Fermat大定理的初等證明

李 高

(山西大同大學煤炭工程學院，山西 大同 037003)

Fermat大定理的初等證明

李 高

(山西大同大學煤炭工程學院，山西 大同 037003)

目的 探尋費爾馬大定理的初等證明。方法 利用二項式定理展開式、代數方程根與系數的關系，及其初等數論的知識，采用反證的方法，用初等方法對費爾馬大定理進行論證。結果 費爾馬大定理對任意的正整數n>2時，不定方程xn+yn=zn沒有正整數解。結論 費爾馬大定理可以用初等方法直接證明其結論的正確性。避棄了煩瑣的間接初等證明法，避開了高深的高等解法，在學習和應用時給出了解決問題的思維方式和思路。

不定方程;正整數解;公因子;奇素數;費爾馬小定理;費爾馬大定理

1 費爾馬大定理

1.1 費爾馬大定理[1]

對任意的正整數n>2時，不定方程

xn+yn=zn

沒有正整數解。

1.2 費爾馬大定理簡介

1637年，法國數學家費爾馬(Pierre de Fermat)在研讀1621年巴黎出版的古希臘數學家丟番圖“算術”一書時，在該書關于畢達哥拉斯三角形問題的頁邊空白處作注。注釋①：方程x2+y2=z2有無限多組整數解。注釋②：當n是大于2的正整數時，方程xn+yn=zn是沒有正整數解的。費爾馬并寫道“我對此問題找到了奇妙的證明，可惜書的頁邊空白太窄了，寫不下”。

注釋①是關于勾股數的問題，早已被證明。注釋②一般公認，當時不可能有正確的證明。此注釋后來就稱為費爾馬大定理。

費爾馬大定理挑戰了人類近四百年。

1640年左右,費爾馬運用無窮遞降法已證明了n=4時，不定方程x4+y4=z4沒有正整數解[2-3]。

1753年歐拉(Euler)證明了n=3時,費爾馬大定理沒有整數解。