關(guān)于橢圓曲線y2=px(x2+2)的整點研究

印婧婧,管訓(xùn)貴

(泰州學院數(shù)理學院，江蘇 泰州 225300)

關(guān)于橢圓曲線y2=px(x2+2)的整點研究

印婧婧,管訓(xùn)貴

(泰州學院數(shù)理學院，江蘇 泰州 225300)

目的 針對數(shù)論和算術(shù)代數(shù)幾何學的有趣問題——橢圓曲線整點的確定，研究橢圓曲線G:y2=px(x2+2)的整點。方法 運用二次和四次Diophantine方程的性質(zhì)。結(jié)果 設(shè)s是正整數(shù)，則當素數(shù)p=8(18s2-18s+1)(9s2-9s+1)+3時，橢圓曲線G至多有1個正整數(shù)點；當p=32s4+1時，橢圓曲線G僅有1個正整數(shù)點(x,y)=(8s2,128s5+4s)。結(jié)論 解決了橢圓曲線G的可解性問題。即對某些特殊的素數(shù)P，橢圓曲線G至多有1個正整數(shù)點。所獲命題，提供了研究橢圓曲線整點問題的一個思路。

橢圓曲線；整數(shù)點；解數(shù)；上界

橢圓曲線是域上虧格為1的光滑射影曲線，它的仿射方程通常稱為Weierstrass方程，可以寫成y2+ay=x3+bx2+cx+d。如果這個域的特征不等于2和3，則可以改寫成y=x3+ax+b或y2=x(x-1)(x-λ),λ≠0,1。

作為實曲面看，復(fù)數(shù)域上的橢圓曲線就是帶有一個洞的閉曲面——環(huán)面，環(huán)面可以通過同向粘合正方形的兩對對邊得到，其拓撲虧格為1。

橢圓曲線上的點全體構(gòu)成一個加法群，點與點之間的“加法”運算。正因為橢圓曲線存在加法結(jié)構(gòu)，所以它包含了很多重要的數(shù)論信息。橢圓曲線和它的Jacobi簇是同構(gòu)的，因此它上面的“加法”結(jié)構(gòu)實際上來自于它的雅可比簇的自然加法結(jié)構(gòu)。

在直角坐標系中，某一點的縱、橫坐標都是整數(shù)，則稱該點為整點。

橢圓曲線上的有理點的個數(shù)是人們關(guān)心的重要問題，這個問題和著名的Mordell-Weil定理有關(guān)。Mordell-Weil證明整體域上的橢圓曲線是有限生成交換群。另外，橢圓曲線其上所有的有理點可以由(-2,3),(2,5)通過群上的加法生成。……