數學聯結性學習的實踐策略

高 娟

數學聯結性學習的實踐策略

高 娟

類化和內化是數學聯結性學習的兩種實踐策略。學習是以一定的經驗和知識為前提，在知識聯結的基礎上進行的。本文中的聯結性學習強調將學習材料本身的內在聯系同學生原有的認知結構相聯結，讓學生獲得更高效的學習經歷與體驗。

聯結性學習；實踐策略；數學學習方法

人們的學習總是以一定的經驗和知識為前提，在聯想的基礎上理解和掌握新知的，這里的聯想即為知識的聯結。

聯結性學習認為學習存在一個認知過程，是認知結構的重新組合。它既強調原有認知結構的作用，也強調學習材料本身的內在聯系，把有內在聯系的材料和學生原有認知結構聯結起來，新舊知識發生作用，從而將新材料在學生的頭腦中達成“內化”。

數學是人類文化的重要組成部分，也是促進學生全面發展教育的重要組成部分，數學教育者既要使學生掌握現代生活和學習所需要的數學知識和技能，更要培養學生的思維能力和創新能力。事實上無論是數學知識的形成、數學技能的掌握，還是數學能力的培養，都是學習者由未知到已知、將已知重組內化的聯結過程。基于數學學科的特點，應當讓學生生成網絡狀的知識結構，讓學生擁有充分思考的空間，提高學生的學習效率。如何達到上述目標呢？筆者以為類化和內化是數學聯結性學習的實踐策略。

一、類化：形成數學學習的橫向遷移

類化主要是將同類問題間的聯系通過相同的解決方式聯結到一起，通過比較可以歸納求同，把握共同規律，掌握基本概念；在此基礎上深入理解，發散求異，發展創新，理解共性和個性的關系，從而讓學生能更有效地解決問題，更有效地學習數學。

1.舉一反三，建構知識體系。

子曰:“不憤不啟，不悱不發，舉一隅不以三隅反，則不復也。”這種典型的啟發式教學，可以刺激學生的學習主動性和積極性。學生可以從預習、上課、復習這三個過程中借助“三思”（思方法、思歸類、思多解），對所學知識進行舉一反三，找到新舊知識間的聯系，加深對知識的理解，形成自己的學習技能，從而發展自己的智力，培養解決問題的能力。

例如在教學 “借助三角函數特值求三角形面積”時，教師可以首先提供如下例題。

圖1

圖2

生：三角形的底和相應底邊上的高。以AB為底，如圖2過點C作AB邊上的高，垂足為D。

師：高CD怎么求？△ABC的面積是？

生：因為∠A=30°，所以 CD=AC·sinA，S△ABC=

圖3

在解決好上面的例題后，再提供如下3個變式。

圖4

圖5

這里設計的幾個變式，題目的條件從已知兩邊夾一銳角變到已知兩邊夾一鈍角，再變到已知兩邊和一角（不是夾角），問題都是求三角形面積。同例題相似，都需要借助特殊角的三角函數值來解決問題。這些變式促進了學生解決三角形面積問題的知識體系的構建。

2.“意義”聯想，促進知識遷移。

聯想是思維的一種特殊形式，一般情況下我們很容易從“形”方面對一個事物進行聯想，如果能從其本質，即“意義”方面對事物進行聯想，對學生思維更高層次的鍛煉有著特別重要的作用。這樣能夠較快地幫助學生理解新知、接受新知并且熟練地運用新知。

例如，學生在初中階段，已經正式開始學習幾何。很長一段時間，很多學生都不能找到幾何入門的技巧。但學生對數與代數的知識已經非常熟悉了，我們可以借助數與代數的思想方法，解決學生幾何學習入門難的問題。

圖6

在教學“垂直證明”的內容時有一道例題:如圖 6，OD平分角∠AOC，OE平分∠BOC，判斷OD、OE的位置關系。

解決此問題的過程中，我們可以這樣聯想:將這些“角”之間的關系聯想為“數”之間的關系，并借助加減乘除運算將“數”之間的關系表示出來，這樣可以幫助學生清晰地理解“角”之間的關系。

雖然這道題目很簡單，但是對于初一剛接觸幾何的學生來說，他們很難理解，并且很難將其中的關系搞懂。但學生接觸代數知識較多，無形中早已培養了符號化、形式化、結構化和操作化四個方面的意識。因此，學生在學習幾何的過程中若能借助這四種意識，對幾何知識進行“意義”聯想，將代數知識遷移到幾何問題中，便可解決幾何學習入門難的問題。

二、內化：聯結性學習形成數學學習的縱向遷移

學習是一個內化的過程，在多維互動中內化建構，需要思考“學”的策略和“學”的方法；需要運用智慧將知識進行升華，并學會在總結中不斷內化知識，尋找知識的根本。這樣將知識進行重組構建新的知識體系，不僅可以幫助學生找到問題的本質，還可能在其過程中得到意想不到的結果，使學生的學習思維得到深度的發展。

1.循環建構，催生數學思維。

學生學習的過程一般分為四個環節:自主定向、嘗試學習、反思學習、自主學習。在這樣的學習過程中，反思學習、自主學習即是對知識進行循環內化的過程。循環建構主要是將已經掌握的知識與新知聯系到一起，形成一張知識網絡圖，在這樣建構的過程中對新舊知識進行一種再認識、升華的過程，以此加深學生的理解，讓學生能更好地學數學用數學，從而催生學生數學思維的種子。

例如在教學“一元二次方程”時，要引導學生回想學習一元一次方程、二元一次方程組的過程。

師：通過一元一次方程、二元一次方程組的學習，我們知道在學習方程問題時將經歷幾個階段？

生：認識方程、解方程、用方程解決問題三個階段。

師：那學習一元二次方程同樣要經歷幾個階段呢？

生：認識方程、解方程、用方程解決問題三個階段去學習。

師：我們又該如何去解一元二次方程呢？

生：可以借助解二元一次方程組的思想，將一元二次方程轉化為一元一次方程。

雖然上面的案例比較抽象，但這樣一個過程，其實可以讓學生認識到幾種方程之間的聯系。通過這樣一個循環認知的過程讓學生發現，要想解決未知的問題可以轉化為已知的知識去解決，從而催生學生解決問題的思維。

2.追根尋底，激發數學思維。

教師經常會說:這個題目我都講過四五遍了，他們還是不會。學生也常有這樣的感覺:明明老師講的時候我確實聽明白了，怎么遇到了相同題目時又不會做了呢？其實說到底，是沒有認識到問題的本質，那怎樣才能理解問題的本質呢？“追根尋底”是解決這一現象的方法。“追根尋底”主要是通過對問題或者知識點層層剝皮，讓學生在不知不覺中發現本質。

例如在教學設計“一次函數、一元一次方程與一元一次不等式”時，可以設計如下的情景，開展教學活動。

一根彈簧長為2cm，一端固定，另一端掛物。在彈簧伸長后的長度不超過8cm的限度內，設所掛物體的質量為xg，彈簧長度為ycm。

活動一：

（1）請你測量一下所掛物體質量為50g、100g、150g、200g時彈簧的長度，并完成下列表格。

?

（2）根據表格中的數據的規律列出物體質量xg、彈簧長度ycm的函數表達式 。

（3）在以x為橫軸、y為縱軸的平面直角坐標系中畫出函數圖像。

活動二：

（1）當所掛物體質量x=230時，你能測量出彈簧的長度嗎？如果不能，彈簧的長度能算出來嗎？怎么算？

（2）如果給你一個物體，你能否借助手中的彈簧拉力器算出物體的質量？（從表格、表達式、圖像三方面理解）

活動三：

（1）如果勾碼不斷掛下去，彈簧可以不斷伸長嗎？

（2）彈性限度范圍內彈簧長度y（cm）滿足什么條件？所掛物體的質量呢？你是怎么得到的？（從表格、表達式、圖像三方面理解）

通過前面的活動，將一元一次方程與一元一次不等式與函數的三種表達方式作比較。以層層遞進的方式，讓學生進行活動，從而在本質上幫助學生理解函數、一元一次方程與一元一次不等式三者間的關系。我們發現函數是刻畫一個運動變化過程中，兩個變量之間的對應關系；方程是刻畫一個運動變化過程中的瞬間情況；不等式刻畫的是一個變化過程中，某一段的情況。從根本上解決了這三種式子之間的關系，讓學生以后再遇到類似問題時可以快速解決。同時也激發了學生解決問題的思維。

總之，不管是“類化”還是“內化”，數學聯結學習遵循數學知識的內在聯結方式，遵循學生數學學習的內在規律，提供給學生 “學習的動力”，促進學生的思維向更深處發展，從而提升學生問題解決的能力。

G633.6

A

1005-6009（2017）35-0038-03

高娟，江蘇省淮安工業園區實驗學校（江蘇淮安，223008）教師，一級教師。