一個不等號的啟示

丁建明

【摘 要】 數學教學具有其特殊性的地方，有的概念在不同的層次有不同的定義。在低年級的時候，有些定義不完整，甚至嚴格說來是錯的。考慮到接受的限制，這樣實施是符合教學規律的。也許我們當老師的覺得學了很多，也許學生的成績還不錯，但是，在做很簡單的題目的時候也會出錯。

【關鍵詞】 不等號；符號

【中圖分類號】 G64.3 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 2095-3089（2017）14-00-01

在一次數學考試選擇題中，我出了這樣一道題目：下列不等式成立的有：

A、 B、≤ C、 D、

有一位數學教師拿著卷子來問我，這些答案都不成立，是不是題目出錯了？你說呢？這位老師的疑問，對于我在數學教學中無不是一個好的啟示，像這樣簡單的不等號（主要是：≦和≧）稍加不注意就會出錯，這個老師肯定是隨便看看。而學生呢，更是普遍都認為是錯的。對于初學者來說，不奇怪，是好事，抓住這樣的機會激發學生的學習積極性，強調符號、≥、>、<的含義，再讓學生判斷下列對錯：自然就會選C，一點就通。這樣簡單而又常用的不等號，連我們都會出現判斷不準這樣的情況。從而使我想起，在漫長的教學或學習過程中，有些概念的接受是允許有誤差的。我們在教學過程中，有時會出現這樣或那樣錯誤的教學規律，如學生只能了解的卻要求理解，甚至要求掌握，到頭來影響了教學效果，學生該學的沒有學到，竹籃打水一場空。例如，對稱性從小學到大學都要學習，但是學習的方法和深度不一樣，小學只要求感性認識對稱圖形，初中以后逐步的從感性認識向理性認識深入學習發展，從未知向感知升向認識最后才走到探索研究之路。有些知識的接受是受相關學科或者是知識的系統性影響的，隨著知識的增加或學習時間的延長，回過頭來在理解就會一點即通。例如函數、極限的概念的理解，直線、角度概念的理解，…，是分階段性的。在初中定義是不完整的，但又是允許的，要到高中甚至大學才會學到嚴格的定義。

首先通過以下復習方式，讓學生輕松地理解符號“”的含義。

下列不等式成立的有：

A、 B、 C、

在課堂上讓學士回答，只答B的占大多數，有少數答A、B。沒有一個答A、B、C。正確答案是：A、B、C。發現學生主要是對符號“”的理解。對學生強調：“”符號成立，只要“”和“=”中有一個成立即可成立。如A中雖然不成立，但有成立，所以，成立。如C中有成立，所以就成立。事實上，我們是把“”

看成“或”命題。我們還可以再把A、B、C三個不等式反向，、、。讓學生判斷回答，情況是又對又快。下面我們出這樣的題，學生可能會有些問題；若且求。很快答出0，1，2，3，4，5。但是學生會在數軸上錯誤標出。若或求。學生也許會錯誤的答出0，1，2，3，4，5.數學老師同時還是一位數學符號和中文文字翻譯工作者。

在教學或是學習中，急于求成或者一學就通都是辦不到的。循序漸進，溫故知新，才是符合認知的過程。在長期的學習進步過程中，大大小小的錯誤和誤解都是難免的，也是正常的。下面通過兩個例子來看不同階段對同一概念的定義。例如直線的定義，小學的定義是“有公共端點的兩條射線的組成的圖形叫作角”；中學的定義是“角是由一條射線繞它的端點旋轉而成的”。小學的定義使角度的大小受到限制，是不嚴格的；中學的定義使角度的大小任意化，是完善的。再看函數的定義，第一種，也是長期而普遍的定義，就是把變量看成函數；第二種，函數是一種特殊的關系，即函數關系：，其中，序偶的集合是右單值的；還有一種認為函數是一種對應，后兩種是現代解釋。就中學數學對函數概念的形成和發展分四個階段。即引入函數概念之前的預備階段；初步形成函數概念階段；認識深化階段；研究函數性質階段，這四個階段的認知層次是逐步提高的，符合從感性到初步理性，然后深化，在進一步發展的認知過程。有些學生學到函數的時候就有困難而放棄學習數學，可能是在教學中違背了學生的認知過程。所以，我們要選擇好實例，運用好實例，由淺入深，只有獲得了感性認識，才能上升到理性認識。

參考文獻：

李求來，昌國良編著。《中學數學教學論》。湖南師范大學出版社。2006，1