光滑拋物面中細桿平衡問題的研究

陳玉奇

(江蘇省姜堰中等專業學校,江蘇 泰州 225500)

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光滑拋物面中細桿平衡問題的研究

陳玉奇

(江蘇省姜堰中等專業學校,江蘇 泰州 225500)

利用力學知識結合數學推導,得出了均質細桿在光滑拋物面中的平衡條件和平衡位置,并對細桿的穩定平衡位置進行了較為詳細的證明．

拋物線; 均質細桿; 穩定平衡

拋物線是一種非常重要的圓錐曲線,很多資料對拋物線的幾何性質及應用的研究已經達到了相當完美的程度,但是拋物線的力學性質對我們來講卻比較陌生．如一根均質細桿放置于光滑拋物面內,其受力情況如何?桿的平衡位置有何特點?本文將對此進行分析研究．

1 細桿在拋物面中的平衡條件及位置的分析

圖1

將一根長為L的均質細桿AB放入光滑拋物面內,如圖1,現分析細桿的受力情況．

設拋物面的軸截面方程為x2=2py,式中p為拋物線的焦準距,且p>0,并設細桿只在這條拋物線內運動;細桿AB所在的直線方程為y=kx+b;細桿AB與拋物線的兩個交點為A(x1,y1)、B(x2,y2)．

細桿AB的受力情況如圖1所示,該細桿受A、B兩處的彈力和自身的重力而平衡,根據三力匯交原理可知,桿平衡時,彈力N1、N2和重力G的作用線必相交于一點,記為D．

A點和B點的切線斜率分別為

所以AD所在的直線方程為

(1)

BD所在的直線方程為

(2)

聯立(1)、(2)式得兩直線交點D的橫坐標為

(3)

由前面分析可知,細桿中點的橫坐標與xD相等,即

(4)

pk=2kb.

(5)

可知(5)式成立是細桿受力平衡的充要條件．

具體有以下幾種情況.

(1)k=0,(5)式恒成立,與L無關,即細桿水平放置,必然平衡．

(2)k→∞,細桿直立于拋物線頂點豎直放置,只受二力而平衡．

又因為

(6)

運用韋達定理可求得

代入(6)式,有

(7)

綜合以上分析可知:

(1) 當L≤2p時,細桿只有兩個平衡位置,即k=0時細桿水平放置(該處是穩定平衡位置,且當L=2p時,細桿過拋物線焦點);k→∞時細桿豎直放置．

2 穩定平衡位置的證明

設細桿的質量為m,以拋物線頂點為勢能零點,則桿的勢能為

(8)

(9)

系統勢能在穩定平衡的平衡位置處有極小值.

(1) 當k→∞時,細桿直立于拋物線頂點是不穩定平衡,不必討論．

(2) 當k不趨于∞時,將(9)式中的V對k求導得

分析可得以下幾種情況:

(10)

圖2

由以上分析可知,當L≤2p時,細桿只有兩個平衡位置,其中k=0(水平放置)是穩定平衡位置,k→∞(豎直放置)是不穩定平衡位置．

圖3

3 用拋物線的光學性質證明細桿的平衡特點

由拋物線的光學性質可知，從拋物線焦點發出的光,經過拋物線反射后,反射光線都平行于拋物線的對稱軸．

我們可將細桿看成經過拋物線焦點的光線,此時應有L≥2p．

圖4

如圖4,設AC、BE是過A、B兩點且與y軸平行的直線,可視為反射光線．由光的反射定律可知,AD、BD分別是∠CAB和∠EBA的角平分線,而AC∥BE,則可知∠DAB+∠DBA=90°,從而∠ADB=90°,△ADB為直角三角形．

過D點作DF平行于y軸,與AB交于F點,可證得∠ADF=∠DAF,∠FDB=∠DBF,從而AF=FD=FB,故F是直角三角形ADB斜邊AB上的中點(AB的重心),即細桿在A、B兩處所受彈力的作用線和自身重力的作用線交于點D．由三力匯交原理可知,細桿此時處于平衡狀態．

由此可得,細桿只要過拋物線焦點傾斜放置必然平衡,且該位置還是穩定平衡位置．

4 結論

將一根長為L的均質細桿放入開口向上的光滑拋物面內,設細桿只在過軸截面的拋物線內運動，桿的平衡情況如下.

(1) 如果細桿的長度L小于或等于拋物線的通徑,即L≤2p時,細桿只有兩個平衡位置,即k=0時細桿水平放置,該處是穩定平衡位置,且當L=2p時細桿過拋物線焦點;k→∞時細桿豎直放置,但不是穩定平衡位置．

2016-12-12)