拋物線焦點弦的一組性質在高考中的應用

楊侖元

過拋物線焦點的直線被拋物線所截的線段叫拋物線的焦點弦.與此相關的問題在教科書人教A版選修2-1中較多，高考中也經常考查，經歸納總結得：

性質 過拋物線y2=2px（p>0）的焦點F的直線交拋物線于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點，O為坐標原點，過點A作直線垂直于準線L于點A1，過點B作直線垂直于準線L于點B1，易證得如下結論：

（一）四個定值

1.x1·x2=；

2.y1·y2=-p2；

3.kOA·kOB=-4；

4.；

（二）兩個公式（弦長、面積公式）

5.焦點弦公式：|AB|=x1+x2+p；（教科書人教A版選修2-1P69例4）

設直線AB的傾斜角為α，則

通徑：當AB垂直于x軸時，|AB|=2p；

6.焦點三角形面積公式：設直線AB的傾斜角為α，則

（三）三個圓

7.以焦點弦AB為直徑的圓與準線L相切于線段A1B1的中點M；（如圖1）

8.以線段A1B1為直徑的圓與直線AB相切于焦點F；（如圖2）

9.以焦半徑FA為直徑的圓與Y軸相切于線段OC的中點D；（如圖3）

（四）其它性質

10.設直線OA交準線L于點H，則BH∥x軸；（教科書人教版選修2-1P70例5）。

高考中的應用舉例：

1.（2014年高考全國卷Ⅱ，⑩）設F為拋物線C：的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點，O為坐標原點，則△OAB的面積為（ ）

A. B. C. D.

略解：由性質6易得，選D。

2.（2013年高考全國卷Ⅱ，⑾）設拋物線的焦點為，點M在C上，|MF|=5，若以MF為直徑的圓過點（0，2），則C的方程為（ ）

（A）或 （B）或

（C）或 （D）或

解法1 由題意可知，，

設圓心為，則，所以圓的方程為

因為圓過點（0，2），代入圓方程解得，又因為點M在拋物線上，所以，解得p=2或p=8，選C.

解法2 由題意可知，，

設圓心為，則，因為圓過點（0，2），所以圓心到其距離與到點相等

，解得，又因為點M在拋物線上，所以，解得p=2或p=8。

解法3 根據選項，設曲線方程為y2=4x，由題意可知，，，把M點代入曲線方程有，所以，設圓心為，則，因為圓過點（0，2），所以圓心到其距離與到點相等滿足題意，所以y2=4x成立，同理可證y2=16x成立

3.（1995年全國高考⒆題）直線L過拋物線y2=a（x+1）（a>0）的焦點，并且與x軸垂直，若L被拋物線截得的線段長為4，則a=——————；

略解：由性質4知 a=4.

4.（2000年全國高考⑾題）過拋物線y=ax2（a>0）的焦點F作一直線交拋物線于P、Q兩點，若線段PF與FQ的長分別是p、q，則等于（ ）

A.2a B. C.4a D.

略解：由性質5知，選C.

5.（2001年全國高考⒆題）設拋物線y2=2px（p>0）的焦點為F，經過點F的直線交拋物線于A、B兩點，點C在拋物線的準線上，且BC∥x軸.證明直線AC經過原點O.（同教科書人教版選修2-1P70例5）

注：本題是性質10的逆命題.