沿岸流非線性不穩定的發展過程及特征。圖6給出了該波況位于實驗點距沿岸距離為14.5 m處垂直岸方向距離分別為1.0 m、2.0 m和3.5 m處流速u、v的時間歷程，圖7給出了對應位置處實驗測量的流速時間歷程的濾波線(濾波頻率為0.1 Hz)。

由圖6可見，該不穩定發展過程有一個相對穩定段(在t=0.38～0.51 h時間段)，對應的流速時間歷程呈等幅等周期波動，此時對應的沿岸流處于線性不穩定發展階段；經過該穩定段后，它會逐步發展成倍周期不穩定形式(不穩定波動周期約為396 s(t=0.68～0.90 h)，之后會進一步發展成大周期的波動形式。由圖7可見，實驗不穩定波動周期約為380 s，與非線性數值計算結果中倍周期階段的波動周期接近，這表明該波況實驗處于非線性發展的倍周期階段，約為線性不穩定計算得到的波動周期(188.6 s[17])的2倍。此外，數值計算結果中沿岸流最大值位置處(x=2.0 m)的沿岸方向流速u的波動幅值約為2.0 cm/s，垂直岸方向流速v的波動幅值約為4.0 cm/s；而相應的實驗結果沿岸方向流速u的波動幅值約為3.0 cm/s，垂直岸方向流速v的波動幅值約為4.5 cm/s，與數值計算的波動幅值接近。

圖6 數值計算流速u、v時間歷程Fig.6 Time series of velocities u， v for simulation

圖7 實驗測量流速u、v時間歷程Fig.7 Time series of velocities u， v for experimental result

圖8 渦旋及流場Fig.8 Contour plots of vorticity and velocity

圖8給出了該波況不同時刻的渦量場和速度場。這些不同時刻的渦量場及相應的流場反映了渦的生成、發展及演化的過程。由圖8可見，在t=1 440 s之前的沿岸流處于穩定狀態，表現為負渦旋、正渦旋和零渦旋呈條形分布在近岸至離岸一側。在這之后，開始生成一個規則渦并沿岸傳播，表現為渦旋等間隔、等強度的沿岸均勻分布，這剛好對應流速時間歷程的穩定段，產生的渦旋為規則渦，它們的相鄰渦旋呈等強度、等距離分布并沿岸傳播。此階段的渦旋呈輕微向上隆起的條狀分布，含一正一負兩個渦旋，并沒有形成非常明顯的集中渦。相鄰渦旋之間的距離約為20 m(由t=1 460 s的渦旋可看出，從沿岸5 m到20 m之間)；這與線性不穩定的波長計算結果(L=19 m)[17]接近。由相鄰時刻渦旋的相對位置和間隔時間可知，該集中渦旋的傳播速度約為0.04 m/s(經50 s，沿岸位置第一個渦旋由2 m傳播至5.5 m附近)。隨著不穩定的進一步發展，原來的規則渦開始發生變化，表現為相鄰渦旋之間的距離發生變化，渦旋的形態也隨之發生變化。在t=2 160 s時，在沿岸35 m附近出現了明顯的較大的渦旋，相應的速度場也劇烈旋轉；隨著不穩定發展到后期階段，渦旋之間會發生相互作用，生成一個更大的渦旋并沿岸傳播。從渦量圖來看，在t=4 320 s時，在沿岸方向均只包含一個大渦旋，呈大橢圓形結構，相應的速度場表明該區域內速度發生劇烈旋轉。

結合第3節分析，沿岸流不穩定發展可能包含5個階段，即線性階段、倍周期階段、大周期階段、波群階段和不規則階段。

為了進一步闡述圖8中渦旋發展演化過程，圖9給出了該波況渦旋q(x0,y,t)位于x0=2.5 m處隨時間演化的等值線圖，其中紅色區域代表正渦旋，藍色區域代表負渦旋。圖9a表示渦旋q(x0,y0,t)位于y0=7.5 m處的時間序列。這個沿岸y位置也用粗實線標記在等值線圖上。渦旋波峰值沿-y方向傳播，結果中渦旋的傳播速度可由-dy/dt來表示，這表明直接從圖上看時，斜率越大，則渦旋的傳播速度越慢，反之斜率越小，則渦旋的傳播速度越快。由圖9可見，大約在t=0.8 h時，其中一個渦旋突然加速。圖9a時間序列表明較快行進波的幅值比它前面波的幅值小。較快的渦旋最終趕上它前面的渦旋，在沿岸方向y=35 m處相碰撞。相應擾動將以較慢渦旋的速度傳播。這種渦旋配對現象在圖9中大約在t=0.9 h時再次出現，表現為斜率(-dy/dt)較小的渦旋(傳播速度較快)以較快的傳播速度趕上斜率(-dy/dt)較大的渦旋(傳播速度較慢)，然后發生碰撞并合并，最終以斜率(-dy/dt)較大(傳播速度較慢)的渦旋沿岸傳播。這表明渦旋配對以碰撞的形式發生，大部分能量轉移至追蹤波，然后以較慢的渦旋速度沿岸傳播。進一步觀察圖9發現，渦旋配對之后，將以恒定的速度和能量沿岸傳播。渦旋配對后，渦旋大小q≈-0.1(1/s)，觀察其中一個渦旋沿岸傳播的過程發現，從t=1.12 h至t=1.39 h，渦旋傳播的距離為37.95 m，計算可得渦旋配對后的傳播速度約為0.040 m/s。

圖9 隨沿岸長度y和時間t變化的渦旋q等值線圖(x0=2.5 m)，a圖為渦旋在(y0=7.5 m)處的時間序列Fig.9 Contour plot of vorticity q(s-1) as a function of y and t at x0=2.5 m

6 結論

本文建立并驗證了沿岸流非線性不穩定數學模型，討論了模型參數(底摩擦和側混系數)對沿岸流不穩定的影響，并利用該數學模型模擬了實驗中沿岸流不穩定的發展過程及其特征，主要結論如下：

(1)沿岸流不穩定發展過程受數學模型參數的影響。底摩擦系數fcw越小，側混系數M越小，不穩定發生的時間越早，不穩定的波動幅值越大。

(2)數值模擬了物理模型實驗對應波況沿岸流非線性不穩定運動的特征。非線性不穩定演化可能出現5個階段(線性階段、倍周期階段、大周期階段、波群階段以及不規則階段)，實驗中出現的沿岸流通常處于線性階段或非線性倍周期階段，倍周期階段的渦旋是由線性階段的渦旋發生追趕、配對直至合并產生的。渦旋配對以碰撞的形式發生，大部分能量轉移至追蹤波，然后以較慢的渦旋速度沿岸傳播。

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Shen Liangduo. Study of the feature of longshore current and its instability on mild beach slope[D]. Dalian: Dalian University of Technology， 2015．

Numerical study of nonlinear shear instability of longshore currents

Shen Liangduo1，Zou Zhili2，Tang Zhibo1，Ni Yunlin1，Chen Wei1

(1.SchoolofMaritimeandCivilEngineering，ZhejiangOceanUniversity，Zhoushan316022，China；2.StateKeyLaboratoryofCoastalandOffshoreEngineering，DalianUniversityofTechnology，Dalian116024，China)

It is necessary to analyze the characteristics of longshore current instability by using the nonlinear instability model when wave height reaches a finite amplitude. Building and verifying the nonlinear instability mathematical model of longshore current， this paper discusses the influences of model parameters and obtains the value of model parameters corresponding to the experimental result. The development process and its characteristics of longshore current instability in experiment are simulated and illustrated by the mathematical model. Key innovations include: (1) the smaller the bottom friction coefficient and lateral mixing coefficient， the sooner the instability occurrence， the bigger the fluctuation amplitude is; (2) the evolution processes of longshore current include five stages (linear， double period， larger period， wave group and irregular stages). The longshore current instability in the experiment occurs in stages of linear or double period. The vortex in double period stage forms by the vortexes in the linear stage which catch， match and merge one another. The match of vortex occurs in collision， the major energy transfers to trace wave and spreads along the coast at a slower rate of vortex．

nonlinear shear instability; nonlinear; instability; longshore current instability; longshore current

2016-08-17；

2017-02-05。

浙江海洋大學創新團隊基金，科研啟動經費資助(11185010817)；國家自然科學基金(10672034)。

沈良朵(1982—)，男，安徽省安慶市人，博士，講師，主要從事近岸水動力方面研究。E-mail：slduo@163.com

10.3969/j.issn.0253-4193.2017.07.003

P731.2

A

0253-4193(2017)07-0026-10

沈良朵，鄒志利，唐志波， 等. 沿岸流非線性不穩定特征數值研究[J]. 海洋學報， 2017， 39(7): 26-35，

Shen Liangduo， Zou Zhili， Tang Zhibo， et al. Numerical study of nonlinear shear instability of longshore currents[J]. Haiyang Xuebao， 2017， 39(7): 26-35， doi：10.3969/j.issn.0253-4193.2017.07.003