淺述幾何概型

穆俊峰

摘 要：由于新課改北師大版高中數(shù)學(xué)教材中，對幾何概型的介紹相對較少，因此幾何概型總讓人覺得晦澀難懂，不像古典概型那樣清晰規(guī)范。在這樣的實際背景下，就幾何概型的定義及常見題型和易錯題型做了簡單的分析、敘述。

關(guān)鍵詞：幾何概型；概率；計算

一、幾何概型的含義及計算公式

如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型（geometric models of probability），簡稱為幾何概型。在幾何概型中，事件A的概率計算公式為：

P（A）=

對幾何概型的認識和理解要不同于古典概型。因為在古典概型中，概率P=0的事件一定是不可能事件，而對幾何概型而言，即使某事件的概率P=0，該事件仍有可能發(fā)生（在[0，1]中任選一數(shù)，該數(shù)為1的概率為0，顯然，這并不是不可能事件。）；同樣的對幾何概型而言，概率P=1的事件也不一定就是必然事件。表面上看這是由于基本事件的個數(shù)與區(qū)域測度的計算方法不同所致，其實根本原因就是離散與連續(xù)的不同。

二、幾何概型的常見類型

1.“長度”化類型

例1.若一根繩長為3米，在任意位置剪斷，則剪得的兩段繩長都不少于1米的概率是多少？

解：記剪得兩段繩子的長都不小于1米為事件為A，如圖1，把繩子三等分，于是當(dāng)剪斷位置處在第二段（中間一段）時，事件A發(fā)生，由于中間一段的長度等于繩長的 ，所以事件A發(fā)生的概率為 。

P（A）= =

2.“面積”化類型

例2.兩人相約在8∶00至9∶00之間會面，并且先到者必須等候另一人20分鐘方可離去。如果兩人出發(fā)是各自獨立的，在8∶00至9∶00各時刻見面的可能性相等，求兩人在約定的時間內(nèi)會面的概率。

解：設(shè)兩人分別在8：00之后的x分鐘和y分鐘到達見面地點，記A為兩人能成功會面這一事件。要使兩人能在約定的時間范圍內(nèi)會面，當(dāng)且僅當(dāng)|x-y|≤20分鐘。如圖2正方形區(qū)域ω={（x，y）|0≤x≤60，0≤y≤60}表示兩人到達會面地點的所有可能結(jié)果形成的區(qū)域。陰影部分的范圍表示兩人能在約定的時間內(nèi)會面的結(jié)果形成的區(qū)域，所以兩人在約定的時間內(nèi)相遇的概率是：

P（A）= =

圖2

3.“體積”化類型

例3.在棱長為3的正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)任取一點P，則點P到正方體各個面的距離都不小于1的概率為多少？

解：如圖3所示，所有基本事件組成的區(qū)域就是正方體ABCD-A1B1C1D1組成的封閉幾何體，則以正方體的中心為中心，棱長為1的小正方體圍成的區(qū)域

符合題中的要求，從而其概率P= 。

通過以上簡單例題我們可以看出，處理幾何概型問題的一般步驟為：（1）根據(jù)題意，準確分析出事件對應(yīng)的幾何量所表示的區(qū)域。（2）計算出對應(yīng)的測度。（長度、面積、體積）（3）根據(jù)幾何概型的概率計算公式求出比值。由于幾何概型是基本事件為無限且連續(xù)條件下的等可能概型，有限無限的判斷顯而易見，因此把基本事件轉(zhuǎn)化為等可能條件的幾何量就自然而然成為幾何概型問題的關(guān)鍵所在了。

三、幾何概型中的易錯題型

例4.函數(shù)f（x）=x2的定義域為（-2，3），則函數(shù)值在[0，1]內(nèi)的概率是多少？

錯誤解法：函數(shù)的值域為[0，9），其區(qū)間長度為9，而[0，1]區(qū)間的長度為1，因此，函數(shù)值在[0，1]內(nèi)的概率為P= 。錯誤的原因是，值域取值不滿足等可能性。

正確解法：定義域為（-2，3），其長度為5，而函數(shù)值在[0，1]的自變量x取值的區(qū)間為[-1，1]其長度為2，因此，函數(shù)值在[0，1]的概率為P= 。

在不確定是以自變量長度為準還是以函數(shù)值的長度為準時，可以舉特例來感受到底誰滿足等可能性。如：f（x）=x，x∈（0，1）0，x∈（1，2），則，函數(shù)值為0的概率是多少？顯然函數(shù)值的取值是非等可能的。這樣就避免犯錯了。

例5.如圖4，在直角三角形ABC中，A=30°，過直角頂點C作射線CM，交線段AB于點M，則使得AM>AC的概率是多少？

錯誤解法：設(shè)以A為圓心，AC長度為半徑的圓交線段AB于點D，則此時射線的位置使得AM=AC，因此當(dāng)交點在線段BD內(nèi)時，就滿足AM>AC，此時BD=AB-AC。從而AM>AC的概率為P= 。錯誤的原因是此隨機試驗是以角度為變量，而不是以線段的長度為變量。這類問題很多資料都有解釋，觀點也各有不同，根本原因還是隨機試驗本身不同，最典型的例子就是貝特朗悖論，各種算法都沒有錯，只是隨機試驗不同而已。最能說清問題的做法是把例5中，“作射線CM”改為“在線段AB上取點M，使得AM>AC”，這樣變量的選取問題就豁然開朗了。

正確解法：設(shè)以A為圓心，AC長度為半徑的圓交線段AB于點D，此時射線的位置滿足AM=AC，當(dāng)射線CM在∠BCD時就滿足AM>AC，此時，∠BCD=150，從而AM>AC的概率為P= = 。

參考文獻：

盛驟.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].高等教育出版社，2001.

編輯 李建軍