淺議如何有效突破初中幾何證明題難點

朱淑芬

摘 要：初中幾何證明是初中數學教學的重點，也是初中學生數學學習中普遍認為的難點。如何教授幾何，何學習幾何，如何進行幾何題證明，成為老師和學生共同關心的問題。學好初中幾何不僅僅是初中數學對學生提出的要求，初中時期良好的幾何基礎，也是升入高中后，學生順利進行幾何學習的重要保障，因此探討如何進行幾何教育和學習是十分重要的。

關鍵詞：幾何；證明；基礎；逆向思維

幾何，是研究空間結構及性質的一門學科，初中數學中的幾何證明主要是平面幾何證明。初中幾何證明除了引導學生認識圖形結構，學習基本的幾何定理之外，更是對學生動手能力、推理能力、空間認知能力以及邏輯思維能力等多方面能力的鍛煉。幾何與代數、與分析的不同之處在于，幾何與圖形的聯系更加緊密，甚至說任何幾何都離不開圖形也不為過。我認為這就是大多數學生對幾何難以入門的重要原因之一。另外，初中幾何與別的數學知識不同，雖然小學時候也有接觸，但是就內容和解題方式來說，幾何對初中生還是比較新的存在，也是導致很多初中生開始很難適應幾何的原因。除此之外就是幾何對學生的邏輯思維能力和推理能力要求更高，很多學生的思維方式還停留在小學階段，尚未進入學習狀態，因此覺得初中幾何證明題無從下手。綜上，如何有效突破初中幾何證明，確實是一個迫在眉睫的問題。下面，我根據現實的教學經驗，談一談如何引導初中學生學習幾何，突破幾何證明題的難點。

一、注重基礎理論學習

“羅馬不是一天建成的。”“千里之行，始于足下?！睙o論是什么樣的知識，基礎是至關重要的，于幾何而言，也是如此。對于幾何來說，基礎有兩個：原理和作圖。就幾何原理來說，對基礎原理的記憶不可少，但是老師帶領學生追本溯源，討論每一個原理的推導過程不容忽視。原理只有一個，但是圖形和條件是千變萬化的，所以在幾何教學中應該注重活學活用。另外當讀完一道幾何證明題時，要引導學生先根據條件畫圖，再根據圖形和求證解題。不論幾何證明題是簡單抑或是復雜，讀完題的第一件事應該是畫圖，甚至可以訓練學生邊讀題邊畫圖。以圖形為基礎分析問題，也是幾何證明的一個重要特征。

比如，在推導角平分線的性質時，就會涉及我上面所說的兩方面內容。老師讓學生用紙剪一個角，然后將角的兩條邊對折，得到一條角的平分線，在平分線上取一點分別做兩條邊的垂線段。引導學生測量兩條線段的特點，并且總結規律。這是引導學生進行原理的推導。最后將推導過程用數學語言表述，OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E為垂足，由已知事項推出的是

PD=PE。再舉一個學生比較容易混淆的三角形全等的定理，在學習全等三角形一課時，一些學生容易錯誤地認為兩個三角形三個角相等，那么這兩個三角形全等。要更正這個錯誤的認知，其實很簡單，就是給學生畫圖舉個例子，選擇最容易畫的等腰直角三角形讓學生作圖，只要畫一個直角，保證兩條直角邊相等，這個直角等腰三角形大小可以隨意變化，但是三個角的度數始終都會保持在90°、45°、45°，也就是說AAA不能證明三角形全等。所以教會學生理論推導，以及畫圖是非常重要的，也是幾何證明的基礎。

二、學會逆向思維

逆向思維，既反其道而行之。在幾何證明題中就是根據所要證明的結果，一步步往回推導所需要的已知條件。很多學生在做幾何證明題時無從下手，很大原因就是沒有建立起逆向思維解題的思維體系。數學很多原理具有“互逆性”，這是逆向思維的體現。比如，前面一部分我所提到的角平分線的定理，已知∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E為垂足，PD=PE。首先根據已知畫圖，結合直角三角形全等的條件，Rt△PEO≌Rt△PDO（HL），所以∠AOP=∠BOP，所以OP是∠AOB的角平分線。以上是原理中逆向思維的體現，下面我會在具體的幾何證明題中，解釋說明如何利用逆向思維解題。

如圖，在△ABC中，過C作∠BAC的平分線AD的垂線，垂足為D，DE//AB交AC于E，求證：AE=CE.

利用逆向思維要求證AE=CE，首先作圖（圖見本文第三部分論證過程旁），然后將已知條件放入圖中，逆向思考慮要求證同一條線段上的兩段線段相等，可以直接證明E是中點，或者可以把它們放在兩個三角形中考慮，再或者通過一些媒介來溝通，即A=C，B=C，得出A=B。根據逆向思維觀察圖形，前面兩者顯然行不通，首先中點你無法證明。接下來是放在三角形中證明，兩條線段分別在△AED和△ECD中，無法產生聯系。所以就需要構筑橋梁產生聯系，但是已知顯然是不夠的，所以需要借助輔助線，分別延長AB和CD相交于點P，此時再進行分析證明。因為AD平分∠PAC，AD⊥PC，所以△PAD≌△CAD，因為AB//DE，AD平分∠PAC，∠PAD=∠DAC=∠EDA，所以AE=DE，再證明DE=CE就行，具體解題過程在下部分進行梳理。這就是逆向思維解題的思考過程。

三、有理有據規范答題

理論學習是基礎，逆向思維是思考方式以及思考過程，而最終結果的反應就是學生最終在解題過程中呈現出來的證明過程。前兩步如果認為是幾何證明題的知識儲備以及知識調取，那么最后一步證明則是將幾何知識付諸于實踐中。很多學生在證明過程中都是將證明步驟、原理、已知條件隨意堆砌，最后得出證明結果。這種情況一方面體現了學生在證明過程中條理并不清晰，另一方面，要指出的是在證明過程中，一些既定的格式、約定俗成的流程不能亂。使用一些格式并不是禁錮思維，或者是不夠變通，只是為了方便和高效率，就像斑馬線、紅綠燈的出發點，最終目的還是方便大家，覺得不方便只是因為不遵守。

在幾何證明過程中，一些特定的推導符號還是不能少，思考過程不等于最后的證明過程，證明過程是通過梳理的，更加清晰的推導過程。以第二部分中的例題為例，來進行證明過程梳理，最終表現結果如下。

證明：延長CD交AB的延長線于P，在△ADP和△ADC中，

∵AD⊥PC，AD平分∠PAC，

∠PAD=∠CADAD=AD∠ADP=∠ADC

∴△ADP≌△ADC（ASA）

∴∠P=∠ACP

又∵DE∥AP

∴∠ADE=∠PAD=∠DAC

∠EDC=∠P=∠ACP

∴AE=DE，DE=EC

∴AE=EC

規范的書寫表達可以清晰明了地反映出證明過程，對于剛開始接觸幾何證明的初中學生最好把每一步的原理清晰地寫明，一方面強化了基礎知識，另一方面，也防止學生在學習過程中含混模糊。除了以上兩點，規范證明書寫過程，也能夠讓學生在梳理過程中重新對題目進行認知思考，訓練思維方式。

四、因人制宜，多層次要求

上面三部分是就具體幾何知識教授而言，最后這一部分則強調老師在幾何教學過程中不能一把抓，不同的學生要求也要不

同。每個學生的擅長方面是不同的，有的人擅長科學，有的人擅長文學，有的人對代數敏感，有的人對幾何敏感，不同的學生在空間感知、思維方式等方面都是不同的，因此不能以同樣的要求來要求每一個學生。對空間感較好的學生，可以帶領他們探索一些比較復雜的幾何證明題，對相對不敏感的學生，要著重抓基礎，不能讓他們對幾何證明失去信心，對數學失去信心。

初中幾何證明是對學生動手能力、推理能力、空間認知能力以及邏輯思維能力等多方面能力的綜合訓練。抓住基礎知識、學會逆向思維、規范化答題是解決初中幾何證明題難點的關鍵。學好幾何證明，不僅有利于提高初中生數學成績，而且重要的是能提高學生分析問題的能力，為高中繼續學習幾何打下良好的基礎。

參考文獻：

[1]鐘廣祥.淺議如何有效突破初中幾何證明題難點[J].中學數學研究（華南師范大學版），2015（11）：48.

[2]楊崇良.淺談初中幾何證明題的解題策略[J].教育科學（引文版），2016（7）：134.

[3]聶亞晶.淺談如何進行初中幾何證明問題的教學[J].讀寫算（教育教學研究），2015（44）.

編輯 謝尾合