考慮引力隨深度變化的海洋液體壓強分析

潘 龍 王永剛 曹傳建

(1. 青島經濟技術開發區第七中學，山東 青島 266510； 2. 青島黃海學院，山東 青島 266427)

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考慮引力隨深度變化的海洋液體壓強分析

潘 龍1王永剛2曹傳建2

(1. 青島經濟技術開發區第七中學，山東 青島 266510； 2. 青島黃海學院，山東 青島 266427)

初中物理中液體壓強公式為p=ρgh,其中g=9.8N/kg是常數.但是實際上,隨著液體深度h的增加,同樣質量的液體受到地球引力也會隨著發生變化.本文將對這種變化進行分析,得到一個考慮引力隨深度變化的壓強計算公式.在不考慮地球自轉和大氣壓強的情況下,海洋液體內部壓強與深度成二次函數關系.地表附近深度較淺時,利用該公式計算液體壓強與利用p=ρgh得到的結果高度吻合,隨著深度增加,差別越來越大.

液體壓強;深度變化;引力變化;二次函數

利用液體壓強p=ρgh計算液體壓強時，g是常數.因此是忽略了h增加時,地球引力發生了變化這一事實之后的近似.當液體非常深時,利用p=ρgh計算液體壓強會有多大的誤差?如果h增加時,將引力的變化考慮進去,液體壓強又該如何計算?本文就此一問題進行了分析.

為方便得到兩種情況下的對比.在分析過程中暫不考慮地球自轉以及大氣壓強的影響.并假設地球是正球體,液體受壓縮體積不變.在計算相關引力時,將地球看作均勻球體．

萬有引力常量為G,地球平均半徑為R,地球平均密度為ρ地,液體密度用ρ表示.

1 p=ρgh公式的變化

因此

(1)

2 壓強的精確計算分析

假設有一沿著地球半徑方向的液柱,截面積為S.在距離地心r處(r

(2)

由于液體受力平衡,因此距離地心為r處的截面受到的壓力F,等于截面以上所有液體受到的地球引力,即

(3)

因為r=R-h,代入(3)式得

(4)

所以

(5)

3 應用

由(5)式可以看出,地球上液體壓強p與深度h實際上成二次函數關系.當h?R時,h2可以忽略,(5)式就變為(1)式,可見p=ρgh是一種地球表面附近的近似公式.

計算(5)式與(1)式的比值可以比較兩種計算的相對差別,得到

(6)

表1給出具體h值時,(6)式的值.

表1 兩種算法的比值

通過表格中的計算數據可以看出,當h=10m時,(6)式的值為0.999999,幾乎無差別.在地表液體深度較淺時,(5)和(1)式高度相似,隨著深度增加,差別也增大,海洋最深處約10000m,兩種計算的結果相差約8×10-4.

但是假如到了100000m深,就有了8×10-3的差別;在R/2深處,有1/4差別;如果能有直接貫通到地心的水柱,就有了1/2的差別.

4 結束語

也許作者討論的問題對實際生活并無太大意義.但作者隱約中感覺在非勻強引力場中,液體壓強一定不是與深度成正比,其他星球表面也應是如此.并特別希望弄清壓強到底與深度的深層次關系,不吐不快.作為一名初中教師,就選取了液體表面為海平面的海洋壓強這一最簡單的情形進行分析,除此之外,還有好多情形.而且分析中也有好多理想假設.如果起到拋磚引玉的作用,那就太好了.

1 唐淑紅.高斯定理在萬有引力場的應用[J].湘潭師范學院學報(自然科學版),2008,30(3):14-16.

2016-12-08)