旋轉(zhuǎn)二級倒立擺的雙閉環(huán)模糊控制

房朝暉， 蔣云鵬， 袁 浩

(天津大學(xué) 電氣與自動化工程學(xué)院， 天津 300072)

旋轉(zhuǎn)二級倒立擺的雙閉環(huán)模糊控制

房朝暉， 蔣云鵬， 袁 浩

(天津大學(xué) 電氣與自動化工程學(xué)院， 天津 300072)

針對加拿大Quanser公司提供的旋轉(zhuǎn)二級倒立擺實驗裝置，利用Lagrange方程進(jìn)行系統(tǒng)建模，并將雙閉環(huán)模糊控制方案應(yīng)用到旋轉(zhuǎn)二級倒立擺模型上。雙閉環(huán)結(jié)構(gòu)中，內(nèi)環(huán)控制下擺桿角度，外環(huán)控制上擺桿角度，針對內(nèi)外環(huán)分別設(shè)計了模糊控制器。實驗結(jié)果表明，該方案簡單、可行，并在實時控制中具有良好的控制性能。

旋轉(zhuǎn)二級倒立擺； 雙閉環(huán)模糊控制； Lagrange方程

倒立擺是一個具有非線性、強耦合、多變量的自然不穩(wěn)定系統(tǒng)[1-2]，必須施加實時有效的控制才能使其穩(wěn)定。因此，倒立擺系統(tǒng)可以作為一種典型的實驗裝置，經(jīng)常被用來檢驗自動控制方法的有效性。旋轉(zhuǎn)倒立擺的水平桿是旋轉(zhuǎn)的，使系統(tǒng)實際是在三維空間中運動，因此其動力學(xué)模型比傳統(tǒng)的小車倒立擺更加復(fù)雜，對控制也會提出更高的要求。現(xiàn)在有關(guān)倒立擺的模糊控制策略有很多，常見的有分離變量法[3]，分層模糊控制[4]，但是這些方法在制定模糊規(guī)則時比較抽象，失去了傳統(tǒng)模糊控制依照人腦經(jīng)驗設(shè)計規(guī)則的優(yōu)勢。

清華大學(xué)利用雙閉環(huán)模糊控制成功實現(xiàn)了一級倒立擺的角度和位置的控制[5]。二級倒立擺是一個多變量的系統(tǒng)，控制中最主要解決的問題就是如何處理多個變量的關(guān)系，如果使用通常的模糊控制器，其輸入將包括6個狀態(tài)變量，即3個角度和3個角速度。若每個輸入狀態(tài)變量劃分為5個模糊子集，則控制規(guī)則為56條，這樣的規(guī)則數(shù)顯然太多，引起規(guī)則爆炸。如果使用雙閉環(huán)模糊控制策略，不但可以大大降低規(guī)則的數(shù)量，而且可以有效地根據(jù)專家經(jīng)驗設(shè)計規(guī)則。為此，本文基于拉格朗日方程對旋轉(zhuǎn)二級倒立擺進(jìn)行了建模，進(jìn)而設(shè)計了雙閉環(huán)模糊控制器。其中，內(nèi)環(huán)控制下擺桿角度，外環(huán)控制上擺桿角度，針對內(nèi)外環(huán)分別設(shè)計了模糊控制器。實驗結(jié)果表明，該方案簡單、可行，并在實時控制中具有良好的控制性能。

1 旋轉(zhuǎn)二級倒立擺模型

本文的二級旋轉(zhuǎn)倒立擺結(jié)構(gòu)示意圖見圖1。圖中分別規(guī)定了3個角度的正方向。1、2、3、4分別為4個參考節(jié)點。二級旋轉(zhuǎn)倒立擺的工作原理是：通過電機輸出力矩帶動水平桿旋轉(zhuǎn)，并由此帶動與水平桿另一端相連接的下擺桿和上擺桿的旋轉(zhuǎn)運動，即以電機的輸出力矩作為控制量，通過桿之間的耦合，最終控制倒立擺上下擺桿的角度穩(wěn)定在垂直位置上。

圖1 二級旋轉(zhuǎn)倒立擺結(jié)構(gòu)示意圖

應(yīng)用Newton-Lagrange方程[6-7]可以建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型[8]：

其中，L是拉格朗日算子，qh為廣義坐標(biāo)(h=1,2,3)，q=[θ1,θ2,θ3]，τh稱為系統(tǒng)沿該廣義坐標(biāo)方向上的廣義外力。T是系統(tǒng)的動能，V是系統(tǒng)勢能。

求在空間中運動的上下擺桿的動能時，可以將其動能分解為桿沿其質(zhì)心的轉(zhuǎn)動動能和該質(zhì)心系在空間中運動的動能兩部分。由此可得水平桿動能T1、下擺桿動能T2、上擺桿動能T3和質(zhì)量塊動能T4動能如下：

其中，xi,yi,zi(i=1,2,3,4)為各個參考點的坐標(biāo)；m1、m2、m3、m4，l1、l2、l3和J1、J2、J3分別為水平桿、下擺桿、上擺桿和質(zhì)量塊的質(zhì)量、桿長和桿的轉(zhuǎn)動慣量。

以水平桿所在平面作為勢能零點，得到系統(tǒng)勢能：

m4g·2l2cosθ2

廣義坐標(biāo)方向上的廣義外力：

其中，u是電機輸入力矩，c1、c2和c3是轉(zhuǎn)軸的摩擦系數(shù)。

在工作點[0,0,0]處進(jìn)行線性化處理，即：sinθ1≈θ1，sinθ2≈θ2，sinθ3≈θ3；cosθ1≈1，cosθ2≈1，cosθ3≈1 。根據(jù)Newton-Lagrange方程并進(jìn)行線性化處理可得：

將上式寫為如下形式：

假設(shè)M可逆，則可得下式：

2 旋轉(zhuǎn)二級倒立擺的雙閉環(huán)模糊控制方案

圖2 系統(tǒng)控制框圖

3 模糊控制器設(shè)計

常見的模糊控制器是雙輸入/單輸出系統(tǒng)[9-10]。當(dāng)系統(tǒng)的輸入變量為2個以上時，規(guī)則數(shù)將會隨著變量數(shù)呈指數(shù)增加，產(chǎn)生規(guī)則爆炸。在雙閉環(huán)模糊控制策略下，每個模糊控制器只有2個輸入量，如果每個輸入量劃分為5個模糊子集，模糊規(guī)則數(shù)也只有52×2個，這使得模糊規(guī)則的設(shè)計變得很簡單，很清晰，同時避免了規(guī)則爆炸，縮短了執(zhí)行時間。

3.1 論域的歸一化

設(shè)各個角度的最大值為10°，角速度的最大值為50°/s，控制電壓的最大值為5V，將模糊控制器輸入量最大值的倒數(shù)作為相應(yīng)輸入的比例因子，輸出量最大值作為相應(yīng)輸出量的比例因子。這樣就可以保證模糊控制器的輸入輸出值在[-1，1]之間，同時方便控制過程中的調(diào)試工作。很好理解，增加或者減小比例增益就是在放大或者縮小隸屬度函數(shù)的實際論域，從而改變各個隸屬度函數(shù)在實際論域中的分布情況。在仿真和實際系統(tǒng)運行時，模糊規(guī)則以及隸屬度函數(shù)的參數(shù)調(diào)節(jié)不太方便，首先應(yīng)將它們調(diào)節(jié)好，然后再調(diào)節(jié)比例增益的大小來滿足控制性能指標(biāo)。

3.2 劃分模糊子集及定義隸屬函數(shù)

圖3 e的隸屬度函數(shù)

圖的隸屬度函數(shù)

圖和的隸屬度函數(shù)

3.3 設(shè)計模糊規(guī)則

表1 內(nèi)環(huán)控制器規(guī)則表

外環(huán)控制上擺桿必須經(jīng)過內(nèi)環(huán)的調(diào)節(jié)才能發(fā)揮作用，因此其規(guī)則設(shè)計就相對比較復(fù)雜。在列寫規(guī)則的時候有一個比較實用的方法，就是根據(jù)經(jīng)驗公式進(jìn)行設(shè)計[11]，即如果將模糊控制器的2個輸入量的模糊集合NB、NS、ZE、PS、PB分別用Ei和ΔEj表示，輸出變量的模糊集合用Uk表示，其中i,j,k=-2,-1,0,1,2，則由Ei和ΔEj的下標(biāo)可以求出Uk的下標(biāo)，有近似公式：k=(i+j)/2，此公式稱為“線性控制規(guī)則”。依據(jù)以上原則列寫規(guī)則，并根據(jù)經(jīng)驗和仿真進(jìn)行規(guī)則的細(xì)調(diào)，得到外環(huán)控制器的規(guī)則見表2。

表2 外環(huán)控制器規(guī)則表

3.4 模糊推理和解模糊

本文使用Mandani推理方法進(jìn)行模糊推理，并且使用最常用的重心法進(jìn)行解模糊操作。

4 實時控制

本文中使用的旋轉(zhuǎn)二級倒立擺實驗裝置的主要參數(shù)如下：下擺桿質(zhì)量0.04 kg，長度0.152 4 m；上擺桿質(zhì)量0.14 kg，長度0.431 8 m；水平桿質(zhì)量0.232 6 kg，長度0.215 m；質(zhì)量塊質(zhì)量0.17 kg。

本實驗利用加拿大Quanser公司提供的WinCon實時控制軟件進(jìn)行倒立擺系統(tǒng)的實時控制。在實際控制過程中，按照先調(diào)節(jié)內(nèi)環(huán)，再調(diào)節(jié)外環(huán)；先調(diào)節(jié)模糊規(guī)則和隸屬度函數(shù)參數(shù)，再調(diào)節(jié)比例增益大小的順序調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)，直到滿足合適的控制指標(biāo)。

設(shè)計的系統(tǒng)經(jīng)過系統(tǒng)的參數(shù)調(diào)節(jié)之后，取得了相當(dāng)好的控制效果。二級倒立擺系統(tǒng)能在控制下很快進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)，且具有很好的穩(wěn)定效果。同時系統(tǒng)具有很好的抗擾性能，在上擺桿的角度波動在±8°時，系統(tǒng)能夠很快地回復(fù)穩(wěn)定狀態(tài)，并且改變隸屬度函數(shù)的形狀后仍有很好的控制效果，表現(xiàn)出很好的魯棒性。

旋轉(zhuǎn)二級倒立擺實時控制各角度的變化曲線見圖6，控制電壓V的實時變化曲線見圖7。由圖6(b)可以看出，系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)時，上擺桿的擺動幅度在±1°之內(nèi)，變化很小；并且在受到擾動作用后系統(tǒng)能夠在2 s左右回復(fù)穩(wěn)定狀態(tài),說明該方案對旋轉(zhuǎn)二級倒立擺的控制比較平穩(wěn)，穩(wěn)定性能比較好，同時系統(tǒng)具有很好的抗擾性能和魯棒性。

圖6 各個角度的變化曲線

圖7 控制電壓V的變化曲線

5 結(jié)論

常見的雙輸入/單輸出模糊控制器當(dāng)輸入變量為2個以上時，規(guī)則數(shù)將會隨著變量數(shù)呈指數(shù)增加，引起規(guī)則爆炸。雙閉環(huán)模糊控制可很好地解決該問題，并且能很好地利用模糊控制按照人工經(jīng)驗進(jìn)行模糊規(guī)則設(shè)計。利用雙閉環(huán)模糊控制控制旋轉(zhuǎn)二級倒立擺取得了很好的控制效果，驗證了該方案的可行性。

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Double closed loop fuzzy control of two-stage rotation inverted pendulum

Fang Zhaohui, Jiang Yunpeng, Yuan Hao

(School of Electrical and Automation Engineering, Tianjin University, Tianjin 300072, China)

Based on the two-stage rotation inverted pendulum supplied by Canadian Quanser Company, the Lagrange equation is used to establish the system model, and the double closed loop fuzzy control scheme is applied to the two-stage rotation inverted pendulum model. For the double closed loop structure, the inner loop controls the angle of the lower pendulum while the outer loop controls the angle of the upper one, and the fuzzy controllers are designed respectively for the inner and outer loops. The experimental results show that the scheme is simple and feasible, and has the good controlling performance in real-time control.

two-stage rotation inverted pendulum; double closed-loop fuzzy control; Lagrange equation

10.16791/j.cnki.sjg.2017.06.013

2016-12-12

天津大學(xué)本科教學(xué)工程-實踐創(chuàng)新基地建設(shè)項目(0903040401);天津大學(xué)2014年校級實驗室建設(shè)改革項目(LAB2014-16)；天津大學(xué)2014年實驗教學(xué)改革與研究項目(2014-44)；天津大學(xué)2016年國家級大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計劃項目(201610056030)；天津大學(xué)2016年大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計劃項目(201610056310)

房朝暉(1967—) ，男，山東掖縣，碩士，工程師，天津大學(xué)電氣與自動化實驗中心副主任，主要研究方向為機械自動化和數(shù)控技術(shù).

TP273

A

1002-4956(2017)06-0050-04