基于制造解的非結構二階有限體積離散格式的精度測試與驗證1)

王年華 張來平 趙 鐘 赫 新

?(中國空氣動力研究與發展中心計算空氣動力研究所，四川綿陽621000)?(中國空氣動力研究與發展中心空氣動力學國家重點實驗室，四川綿陽621000)

基于制造解的非結構二階有限體積離散格式的精度測試與驗證1)

王年華?,2)張來平?,?趙 鐘?赫 新?,?

?(中國空氣動力研究與發展中心計算空氣動力研究所，四川綿陽621000)?(中國空氣動力研究與發展中心空氣動力學國家重點實驗室，四川綿陽621000)

隨著計算機技術的飛速進步，計算流體力學得到迅猛發展，數值計算雖能夠快速得到離散結果，但是數值結果的正確性與精度則需要通過嚴謹的方法來進行驗證和確認.制造解方法和網格收斂性研究作為驗證與確認的重要手段已經廣泛應用于計算流體力學代碼驗證、精度分析、邊界條件驗證等方面.本文在實現標量制造解和分量制造解方法的基礎上，通過將制造解方法精度測試結果與經典精確解(二維無黏等熵渦)精度測試結果進行對比，進一步證實了制造解精度測試方法的有效性，并將兩種制造解方法應用于非結構網格二階精度有限體積離散格式的精度測試與驗證，對各種常用的梯度重構方法、對流通量格式、擴散通量格式進行了網格收斂性精度測試.結果顯示,基于Green-Gauss公式的梯度重構方法在不規則網格上會出現精度降階的情況，導致流動模擬精度嚴重下降，而基于最小二乘(least squares)的梯度重構方法對網格是否規則并不敏感.對流通量格式的精度測試顯示,所測試的各種對流通量格式均能達到二階精度，且各方法精度幾乎相同；而擴散通量離散中界面梯度求解方法的選擇對流動模擬精度有顯著影響.

驗證與確認，制造解方法，精確解方法，網格收斂性研究，有限體積離散方法，數值模擬精度

引言

自從20世紀中葉計算流體力學(computational fluidynamics,CFD)誕生以來，隨著計算機技術和CFD方法的迅速發展，CFD數值模擬技術已經廣泛應用于以航空航天為代表的諸多領域，革命性地改變了這些領域內傳統的研究和設計方法[1].但是CFD數值模擬的先天不足在于控制流動的偏微分方程組的可解性以及解的唯一性沒有得到任何理論證明，因此CFD數值結果的可信度就非常值得關注.驗證與確認(verificatio and validation,V&V)是評價CFD數值結果可信度的重要手段，驗證的目的在于驗證離散格式、數值方法、程序代碼離散并求解控制方程的正確性；而確認的意義在于確認所求解的控制方程及邊界條件真實地反映了實際物理流動問題.

二十世紀八九十年代，國外就開始對驗證與確認的研究給予高度重視，并逐步開展相關研究工作.1998年，AIAA在總結之前工作的基礎上發布了第一部系統闡述CFD驗證與確認的指南[2].而國內在驗證與確認方面起步較晚，2007年，國內學者建議在國內廣泛開展驗證與確認研究，以推動國內CFD可信度研究[3].

在CFD可信度研究中，驗證工作可以采用精確解方法和制造解方法，結合網格收斂性測試研究微分方程的求解精度及精度階.傳統V&V通常采用精確解方法(method of exact solutions,MES)[45]，這種方法一般將流動控制方程的精確解與數值解進行比較.但是遺憾的是，復雜的非線性方程少有精確解，一般能得到的都是經過簡化之后的方程解析解，而簡化后的方程并不能完整地體現原控制方程中的各項，因此也不能研究相應項的數值特性以及驗證代碼的正確性.相反，制造解方法(method of manufactured solutions,MMS)[67]不尋找控制方程的精確解，而是人為制造一個解，并使之滿足添加源項之后的修正控制方程.制造解不一定是真實物理解，而僅僅是為了研究與驗證控制方程中各項的數值特性和計算精度而人為設計的，因而比精確解方法更具有實用性.

文獻[5]總結出了多種利用精確解進行CFD代碼驗證的算例，如膨脹波、斜激波、不可壓層流邊界層、庫埃特流動、Burgers方程等.在分析了制造解方法和精確解方法的優缺點之后，指出采用制造解方法進行代碼驗證和數值算法測試具有很高的準確性.

采用制造解方法和網格收斂性測試進行代碼驗證最早由Roache和 Steinberg[6]提出.Roache[78]在總結代碼和計算方法驗證的文章中強調,通過制造解方法和網格收斂性測試進行驗證非常具有嚴謹性和說服力.2008年在Lisbon舉辦的第三屆CFD Uncertainty Analysis Workshop[9]上要求首次參加研討會的與會者必須對二維湍流近壁流動形式的制造解進行制造解方法的測試，這表明制造解方法作為代碼驗證和精度測試的手段已得到認可.

同時，國外利用制造解方法開展V&V工作已有很多.首先，一些學者將制造解方法應用到數值方法的代碼驗證中.在CFD領域，針對Euler方程[10]、RANS(Reynolds averaged Navier-Stokes)方程[11]及直接數值模擬(direct numerical simulation,DNS)[1213]、高階方法[14]求解代碼的驗證，MMS方法均有相關應用.此外，MMS還成功應用于浸入邊界法精度驗證[15]，等離子體流動模擬代碼驗證[1617]，多相流動求解驗證[1819]，化學非平衡流動數值模擬驗證[20]等計算流體力學領域.一些In-house軟件，如Wind-US[21]和Loci-CHEM[22]均通過了制造解方法的精度階驗證；Marshall[23]甚至基于MMS方法專門開發了針對代碼驗證的C++函數庫.

其次，制造解方法在邊界條件的驗證中也得到應用[2426].如Bond等[24]通過制造解方法驗證并辨別出了邊界條件和梯度重構公式上的缺陷；又如Folkner等[25]也利用MMS方法和精確解方法對格點型和格心型有限體積法的各種邊界條件進行了驗證.

再次，采用制造解方法進行數值算法研究與測試也得到眾多學者的廣泛關注. 如 Katz和Sankaran[2728]利用MMS方法研究了非結構網格質量對格點型和格心型有限體積算法計算精度的影響.類似的，Diskin和Thomas[2930]通過MMS方法求解線性對流方程和泊松方程分別分析了網格類型和網格質量對無黏通量和黏性通量計算精度的影響.Vedovoto等[31]通過MMS方法研究了基于壓力的有限體積格式的數值精度特征.一些新算法在提出之后，通常采用MMS方法對其代碼正確性和算法精度進行驗證和分析[32-33].

此外，針對制造解方法要在一系列網格上求得收斂解代價較大的問題，Burg和 Murali[34]提出了類似于 Taylor展開的殘差型制造解精度分析方法.Brglez[35]也對原始的MMS方法提出改進，以提高方法的易用性和簡潔性.除了在光滑流場中得到應用之外，MMS方法還被拓展到具有間斷特征的流場求解驗證中[3638].以上的綜述表明，制造解方法作為驗證與確認的重要手段已經廣泛應用于代碼驗證、精度分析、邊界條件驗證等方面，并逐步得到發展和完善.

相較于國外的蓬勃發展，國內在MMS方法的研究和應用上與國外還有較大差距.王瑞利等[3940]較早開展了這方面的研究，但是要在國內真正推廣使用制造解方法還需要更多工作.本文在實現一種標量制造解和分量制造解方法的基礎上，通過將制造解方法精度測試結果與經典精確解(二維無黏等熵渦)精度測試結果進行對比，進一步證實了制造解精度測試方法的有效性，并重點將這兩種制造解方法應用于非結構網格二階精度有限體積離散方法的精度驗證，對非結構有限體積離散方法中各種常用的梯度重構方法、對流通量格式、擴散通量格式進行了網格收斂性精度測試，得到了一些有指導意義的結論.

1 制造解方法

通常需要一個精確解進行測試離散格式的計算精度.但是大多數可壓縮黏性流動的精確解都過于簡單，不能完整地體現控制方程的所有項.為了解決這個問題，Roache和Steinberg[6]提出了制造解方法.

1.1 制造解方法理論

制造解方法的基本思路是選擇任意的“制造解”代入原始的控制方程(如Navier-Stokes(NS)方程或者Euler方程等).一般情況下，制造解不能滿足原始的控制方程，代入控制方程后，右端項不為零，可以將引入的右端項設為源項.因此，制造解可以理解為帶源項的修正方程的精確解,如下所示

式中，Q為守恒變量，F=Fi+Gj+Hk為對流通量項，Fv=Fvi+Gvj+Hvk為擴散通量項.在離散網格上利用數值方法求解修正的控制方程，得到數值解，數值解與制造解的差值即為離散誤差(不考慮舍入誤差).結合網格收斂性測試便可以分析驗證不同離散格式、計算方法的精度(或稱誤差)、數值精度階以及代碼編寫的正確性.文獻[27]指出,只要制造解源項的處理方式與控制方程的離散方法在數值精度上相容，MMS方法是評價數值格式特性的有效方法.

式(1)既可以針對標量模型方程進行制造解方法研究，也可以針對流動控制方程組進行制造解方法研究.對于標量模型方程，通常采用以下定義[28]

標量模型方程的最終形式為

式中，φ為任意標量場，A=(a,b,c).可以看到,標量模型方程實質上是一個帶源項的線性對流擴散方程.A和ν分別為線性對流項和線性擴散項的常系數.

而對于NS方程，方程(1)中各項可以表示為如下形式[28]

式中,ρ,u,v,w,e,h0,p分別為密度、3個速度分量、總能量、總焓和壓強，此外τ和q分別為黏性應力張量和熱傳導矢量.

制造解方法進行精度驗證可以總結為以下 6步[41]：(1)選擇控制方程的形式；(2)選擇制造解的形式；(3)推導修正后的控制方程；(4)在多套依次加密的網格上求解離散形式的修正控制方程得到數值解；(5)計算數值解的離散誤差；(6)計算得到數值精度階，進行精度分析和驗證.

針對上述標量方程和NS方程，常用的制造解主要有標量制造解和分量制造解，以下給出文獻[27-28,41]中所采用的幾種制造解，制造解流場云圖如圖1所示.本文的研究僅采用式(6)和式(7)所示的Euler制造解進行測試驗證工作；控制方程采用不考慮黏性項的Euler方程，以及標量對流擴散方程，不同測試算例采用的控制方程和制造解形式在算例中均有相應說明.制造解源項采用Mathematica數學軟件進行公式推導精確求得，消除源項離散誤差.

圖1 兩種類型的制造解流場云圖Fig.1 Contours of two types of manufactured solutions

1.2 制造解方法驗證

為了驗證上一節中制造解精度測試方法的有效性，本節采用經典精確解——二維無黏等熵渦流動和Euler制造解方法對同一離散方法、同一網格在相同條件下進行精度對比驗證.二維無黏等熵渦的初始流場由式(8)給出[42]，需要指出的是，等熵渦流動實質上是制造解的一個特例，其制造解源項為零.

圖2 二維無黏等熵渦流場云圖Fig.2 Contour of a 2D inviscid isentropic vortex

分別在圖 3所示的 4種網格上利用等熵渦流動、分量Euler制造解、標量Euler制造解對Euler方程和對流方程進行網格收斂性測試，得到離散方法的數值精度階，并進行比較，結果如表1所示.關于數值精度階的測試方法詳見文獻[43]，測試的計算平臺為課題組自主研制的HyperFLOW軟件[4445].

從表1可以看到，在4種不同類型的網格上，等熵渦流動精度測試、分量Euler制造解精度測試、標量Euler制造解精度測試得到的流動求解精度階完全一致.這證實了前述的標量制造解方法和分量制造解方法是CFD方法驗證有效工具的論斷.需要說明的是，這里采用的是格心型非結構網格有限體積離散格式，流動變量的重構采用GG-Cell梯度重構方法[42,46]，對流通量離散采用Roe格式.利用其他方法也能得到制造解和精確解數值精度階一致的結果.

表1 制造解方法的驗證Table 1 Verificatio of the MMS procedure

2 制造解方法在精度驗證中的應用

在非結構網格有限體積離散格式中，基于梯度重構的迎風格式是最受歡迎的對流通量離散格式，如矢通量分裂格式：AUSM格式，Van Leer格式，Steger-Warming格式；通量差分分裂格式：Roe格式等.通常這些通量離散格式需要至少一階精度的梯度重構以確保二階精度的有限體積離散.

一般來說，在非結構網格上，通常有基于Green-Gauss(GG)公式的梯度重構方法和基于最小二乘(least squares,LSQ)的梯度重構方法.根據面心值求解方式的不同GG方法又可以分為4種,如表2所示[42].

表2 不同種類的GG梯度重構方法Table 2 Di ff erent types of GG gradient reconstruction methods

LSQ方法則根據是否加權、是否采用擴充模板又分為加權的最小二乘梯度重構WLSQ，不加權的最小二乘梯度重構LSQ，以及相應擴充模板(extended)或者基本模板 (basic)的 WLSQ和 LSQ方法[42,46]，如表3所示.

而擴散通量計算精度主要取決于控制體交界面梯度的計算方法.根據單元梯度值的加權方式、界面值是否連續、以及是否引入差分修正項，界面梯度的計算方法分為很多種[47].

表3 不同種類的LSQ梯度重構方法Table 3 Di ff erent types of LSQ gradient reconstruction methods

本文僅考慮兩種非結構網格界面梯度求解方法，以說明制造解方法在驗證擴散通量計算方法中的應用，這兩種界面梯度的求解方法公式分別如式(9)～式(11)所示.

(1)Aver method取左右單元梯度的平均值.

(2)Edge correction method[48]在取平均值的基礎上，在相鄰格心連線方向引入差分修正.

文獻[48]指出,雖然aver method簡單易實現，不需要額外的數據存儲，但是會在四邊形網格或六面體網格上導致奇偶失聯，而edge correction method則能夠在四面體、三棱柱及六面體網格上形成強耦合的模板，本文將從計算精度角度對這兩種方法進行對比驗證.

網格收斂性測試選取5套依次加密的網格，數值模擬制造解流動，邊界條件為Dirichlet邊界，消除邊界條件離散的誤差，測試離散誤差隨網格尺度減小時的收斂情況.通過密度離散誤差的L1模隨網格尺度(mesh size)的收斂結果來研究各種方法的模擬精度及數值精度階.

2.1 單元梯度重構方法的驗證

本節通過分量Euler制造解考察表2中4種GG方法，以及表3中的WLSQ-basic和WLSQ-extended方法在圖3所示的4種網格上求解Euler方程的計算精度.對流通量采用Roe格式進行離散.

圖4中曲線“1st”表示采用常量重構的流動模擬結果，即認為單元內流動變量為常數，單元界面左右狀態直接取為左右單元的值，而不經過梯度重構得到；“1st order ref.”和 “2nd order ref.”分別代表一階精度和二階精度參考曲線，給出一階精度和二階精度曲線參考斜率，即離散誤差下降的速率.

圖4(a)和圖4(c)顯示，對于規則網格Grid 1和Grid 3，所有梯度重構方法在求解Euler方程時均能達到二階精度，滿足二階有限體積法的預期.而圖4(b)和圖4(d)顯示，在非規則網格Grid 2和Grid 4上，采用GG-Cell和GG-Node梯度重構方法會使流動模擬降階到一階，在同樣的網格尺度下，流動模擬精度明顯下降.因此梯度重構方法的選擇對流動模擬精度有非常重要的影響，甚至決定了離散方法的精度階，而精度階直接反應了離散誤差在網格加密時的下降速率.

圖4 不同梯度重構方法的分量Euler制造解精度測試結果Fig.4 Testing on di ff erent gradient methods with vector Euler MMS

圖4 不同梯度重構方法的分量Euler制造解精度測試結果(續)Fig.4 Testing on di ff erent gradient methods with vector Euler MMS(continued)

GG-Cell及GG-Node方法流動模擬精度降階的原因在于在非規則網格上面心值插值未能達到二階精度，導致梯度重構精度為0階，從而導致流動模擬只有一階精度，而其他能夠保證面心值二階插值精度的方法如GG-LSQ和GG-WTLI，以及LSQ方法均能保持梯度一階精度，從而保證流動模擬的二階精度，具體分析可參見文獻[49].

2.2 對流通量離散的驗證

本節通過分量Euler制造解考察4種對流通量格式(AUSM+,Roe,Steger-Warming,Van Leer)對Euler方程模擬精度的影響.

采用規則四邊形網格Grid 1和非規則四邊形網格Grid 2；單元梯度重構分別采用GG-Cell方法和WLSQ-basic方法，同樣采用5套依次加密的網格，進行網格收斂性測試.

圖5顯示，不同的通量格式對流動模擬精度影響不大，各種通量格式離散誤差非常接近.實際上，圖5的結果再次證實梯度重構方法的選擇是Euler方程模擬精度的主要影響因素，圖5(a)和圖5(b)顯示,采用GG-Cell方法在規則和非規則網格上進行梯度重構出現了精度階上的差異，而圖5(c)和圖5(d)顯示,WLSQ-basic方法對網格是否規則并不敏感，各種對流通量均能保持二階精度，且絕對誤差相差很小.這與上一節中關于梯度重構方法的驗證結論一致.

圖5 不同通量格式的分量Euler制造解精度測試結果Fig.5 Testing on di ff erent inviscid flu schemes with vector Euler MMS

圖5 不同通量格式的分量Euler制造解精度測試結果(續)Fig.5 Testing on di ff erent inviscid flu schemes with vector Euler MMS(continued)

2.3 擴散通量離散的驗證

本節通過標量Euler制造解對標量擴散方程(方程(3)中取對流項系數 A=0)進行精度測試，驗證不同界面梯度計算方法對擴散通量離散精度的影響.網格收斂性測試采用規則網格Grid 1和Grid 3，梯度重構分別采用GG-Cell方法和WLSQ梯度重構方法.需要說明的是，由于在擾動網格Grid 2和Grid 4上，網格擾動會導致GG-Cell方法單元梯度重構精度降階到零階[49]，從而引入單元梯度重構精度這一多余影響因素，故在此不考慮Grid 2和Grid 4.

圖6顯示，無論是規則四邊形網格(Grid 1)還是規則三角形網格(Grid 3)，采用aver method求解界面梯度值都會導致標量擴散方程求解精度下降.如圖6(a)和圖6(c)所示，在Grid 1上，當界面梯度采用aver method時，流動模擬精度隨著網格加密逐漸降階到一階；而圖6(b)和圖6(d)顯示在Grid 3上，采用GG-Cell單元梯度重構的aver method會降階到一階，而采用WLSQ-basic單元梯度重構的aver method會降階到零階，離散誤差顯著增大.相反，采用edge correction method則在兩種網格上，對于兩種單元梯度重構方法(GG-Cell和WLSQ-basic)均能保證擴散方程求解的二階精度，離散的絕對誤差也明顯比aver method更小.因此，擴散通量中界面梯度的計算方法對流動模擬精度有較大影響.而擴散方程求解精度降階的原因還有待進一步分析.

圖6 不同界面梯度計算方法的標量Euler制造解精度測試結果Fig.6 Testing on di ff erent interface gradient methods with scalar Euler MMS

圖6 不同界面梯度計算方法的標量Euler制造解精度測試結果(續)Fig.6 Testing on di ff erent interface gradient methods with scalar Euler MMS(continued)

3 結論

本文在實現一種分量制造解和標量制造解方法的基礎上，通過將制造解精度測試結果與典型精確解算例——二維無黏等熵渦精度測試結果進行對比，進一步證實了制造解精度測試方法進行CFD方法和代碼驗證的可行性和有效性.

本文成功地將標量制造解和分量制造解應用于非結構網格梯度重構方法、對流通量格式、擴散通量格式的驗證.結果表明,梯度重構方法的選擇對Euler方程模擬精度有明顯影響，在非規則網格上采用GG-Cell和GG-Node方法進行單元梯度重構會導致流動模擬精度降階，離散誤差明顯增大，而LSQ方法則對網格是否規則并不敏感.本文選擇的幾種無黏通量格式均能夠保持二階精度，且各種格式的離散誤差接近，說明在這種情況下，近似Riemann解的選取對計算結果精度的影響有限.而對擴散通量中界面梯度計算方法的驗證結果顯示，界面梯度計算方法對流動模擬精度有顯著影響.

下一步工作將針對NS方程進行制造解方法的驗證與確認工作；同時，邊界條件的驗證、各向異性網格上“黏性”制造解流動的模擬、以及擴散方程精度降階的原因也是進一步研究的方向.

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ACCURACY VERIFICATION OF UNSTRUCTURED SECOND-ORDER FINITE VOLUME DISCRETIZATION SCHEMES BASED ON THE METHOD OF MANUFACTURED SOLUTIONS1)

Wang Nianhua?,2)Zhang Laiping?,?Zhao Zhong?He Xin?,??(Computational Aerodynamics Institute，China Aerodynamics Research and Development Center，Mianyang 621000，Sichuan，China)?(State Key Laboratory of Aerodynamics，China Aerodynamics Research and Development Center，Mianyang 621000，Sichuan，China)

With the great improvement in computer technology,computational flui dynamics have progressed signifi cantly.Even though it is fast and easy to obtain discretized results via numerical simulations,the validity and accuracy of the results need to be carefully validated and verified As an important approach in verificatio and validation,the method of manufactured solutions(MMS)was widely applied in code verification accuracy analysis and verificatio of boundary conditions.This paper firs established the procedures for the MMS with scalar manufactured solutions and vector man-ufactured solutions.Verificatio of these two procedures was performed by comparing results of accuracy testing for a typical exact solution(2D inviscid isentropic vortex).The MMS procedures were then employed to the study of unstructured finite-olume discretization schemes,such as gradient reconstruction methods,convective flu es discretization and di ff usive flu es discretization.It demonstrated that some schemes employing certain Green-Gauss based gradient degrade to 1st order on irregular meshes and discretization error increases significantl,while the least squares based gradient is insensitive to mesh irregularity.Besides,all tested convective flu es discretization schemes were 2nd order accurate and they exhibited similar performance in terms of accuracy.But the method of computing the interface gradient was an essential factor a ff ecting the accuracy of di ff usive flu es discretization.

verificatio and validation,method of manufactured solutions,method of exact solutions,grid convergence study,finit volume discretization,numerical accuracy

V211.3

：A

10.6052/0459-1879-16-260

2016–09–18 收稿，2017–02–25 錄用,2017–02–25 網絡版發表.

1)國家自然科學基金資助項目(11532016).

2)王年華,碩士研究生,主要研究方向：計算流體力學,有限體積離散方法.E-mail：nianhuawong@126.com

王年華,張來平,趙鐘,赫新.基于制造解的非結構二階有限體積離散格式的精度測試與驗證.力學學報,2017,49(3)：627-637

Wang Nianhua,Zhang Laiping,Zhao Zhong,He Xin.Accuracy verificatio of unstructured second-order finit volume discretization schemes based on the method of manufactured solutions.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(3)：627-637