漸開線直齒圓柱齒輪修形優化探討

孫禹鋒 陳鳳騰 韋 欣

（徐州工程學院機電工程學院，江蘇 徐州 221000）

漸開線直齒圓柱齒輪修形優化探討

孫禹鋒 陳鳳騰 韋 欣

（徐州工程學院機電工程學院，江蘇 徐州 221000）

為了減小齒輪嚙合過程中的接觸應力，在傳統齒廓修形理論的基礎上，以嚙合齒輪的傳動誤差最小為目標函數，應用 遺傳算法對齒輪的修形參數進行優化，同時采用有限元分析的方法對修形前后的齒輪進行對比分析。結果表明，在確保滿足齒輪傳誤差最小的條件下，用該方法確定的齒輪優化修形參數，可以減小齒輪嚙合過程中的齒根處44.43%接觸應力。

直齒圓柱齒輪；遺傳算法；有限元分析；傳動誤差；接觸應力

齒輪傳動是機械傳動中重要的傳動之一，而實際齒輪的傳動往往受到齒輪失效因素的影響，因此提出齒輪齒廓修形來減小齒輪變形對傳動產生的影響。國內外不少學者對齒輪齒廓修形進行了大量研究，Muthusamy Nataraj利用ANSYS軟件建立嚙合齒輪，并分析齒輪修形前后的應力變化及分布；國內的楊延力、周志峰等人詳細地給出了齒輪齒廓修形參數的計算方法；孫建國基于有限元計算齒輪修形對嚙入沖擊的影響。

上述研究雖然提出了齒輪修形參數的確定方法，但是沒有考慮實際狀況造成齒輪的傳遞誤差對修形參數的影響。而在實際應用中，傳動齒輪由于振動而引起疲勞斷裂的可能性會急劇增加，嚴重危及了傳動齒輪的壽命。故本文以齒輪齒廓修形為基礎，采用遺傳算法，以減小齒輪傳動誤差波動為目標，優化齒輪修形參數，并應用ANSYS軟件對優化前后齒輪分析和驗證。

1 漸開線齒輪修形參數

齒輪齒廓修形的具體操作方法就是把原來的漸開線齒廓在接近齒根圓角或者齒頂的地方修去很小一部分，使其偏離理論齒廓。該修形可減輕主動輪與從動輪之間，由受載變形所引起的嚙合沖擊以及傳動誤差。

目前齒輪齒廓修形通常有以下兩種方法：一種方法是在一個齒輪的齒頂和齒根上進行修形，相嚙合的另一個齒輪不進行修形；另一種方法是同時對嚙合齒輪進行修形。齒廓修形主要圍繞圖，中三個基本要素最大修形量修形長度L和修形曲線展開。三要素的修形示意圖如圖1所示：

圖1 齒輪修形參數圖

圖2 修改后齒輪參數修形圖

本文選擇傳動誤差最小為優化的目標，可以化簡計算的過程，在結合袁哲等人的方法前提下，對齒輪修形三要素進行改進。令主從動齒輪的最大修形量分別為Sp和Sg，修形角度分別為使齒輪修形參數如圖2所示。

設m為齒輪模數，則齒輪齒形修整量一般為0.02m以下，修整高度為0.6m以下。把修整高度換算成修形角度，得到修形角度和修形量的最大值分別為64.331m和0.06m，最小值為應用遺傳算法在0.01和10范圍內搜索最佳修形量。

2 確定優化目標函數

eA能夠轉化為嚙合線上的位移，表示為e，設從動輪的基圓半徑為rb2，即：

如果傳動過程中沒有產生振動，那么e的值就恒為零。但是實際的齒輪傳動中，振動是不可避免的，所以需要將齒輪傳動誤差e控制在一個很小的范圍以內變化。若假設齒輪嚙合過程中產生的最大傳動誤差為emax，那么對任意嚙合點i處到最大值嚙合點的傳動誤差的波動為：

令齒輪法向增加為正，在對齒輪修形的過程中，設嚙合齒輪對在嚙合點i的修形量之和為pi，該嚙合點齒輪對的綜合變形量為則：

從式（5）中可以看出，在任意嚙合點位置，若要使齒輪的振動越小，齒輪那一點的修形量之和pi，與這一點的綜合變形量的差ei就要越接近傳動誤差的最大值。

為了讓傳動誤差最小，為此將其作為目標函數，應用單目標遺傳算法進行優化求解。

遺傳算法是一種自適應全局優化概率搜索算法，應用算法求解問題時，在編碼規則、適應度函數和遺傳算子確定以后，算法能夠利用計算過程中解的變化自動發現空間的特征和規律。遺傳算法具有實用、高效、魯棒性強等優點，并且在解決非線性、多目標優化等模型上體現出較好的性能，適合齒輪齒廓修形的優化設計。

根據上述分析，建立遺傳算法模型如下：

step1編碼機制：采用二進制碼的方式進行編碼，將修形參數Sp和Sg都一個視為精度為64的染色體，其中每個參數的精度為16，分別如下：

step3目標函數：采用上文建立的以嚙合齒輪的傳動誤差最小，即式（5）為遺傳算法的目標函數：

step4適應度函數：由于本文研究的是最小值問題，因此設置適應度函數與目標函數相同，適應度函數值越高的染色體被選中的機會越大。

step5復制：遺傳算法中的復制是指從種群中選擇生命力強的個體，并將其遺傳到下一代的過程，本文中該過程可以選擇采用俄羅斯輪盤賭法即通過每個個體的選擇概率，計算累計概率。第k個個體的累計概率為然后產生0到1之間的隨機數)進行比較來決定選擇個體。

step6交叉：交叉現象模擬了生物進化中的繁殖現象，通過兩個舊的染色體的交叉互換產生新的染色體。本文采用隨機的方式在兩個染色體之間隨機選擇兩個點位進行互換。

step7變異：變異運算模擬生物在自然繁殖過程中由于偶然因素引起的突變，若沒有，則無法在初始基因組合以外的空間進行搜索，將會使算法陷入早期局部最優解而終止運算。定義Pm為變異操作的概率，本文中取變異概率Pm=0.05。即每次染色體交換以后，通過變異算子以概率Pm隨機反轉任意一個基因位的二進制字符，產生新的染色體。

3 計算實例與討論

3.1 原始齒輪應力分析

在Pro/E建立一對漸開線嚙合齒輪的三維模型，其中齒輪基本參數模數m＝4，齒數z＝20，其他參數如表1所示，將完成的模型導入ANSYS軟件中。

表1 齒輪基本參數表

齒輪動態瞬時接觸分析基本參數設置如下，齒輪材料為結構剛、使用默認的網格劃分方法，并對齒輪嚙合面處使用sizing進行網格細化。

3.1.1 邊界條件進行設置：設定轉動副載荷，主動輪轉動副載荷設置為轉速；從動輪轉動副載荷設置為轉矩，分別為10rad/ s、

3.1.2 接觸函數的選擇與設置：本文齒輪嚙合表面接觸函數選擇為加強拉格朗日函數，摩擦系數設置為0.2；法向剛度因子FKN，由于齒輪的接觸主要為體格體積上的問題，因此FKN參數選擇為1。

設置完成后，點擊求解得到如圖3所示的應力云圖：

圖3 未修形前齒輪應力云圖

從圖3中可以很明顯看到齒根處的應力為74.594。說明齒根處受到了很大的應力，極有可能造成齒根斷裂等失效現象。

3.2 齒輪修形參數優化計算

在確定了理論修形量之后，還應該通過上文建立的遺傳算法模型結合實際的模擬，確定最佳修形量。對于最佳修形量的確定，本文在理論修形量0.014mm的基礎上，通過每次增加0.001mm和減少0.001mm的方法改變遺傳算法中最大修行量的取值范圍，分別做4組，如表2所示最大修形量S取0.010～0.017mm，然后利用遺傳算法模型對各組進行優化搜索，得到各a值如表2所示。選擇Walker修形曲線的齒廓參數方程，對原齒輪進行齒廓修形，Walker修形曲線的表達式為：

保持原始齒輪在ANSYS中的設置不變，對各修形量下的齒輪進行模擬分析，并得出模擬的齒根接觸最大應力如表2：

表2 齒輪修形結果對比表

通過比較各組數據可以發現當a＝66.375，既傳統修形量為0.016mm時，以齒根處的應力最小為45.588MPa，減小了31.32%。說明修形后齒根處受應力已經得到的顯著的減小。此時，修形后齒輪齒根受力云圖如圖4所示：

圖4 修行后齒輪應力云圖

4 結語

（1）轉化了齒輪修形基本參數，將其與遺傳算法進行結合，考慮了以傳動誤差最小為目標，精 確快速地確定齒輪的修形參數從結果顯示，優化設計后的修形參數能夠較大幅度地減小齒輪的應力；（2）分別建立了標準漸開線齒輪和修形齒輪的瞬時動態有限元分析模型，仿真齒輪嚙合中應力變化。對比多次修形前后齒輪的應力減少，得到當齒根處的最大應力從61.2991MPa下降為45.588MPa，效率為31.32%，即傳統修形量為0.016mm時修形效果最好。

[1]Muthusamy Nataraj．Profile modification-a design approach for increasing the strength in spur gear[J]．int J Adv Manuf Tecchnol，2011.

[2]楊延力，葉新，王玉璞．漸開線高速齒輪的齒高修形[J]．齒輪，1982，（3）.

[3]周志峰．漸開線圓柱直齒輪修形的分析與研究[D]．北京交通大學，2014.

[4]蘭明．漸開線圓柱直齒輪的參數化修形[D]．太原理工大學，2011.

[5]孫建國，林騰蛟．漸開線齒輪動力接觸有限元分析及修形影響[J]．機械傳動，2008，32（2）.

[6]袁哲，孫志禮，王丹，陳聰慧．基于遺傳算法的直齒圓柱齒輪修形優化減振[J]．東北大學學報（自然科學版），2010，（6）.

[7]趙越，茹婷婷．遺傳算法理論與應用新探[J]．輕工科技，2014，（1）.

[8]馬永杰，云文霞．遺傳算法研究進展[J]．計算機應用研究，2012，（4）.

[9]邊霞，米良．遺傳算法理論及其應用研究進展[J]．計算機應用研究，2010，（7）.

（責任編輯：黃銀芳）

TH123

1009-2374（2017）07-0037-03

10.13535/j.cnki.11-4406/n.2017.07.017

孫禹鋒（1995-），男，浙江人，徐州工程學院機電工程學院本科學生，研究方向：機械CAD/CAE。

A