任意光滑曲面上靜止均質鏈所需拉力與總支持力的計算

曹 鵬 李 力

(1. 重慶市實驗中學,重慶 401320; 2. 重慶市清華中學,重慶 400054)

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任意光滑曲面上靜止均質鏈所需拉力與總支持力的計算

曹 鵬1李 力2

(1. 重慶市實驗中學,重慶 401320; 2. 重慶市清華中學,重慶 400054)

圖1

一長度為L、線密度為λ的均質鏈AB,放在豎直面內任意形狀的光滑曲面上,如圖1所示.若要其靜止,則沿鏈頂端A的切線方向,應施加多大的拉力F?

可研究鏈上任意一處質量為dm的微元dl,設其與豎直方向成θ角,其上、下端所受張力分別為(f+df)與f,都在該處的切線上但彼此反向,二者合力則沿切線向上,大小為df=(f+df)-f,故該微元受力如圖1所示.由切向上的平衡,有df=dm·gcosθ=λg·dl·cosθ,沿整條鏈積分可得

(1)

其中H是鏈條AB在豎直方向上的投影總高度.文獻[1]用以上方法證明了這個有趣的結論,下面我們另外給出一個更簡潔的證明.

設想在拉力F作用下,鏈條沿曲面向上緩慢移動很小的距離ds.比較均質鏈的初末狀態,可以看出,相當于把微元ds從下端B移至上端A而已.由功能原理可得F·ds=λds·gH,化簡即為(1)式.

其實,還可以進一步拓展研究整根鏈條所受光滑曲面給予的總支持力,也可以找到簡潔的計算公式,這在文獻[1]中并沒有提及.

圖2

假設沿鏈條頂端A的切向與豎直方向夾角為α,鏈的總長為L,則不難求出均質鏈所受總支持力N的大小和方向.

如圖2,整根均質鏈在重力G、拉力F和支持力N作用下靜止,設N與豎直方向夾角為β,又G=λgL,F=λgH,代入余弦定理N2=G2+F2-2GFcosα得

(2)

(3)

從(1)式可知，任意光滑曲面上均質鏈靜止所需拉力F的大小,只取決于上下端點之間的豎直距離H;其所受總支持力N的大小和方向,都與鏈條全長L、F與豎直方向的夾角α以及H有關,式(1)～(3)是一般計算公式,與光滑曲面的形狀無關,這是一個在理論上比較有趣而且有一定實用價值的結果.

1 王偉民,辛存良.對一個力學問題的深入推廣[J].物理教師,2016(12):57-59.

2017-01-11)