基于IHB法分裂導線次檔距振蕩的極限環特性

于洋洋， 郭虎倫， 曹樹謙， 劉 彬， 陳予恕,5

(1.天津大學力學系 天津，300072) (2.天津大學仁愛學院 天津，301636)(3.天津市非線性動力學與混沌控制重點實驗室 天津，300072)(4.中國電力科學研究院 北京，100192) (5.哈爾濱工業大學航天學院 哈爾濱，150001)

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基于IHB法分裂導線次檔距振蕩的極限環特性

于洋洋1,2,3， 郭虎倫1,3， 曹樹謙1,3， 劉 彬4， 陳予恕1,3,5

(1.天津大學力學系 天津，300072) (2.天津大學仁愛學院 天津，301636)(3.天津市非線性動力學與混沌控制重點實驗室 天津，300072)(4.中國電力科學研究院 北京，100192) (5.哈爾濱工業大學航天學院 哈爾濱，150001)

分裂導線中的背風子導線在尾流激振作用下會出現大幅的次檔距振蕩，是威脅高壓輸電線路安全運行的重要故障之一。針對此問題，首先，給出了背風子導線在尾流激振下，含氣動非線性的兩自由度次檔距振蕩動力學模型方程；其次，采用增量諧波平衡法推導了求解次檔距振蕩高階極限環響應的方程，得到了次檔距振蕩極限環響應的前三次諧波響應，結果表明，導線次檔距振蕩只存在于一個風速區間范圍內，隨諧波次數的增加，高次諧波的影響明顯減弱，其中一次諧波能夠較好地吻合Runge-Kutta數值計算結果；最后，分析了檔距和背風子導線的初始位置對次檔距振蕩的影響，為避免或抑制次檔距振蕩的發生提供技術支持。

分裂導線；次擋距振蕩；極限環；增量諧波平衡法

引 言

微風振動、覆冰舞動和次檔距振蕩是危害輸電導線安全運行的3種重要故障。次檔距振蕩只存在于分裂導線中，是一種由迎風側子導線的尾流誘發背風側子導線振動的現象。次檔距振蕩的振動頻率約為1～3Hz，振幅為導線直徑的3～20倍，會造成子導線間的相互碰撞和鞭擊、磨損導線，嚴重的將導致導線疲勞斷股[1]。當前，隨著長距離、大跨度、多分裂高壓輸電技術的廣泛應用，分裂導線中存在的次檔距振蕩的危害性也愈發凸顯。因此對分裂導線次檔距振蕩動力學特性的深入研究有助于次檔距振蕩抑制技術的開發，避免次檔距振蕩的發生。

當前針對次檔距振蕩動力學特性的研究最直接的方法是實驗研究，此外還有數值方法、解析方法和半數值半解析的方法。背風子導線受尾流激振時的氣動升力和氣動阻力的模擬是研究次檔距振蕩的基礎，實驗研究必不可少。Bokaian[2]通過實驗測得背風子導線在尾流激振作用下的氣動升力和氣動阻力，并用冪級數的形式擬合出氣動升力和氣動阻力的表達式，其擬合結果與實驗非常相近。Wardlaw[3]用風洞實驗以分裂導線的節段彈性支撐模型研究其次檔距振蕩的穩定性條件，并得到較好的平均氣動力結果。但實驗研究的缺點是需要大量的物力，尤其風洞實驗耗費巨大。隨著計算技術的發展，尤其是商用軟件的成熟，數值方法在次檔距振蕩中得到越來越多的應用。Lilien等[4]用有限元方法研究了兩分裂三檔距系統的次檔距振蕩，采用模態分析的方法分析了子導線的間距、質量、頻率比等參數對分裂導線次檔距振蕩的影響。陳元坤[1]利用計算流體動力學(computational fluid dynamics,簡稱CFD)計算仿真分裂導線的氣動特性，得到分裂導線的平均氣動力系數曲線。解析方法計算簡便，一度成為學者們關注的焦點。文獻[5-7]采用準定常線性顫振理論研究了次檔距振蕩系統的振動失穩邊界。Rawlins[8]采用傳遞矩陣法研究導線的振動特性，并結合波傳遞理論預測了分裂導線發生次檔距振蕩時的振動響應。準定常線性顫振理論、穩定性理論和傳遞矩陣法都是研究的次檔距振蕩線性模型。文獻[9-10]在準定常理論研究的基礎上，采用中心流行定理和正規形理論降維，研究了背風子導線非線性系統的次檔距振蕩。文獻[11-12]采用平均法研究了背風子導線兩自由度非線性系統的解析解，并分別與數值積分結果和其他文獻的實驗結果進行了對比，結果吻合良好。但是解析方法在求解高維非線性系統或者非線性項較多的多維系統時存在很大的求解困難，甚至無法求解。半數值半解析的方法結合了數值法和解析法的優點，能夠較好地解決這一問題。增量諧波平衡法(incremental harmonic balance method,簡稱IHB)是一種發展較為成熟、應用較為廣泛的半數值半解析的方法。唐南[13]將IHB應用于求解多自由度Van der pol自治系統，為解決多自由度系統的自激振動提供了很好的范例。晏致濤等[14]將IHB應用于覆冰輸電線舞動——非線性自激振動系統的極限環求解，其結果與數值積分結果吻合良好。次檔距振蕩系統中存在復雜的非線性因素，采用IHB法能夠很好地分析分裂導線的次檔距振蕩特性，既拓寬了IHB法的應用范圍，又為強非線性的次檔距振蕩分析提供了一條新的途徑。IHB法在研究強非線性的振動分析中合理可靠，且有足夠的精度。

筆者考慮背風子導線氣動載荷中的非線性因素，建立背風子導線尾流激振下的兩自由度動力學方程，利用增量諧波平衡法研究了兩分裂導線次檔距振蕩系統，得到次檔距振蕩系統隨風速變化的曲線及兩個失穩風速之間的極限環響應，并用Runge-Kutta數值結果驗證了IHB的結果，最后分析了結構參數對次檔距振蕩極限環響應的影響。

1 分裂導線次檔距振蕩建模

如圖1所示，背風子導線假定為一長度為l、直徑為d、質量為m的剛性圓柱體，圓柱體被認為在迎風子導線的尾流中，圓柱體被彈簧和阻尼器支撐，數學模型考慮為背風子導線的平面運動。設背風子導線沒有振動時的位置為(x0,y0)，振動后為(x0+x,y0+y)。

圖1 兩分裂導線次檔距振蕩Fig.1 Subspan oscillation of two bundled conductors

根據圖1背風子導線受力建立動力學方程

(1)

筆者采用Oliveira等[11]給出的升力和阻力的表達式

(2)

用背風側導線位置坐標的冪級數擬合實測氣動力曲線，可得CL和CD的表達式

(3)

其中：X0=x0/d；Y0=y0/d；X=x/d；Y=y/d。

其他系數分別為：c0=1.2,A01=-1.78,A11=0.127,A21=-0.002 38,A02=1.944,A12=-0.115 2,A22=0.002 304,B01=B11=B12=B52=0.0,B21=0.928,B31=-0.827,B41=0.233,B51=-0.023 9,B02=0.740,B22=-0.007 12,B32=-0.105,B42=0.026 6。

按X和Y的冪級數展開，氣動力可寫為

(4)

m1k=A1k+2A2kX0；m2k=A2k；

n4k=B4k+5B5kY0；n5k=B5k；k=1,2。

忽略CL和CD3次以上的非線性，可得

CL=m01n01+m11n01X+m01n11Y+

m21n01X2+m11n11XY+m01n21Y2+

m21n11X2Y+m11n21XY2+m01n31Y3

(5a)

CD=c0-m02n02-m12n02X-m02n12Y-

m22n02X2-m12n12XY-m02n22Y2-

m22n12X2Y-m12n22XY2-m02n32Y3

(5b)

升力和阻力為X和Y的函數，沒有常數項，即由式(5)可得

(6)

因此背風子導線次檔距振動方程為

(7)

(8)

其中:

2 IHB分析

次檔距振蕩為自激振動，設自激振動頻率為ω。令τ=ωt，則方程可無量綱化為

ω2Mq″+ωCq′+Kq+Nf(q,ωq′)=0

(9)

其中：()′和()″分別為對無量綱時間τ的一階導數和二階導數。

設q0和ω0為式(9)的解，其鄰近狀態以增量形式表示為

q=q0+Δq

(10)

ω=ω0+Δω

(11)

(12)

其中

(13)

(14)

(15)

式(13)、式(14)和式(15)中各元素的表達式為

將式(10)，(11)，(12)代入式(9)，并略去高階小量，可得

(16)

其中

(17)

為誤差向量。

下面進行諧波平衡，首先設式(9)的穩態周期解為

(18)

其對應的增量可表示為

(19)

q0=SA

(20)

Δq=SΔA

(21)

將增量方程(16)左乘δ(Δq)T，并對τ在[0, 2π]上積分，可得

(22)

將式(20)和式(21)代入式(22)可得

(23)

S為τ的函數，可令

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

3 次檔距振動特性分析

圖2和圖3分別為X和Y的一次諧波與數值解的幅值隨風速U0的變化關系。由圖可知，次檔距振蕩零平衡位置存在2個失穩速度U10=8.86和U20=12.62。這與文獻[1]所得2個Hopf分岔點的結論和文獻[11]實驗結果吻合一致。當U0<

U10時，系統不存在極限環響應，系統收斂到穩定的零解上；當U10U20時，系統又收斂到零解上，而無極限環響應。與數值解的對比分析可知，一次諧波能夠較好地反映次檔距振蕩系統的動力學變化趨勢，表明增量諧波平衡法求解次檔距振蕩系統動力學響應的正確性，但是量上還有一些差距，如果需要精確描述次檔距振蕩系統的動力學特性則需要求解二次、三次甚至高次諧波解。

圖4～圖7分別為X和Y的二次和三次諧波的幅值隨風速U0的變化關系。對比分析一次、二次和三次諧波的響應曲線可知，其動力學變化趨勢是一致的，都是在U0< 8.86或U0>12.62時，收斂到零解；而在8.86

Fig.2 Amplitude for the first order and numerical solution ofXwith wind speedU0

圖3Y的一次諧波和數值解的振幅隨U0的變化

Fig.3 Amplitude for the first order and numerical solution ofYwith wind speedU0

圖4X的二次諧波的振幅隨U0的變化

Fig.4 Amplitude for the second order ofXwith wind speedU0

圖5 Y的二次諧波的振幅隨U0的變化

Fig.5 Amplitude for the second order ofYwith wind speedU0

圖6X的三次諧波的振幅隨U0的變化

Fig.6 Amplitude for the third order ofXwith wind speedU0

圖7Y的三次諧波的振幅隨U0的變化

Fig.7 Amplitude for the third order ofYwith wind speedU0

4 次檔距振動結構參數分析

分析結構參數對次檔距振蕩振幅的影響，可以為防止次檔距振蕩的措施提供依據。取參數值U0=9.5m/s，其他參數同第3節所取。通過以上分析，取X和Y的三次諧波，可得結構參數背風子導線初始位置X0，Y0和檔距l對次檔距振蕩的影響，如圖8～圖10所示。

圖8 X和Y的振幅隨X0的變化Fig.8 Amplitude of X and Y with X0

圖9 X和Y的振幅隨Y0的變化Fig.9 Amplitude of X and Y with Y0

圖10 X和Y的振幅隨l的變化Fig.10 Amplitude of X and Y with l

圖8為X和Y的一、二、三階諧波幅值隨尾流中背風子導線初始水平距離X0的變化。其他參數不變，隨X0的增加，當X0=15.2時開始存在次檔距振蕩極限環響應，當X0=19.2時極限環響應消失，即15.2

5 結 論

1) 次檔距振蕩系統的零平衡位置存在兩個失穩速度，兩個失穩速度區間之內，系統存在次檔距振蕩，收斂到穩定的極限環上，失穩速度區間之外，系統收斂到穩定的零解上。

2) 次檔距振蕩系統各階諧波響應的失穩速度一致，且失穩區間內極限環幅值都是隨風速的增大呈現出先增大后減小的趨勢。

3) 各階諧波響應隨諧波階次的增加，幅值衰減明顯，二次諧波幅值遠小于一次諧波，三次諧波幅值又小于二次諧波。一次諧波解能夠較好地反映分裂導線的次檔距振蕩。

4) 當結構參數變化時，其對次檔距振動振幅的影響規律為：隨尾流中背風子導線初始水平距離X0、初始垂直距離Y0、檔距l的增加而先增大后減小直到振動消失。因此，實際線路中應兼顧經濟性與合理性的要求，將這3個參數盡可能地選擇小些或者盡可能大一些，這有助于避免出現大幅的次檔距振蕩。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2017.03.028

國家自然科學基金資助項目(11302145)； 高等學校博士學科點專項科研基金資助項目(20130032120035)

2016-02-01；

2016-04-18

TH133.3

于洋洋，男，1989年2月生，碩士生。主要研究方向為輸電導線次檔距振蕩。曾發表《兩分裂導線次檔距振蕩Hopf分岔研究》(《機械科學與技術》2016年第35卷第8期)等論文。 E-mail: yangyang80233@126.com