Eisenstein判別法的變換與推廣

王子茹，梅 瑞，梁菊先

(河北北方學院理學院，河北 張家口 075000)

Eisenstein判別法的變換與推廣

王子茹，梅 瑞，梁菊先

(河北北方學院理學院，河北 張家口 075000)

目的 Eisenstein判別法并不是對所有在有理數域上的不可約整系數多項式都適用，對其實行變化與推廣，從而擴大Eisenstein判別法的適用范圍。方法 對于整系數多項式，可以通過線性變換x=ay+b間接應用Eisenstein判別法的可能性，給出與Eisenstein判別法相對稱的一種判別法。結果 論述Eisenstein判別法的若干具有實用價值的推廣形式，并把Eisenstein判別法推廣到整環上。結論 在整環上，可用Eisenstein判別法解決是否可約問題。

有理數域；不可約多項式；整環；商域；唯一分解環；素理想；本原多項式

有理系數多項式在有理數域上是否可約的問題，可以歸結為整系數多項式能否分解為2個次數較低的整系數多項式的乘積的問題。Kronecker曾給出一個通過有限次計算，實際判斷任意一個整系數多項式能否分解為次數較低的整系數多項式的乘積的方法[1]。但該方法較為繁瑣，實用價值不大。關于整系數多項式在有理數域上是否可約的問題，有一充分的判定條件，這就是著名的Eisenstein判別法[2]。

設

f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn

是1個整系數多項式。如果存在1個素數p，使得

(1)p?an

(2)p|ai，i=0,1,2,…,n-1

(3)p2?a0

那么f(x)在有理數域上不可約。

Eisenstein判別法并不是對所有的在有理數域上不可約的整系數多項式都適用，即只是整系數多項式在有理數域上不可約的充分條件，而不是必要條件。為了擴大Eisenstein判別法的適用范圍，可施行以下的變換與推廣。

1 利用整系數多項式的線性變換x=ay+b

關于整系數多項式在有理數域上的可約性，顯然有以下事實：