Sylow-子群的自同構導子是小的有限群

盧家寬，孟 偉，王靜靜

(1.廣西師范大學數學與統計學院，廣西 桂林 541004；2.云南民族大學數學與計算機科學學院，云南 昆明 650031)

Sylow-子群的自同構導子是小的有限群

盧家寬1，孟 偉2，王靜靜1

(1.廣西師范大學數學與統計學院，廣西 桂林 541004；2.云南民族大學數學與計算機科學學院，云南 昆明 650031)

目的 研究自同構導子對有限群結構的影響。方法 使用單群分類定理及圈積等手段，分可解群、非可解群兩種情況分別討論。結果 證明了Sylow子群的自同構導子是小的有限群恰是冪零群。結論 某些特殊子群的自同構導子對有限群的結構具有很強的影響，對自同構導子附加合適條件后，可以得到有限群若干信息。

自同構導子；冪零群；可解群

0 引 言

在本文中，G表示有限群。設H≤G，由NG(H)中的元素誘導的H的自同構的全體，稱為H在G中的自同構導子，記作AutG(H)。易見，AutG(H)=NG(H)/CG(H)，并且

Inn(H)≤AutG(H)≤Aut(H)

為了方便，稱AutG(H)是小的，若Inn(H)=AutG(H)；稱AutG(H)是大的，若AutG(H)=Aut(H)。容易驗證，AutG(H)是小的當且僅當NG(H)=HCG(H)。

某些特殊子群的自同構導子對有限群的結構有很強的影響。例如，Zassenhaus[1]證明了如下經典結果：G是交換群當且僅當G的所有交換子群的自同構導子是小的。另一方面，Nomura[2]證明了：如果可解群G的所有交換子群的自同構導子是大的，則G同構于S1、S2、S3或Q8。Bechtell等[3]把Nomura的結果拓展到所有有限群。

在文獻[4]中，Deaconescu和Walls提出了如下問題：

問題1.1 描述Sylow子群的自同構導子要么全是小的，要么全是大的有限群的結構。

在文獻[2]中，Nomura證明了：如果G的Sylow子群的自同構導子是大的，那么G是亞循環群。于是，一個自然的問題是考慮Sylow子群的自同構導子是小的有限群的結構。……