淺談高考解析幾何中的最值問題

劉漢軍　杜洽鋒

高考解析幾何中的最值問題，以直線或圓錐曲線為背景，綜合函數、不等式、三角等知識，所涉及的知識點較多，對解題能力考查的層次要求較高，因而這類最值問題已成為歷年高考數學中的熱點和難點.考生在解答該類問題時，常常表現為無從下手，或者半途而廢.筆者認為解決這類問題的關鍵在于：通觀全局，設量建模，選法求最.下面，我通過具體例題把這類問題常用的解法簡要梳理，供大家參考，批評指正.

一、利用定義法求最值

【例1】（2009四川）已知直線和直線，拋物線上一動點到直線和直線的距離之和的最小值是（ ）

解析：答案，根據拋物線的定義，將點到直線的距離轉化為的距離，問題即轉化為點到直線的距離，求得值為2.

【點評】在解決解析幾何相關最值問題的選擇或填空題時，要緊扣圓錐曲線的定義，利用轉化思想快速求解.

二、利用函數與導數法求最值

在解析幾何最值問題中，我們常常根據題意設置適當的變量，構造所求問題的函數模型，并利用函數的性質或導數來解決最值問題.

【例2】（2015浙江）已知橢圓上兩個不同的點關于直線對稱。（1）求實數的取值范圍；（2）求面積的最大值（為坐標原點）.

解析：（1）由題意知：，可設直線的方程為

所以當時，由最大值，即面積的最大值為.

【點評】本題主要考查了解析幾何中的對稱問題、直線與橢圓的位置關系以及函數的最值問題。根據對稱性設出直線的方程，再與橢圓方程聯立，得到關于的一元二次方程，這是高考中解析幾何解答題的常規解題套路.求面積最大值時，引入變量，簡化計算，得到面積關于的表達式，將此問題轉化為函數的最值問題.

【例3】（2014浙江）已知的三個頂點都在拋物線上，為拋物線的焦點，點為的中點，.

（1）若，求點的坐標；（2）求面積的最大值.

【點評】本題主要考查直線與拋物線的位置關系以及拋物線的性質，綜合性較強，涉及到函數與方程、數形結合、化歸于轉化等數學思想.將面積的表達式得出后，轉化為函數求最值問題，根據函數的特征恰當選用導數的方法求解最值，也體現了用代數的方法解決解析幾何問題的思想.

三、利用基本不等式法求最值

【例4】（2014四川）已知橢圓：的焦距為4，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構成正三角形.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設為橢圓的左焦點，為直線上任意一點，過作的垂線交橢圓于點.①證明：平分線段（為坐標原點）；②當最小時，求點的坐標.

解析：（1）（過程略） （2）①（證明過程略）

所以當最小時，點的坐標是（-3，1）或（-3，-1）.

【點評】本題主要考查直線與橢圓的位置關系，涉及的知識點較多，綜合性比較強。通過引入變量，設出點的坐標，利用距離公式和弦長公式分別表示出，進而得到關于的表達式，結合式子特征，簡單變形，利用基本不等式輕松求解.

四、利用三角代換法求最值

【例5】（2008江蘇）在平面直角坐標系中，點是橢圓上的一個動點，求的最大值.

解析：由題可設點坐標為，其中.

因此

所以當時，取最大值2.

【點評】在解析幾何中，尤其是涉及有關圓或橢圓的最值問題，可根據圓或橢圓的參數方程，利用三角代換的方法解決相關最值問題，這類問題還可以根據目標函數的幾何意義，利用數學結合的思想求解.