例談高中數學復習課有效性的提高

吳莉莉

摘要：怎樣的復習課才是有效的？這個問題時常困擾著筆者。一次《基本不等式的證明》復習課的實踐，讓筆者對這個大問題有了一點點小的認識。文中結合課堂過程的再現，談談對三個相關問題的粗淺看法。分別是：數學公式、定理的教學與復習應關注哪些方面？復習課中如何設計“三基”訓練？復習課中如何協調教師的導與學生的學？

關鍵詞：復習課；基礎；主導；主體

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）05-0047

一、上課實錄

1. 基本不等式a2+b2≥2ab的直接證明

上課后，筆者直接出示問題1：如何證明基本不等式a2+b2≥2ab？看到學生迷茫狀，筆者補了一句：回憶一下，不等式證明有哪些常用的方法？這下立即有了反應。

生：可以用比較法證明，作差可得（a-b）2≥0。（好簡單，學生微微點頭。）

生：也可以由（a-b）2≥0推得a2+b2≥2ab，那是……綜合法。對，還有分析法。

生：我覺得反證法也行！（學生笑開了。）

學生齊答，筆者板書分析法：

要證a2+b2≥2ab，

即證a2+b2-2ab≥0，

只要證（a-b）2≥0，這顯然成立，

所以，a2+b2≥2ab成立。

筆者馬上追問：不等式中等號何時取到，a、b的取值有何要求？回顧證明過程，學生很容易給出了答案。

（問題1的設計不僅讓學生回憶了證明不等式的基本方法和相應的表述特點，還使學生認識到不等式a2+b2≥2ab與“實數的平方是一個非負數”的本質聯系。）

2. 基本不等式a2+b2≥2ab的構造證明

當學生在回味以上簡潔的證明時，筆者又提問：上面的證明方法都很好，我們還能用其它數學知識證明嗎？剛才還較熱鬧的課堂一下子又安靜了下來。幾分鐘過去了，沒有學生舉手。

師：a2，b2，ab這些式子能讓我們聯系什么數學知識？大家不妨畫幾何圖形試試。經提示，學生回憶起構造如下平面圖形，用面積說明不等關系a2+b2≥2ab（也可以說是它的變形），此時a，b取正實數。

（通過引導學生回憶不等式的幾何證法，加強數形聯系、轉化能力，豐富學生對基本不等式a2+b2≥2ab（a，b∈R+）幾何含義的認識。）

師：我們知道，數學中的一些知識，如三角、向量緊密地聯系著代數與幾何，我們能否用這些知識證明以上不等式呢？學生的思維再次被激發，經過討論、補充，結合幾何圖形，又整理出以下兩種證法：

師：“為什么要加上a，b∈R*這個條件，能將它去掉嗎？”“這是因為……”學生還來不及回答，這時下課的音樂響了起來，但我相信學生的思維正處于高潮中。

二、分析與反思

1. 數學公式、定理的教學與復習應關注哪些方面？

基本不等式a2+b2≥2ab可看成是數學公式和定理，平時在教學和復習數學公式和定理時容易產生“掐頭去尾燒中段”的情況，也就是“一背二套”“公式加例題”的形式，這種形式的教學往往使學生頭腦里只留下公式、定理的外殼，忽視它們的來龍去脈，不明確它們運用的條件和范圍。事實上，在公式與定理的教學與復習時應關注：本源，推導（證明），限制條件和特例、變形與聯系、應用等。通過教學與復習，應使學生達到以下目標：一是要用準確的數學語言表述公式與定理的內容，明確其使用的條件和適用的范圍；二是要正確地掌握其證明及推導方法，并適當變形，聯系其他知識構造再證明；三是要探討對一些重要的公式和定理能否作適當的引申與推廣；四是整理公式與定理的應用規律。我們在教學中，必須以適當的方式將公式和定理的發生、發展、變化過程展示給學生，讓學生通過自主學習獲取知識，并領悟公式和定理所包含的數學思想方法，靈活地掌握知識，運用知識，達到提高分析問題、解決問題的能力。避免死記硬背，生搬硬套，做到“活學活用”。

2. 復習課中如何設計“三基”訓練？

復習的目的是使學生進一步系統地掌握基礎知識、基本技能和基本方法，進一步提高運算能力、邏輯思維能力和空間想象能力以及綜合運用數學知識靈活地分析和解決問題的能力。在設計復習問題時，既要關注知識交叉點的訓練，又要注重問題的能力立意，同時不忘解題技能練習和書寫規范，最后強調解題后的反思，悟出解題策略、思想方法的精華。本課在復習基本不等式a2+b2≥2ab的同時，涉及了不等式的4種基本證明方法（比較法、綜合法、分析法和反證法）及相應的表述訓練，強化數形結合思想，函數、方程與不等式的聯系與轉化能力的應用，加深對代數、幾何、三角函數、向量等數學知識相關性的理解。總之，復習課教學內容的選擇上應該按學生的認知規律，由淺入深，由易及難，逐漸展開，既考慮知識的廣度與聯系度，又關注課堂學生的思維、能力、思想與方法的訓練量，提高綜合運用知識解決問題的水平。

3. 復習課中如何協調教師的導與學生的學？

學生通過自己的努力理解的東西，才能成為自己的東西，才是他真正掌握的東西。復習課不能由教師一人講解，更不能成為教師展示自己解題“高難動作”與“絕活表演”的舞臺，而要讓學生成為學習的主人，讓他們在主動積極地探索活動中實現創新、突破，展示自己的才華智慧，提高數學素養和悟性。在解決課堂問題中，學生難免出現“思維障礙”，教師恰時恰點的指導至關重要，但我們大可不必在外圍處進行淺表性的啟發誘導，而要在關鍵處引導學生探尋突破口，讓學生的思維在要點處閃光，繼而暴露問題，磨礪意志，提高能力。

（作者單位：江蘇省揚州市江都區第一中學 225200）