非局域引力模型的能量條件及其限制

吳亞波， 張 雪， 趙月月， 陳博海， 張 楠， 柴云天

(1.遼寧師范大學 物理與電子技術學院， 遼寧 大連 116029；2.海軍大連艦艇學院 基礎部， 遼寧 大連 116018)

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非局域引力模型的能量條件及其限制

吳亞波1， 張 雪1， 趙月月2， 陳博海1， 張 楠1， 柴云天1

(1.遼寧師范大學 物理與電子技術學院， 遼寧 大連 116029；2.海軍大連艦艇學院 基礎部， 遼寧 大連 116018)

深入探討一種修正引力理論，即由馬焦雷(M. Maggiore)和曼卡拉(M. Mancarella)提出的非局域引力模型，該理論模型是在愛因斯坦-希爾伯特作用量中加入了非局域修正項m2R□-2R.筆者詳細研究并導出了該非局域引力理論滿足的4種能量條件，即強能量條件，零能量條件，主能量條件和弱能量條件.為了揭示這些能量條件的物理意義，分別繪出了4種能量條件隨引力模型參數α和宇宙紅移z的演化圖像.進一步，利用能量條件對模型參數α加以限制，給出了模型參數的取值范圍.

愛因斯坦-希爾伯特作用量；非局域引力；能量條件

天文觀測數據[1-3]表明宇宙目前正處在一個加速膨脹階段，解釋這個現象是現代宇宙學的一大難題.愛因斯坦場方程描述了時空幾何與物質分布的內在關系.解釋加速膨脹現象的理論方法一般分為修改愛因斯坦場方程的幾何部分或物質部分.一方面，有理由相信驅動宇宙的加速膨脹可能是暗能量，它是一種具有負壓強的額外組分且是當前宇宙總能量的主要成分.雖然多年來各國學者從理論上提出了眾多暗能量模型，并對其進行了廣泛研究[4-6].遺憾的是，暗能量的本質屬性及其源問題始終困惑著人們，至今人們找不到任何已知粒子能夠滿足暗能量的性質.目前被廣泛接受的暗能量模型是宇宙學常數Λ[7]，即Λ冷暗物質(ΛCDM)模型.另一方面，修正引力理論作為暗能量的替代者也極具吸引力[8-10].在眾多修正引力理論中，迪塞爾(S. Deser)和伍達德(R. P. Woodard)提出的非局域引力模型[11]是有競爭力的候選者之一，該模型的構建是在愛因斯坦-希爾伯特作用量中加入了非局域修正項f(□-1R).算符□-1是達朗貝爾算符□的逆，可以表示為延遲格林函數的卷積[12-13].這類模型最大的特點就是在輻射主導時期里奇標量R為零，直到物質主導時期后□-1R才開始以對數形式增長[14-15].該理論不需要引入暗能量就能再現目前宇宙的加速膨脹，既能避免精調問題和鬼極問題，又能實現宇宙從輻射主導到物質主導轉換的延遲效應.同時，在低能極限下又能退化為愛因斯坦引力.然而該模型的不足之處是與大尺度結構觀測數據不符.最近，馬焦雷(M. Maggiore)和曼卡拉(M. Mancarella)提出一個新的非局域引力模型[16](下文簡稱為M-M非局域引力模型)，該理論模型是在拉氏量中加入修正項m2□-2R，引入質量標度m，它的量綱為哈勃參數的今天值H0.非局域項是由單參數m控制，替代了ΛCDM宇宙模型中參數Λ，可以直接由觀測檢測，這個模型目前受到更多的關注[17-19].

能量條件[20]目前已廣泛應用于各種修正引力理論，研究其對引力模型參數的限制[21-30].于是自然產生這樣的問題：(1)在非局域引力框架下，能否導出M-M模型的4種能量條件:強能量條件(SEC)，零能量條件(NEC)，主能量條件 (DEC)和弱能量條件(WEC).(2)利用這些能量條件能否給出對M-M非局域引力模型的限制條件，即能否給出模型參數的取值范圍.研究結果表明，不僅能導出該非局域引力模型的能量條件，而且利用SEC和NEC還能給出模型參數的限制范圍.文中計算采用的度規號差為+2，并令光速c=1.

1 M-M非局域引力模型的場方程

考慮M-M非局域引力模型的作用量[16]

(1)

式中，質量標度m的量綱為哈勃參數的今天值H0，這里取m=αH0,α是常數，稱它為模型參數.協變標量達朗貝爾算符定義為

(2)

通常由延遲格林函數可求解出非局域項□-1R，它們具有關系式[13,17]：

(3)

這里,G(x,x′) 是算符□-1作用在標量上的格林函數.將作用量(1)對度規gμ ν作變分，得到非局域引力場方程

(4)

其中，

Kμ ν=2(Gμ ν-2μν)(□-2R)+2gμ ν(□-1R)-gμ ν(□-1R)2+
μ(□-2R)ν(□-1R)+ν(□-2R)μ(□-1R)-gμ νρ(□-2R)ρ(□-1R)，

(5)

這里□=gμ νμν，物質的能量-動量張量Tμ ν為

(6)

根據文獻[16]的局域化處理方法，定義如下輔助標量場

U≡-□-1R，

(7)

S≡-□-1U=□-2R，

(8)

注意其初始條件都為0，于是修改的愛因斯坦場方程中的非局域項就改寫為局域形式

Kμ ν=2(Gμ ν-μν)S-2gμ νU-gμ νU2-(μSνU+νSμU) -gμ νρSρU.

(9)

實際上，在對式(7)和式(8)進行數值積分的過程中，引入無量綱變量V=H0S和無量綱的哈勃參數h=H(t)/H0更為方便.于是，輔助標量場的運動方程可以表示為

U″+(3+ζ)U′=6(2+ζ)，

(10)

V″+(3+ζ)V′=h-2U，

(11)

其中,ζ=h′/h，撇表示對時間坐標x=lna求導.根據方程(9)，其時間分量為

,

(12)

由此可得

,

(13)

和

(14)

其中,ΩM和ΩR分別是物質和輻射的能量密度參數.方程(10)和方程(11)提供了一組關于標量場U和V的微分方程組，利用h2和ζ的表達式，方程組的解可以直接通過數值積分得到.

2 能量條件及其限制條件

考慮空間平坦的弗里德曼-羅伯森-沃克(FRW)宇宙背景，其時空度規為

ds2=-dt2+a2(t)dx2.

(15)

為討論方便，將非局域引力場方程(4)改寫為如下的有效引力場方程

(16)

其中，有效的能量-動量張量為

(17)

進一步，它的時間和空間分量分別對應有效能量密度和有效壓強

(18)

(19)

SEC:ρeff+3peff≥0?

(20)

NEC:ρeff+peff≥0?

(21)

DEC:ρeff-peff≥0?

(22)

WEC:ρeff≥0?

(23)

進一步，為了深入剖析能量條件的4個不等式，在圖1和圖2中筆者繪出了4個能量條件(即方程(20)～方程(23))隨模型參數α和紅移z的演化圖像.取ΩM=0.308，ΩR=0.001和wR=1/3[3].從圖1容易看出為了滿足強能量條件(SEC)和零能量條件(NEC)，模型參數的取值范圍受到限制，分別為|α|≤0.26和|α|≤0.53.然而，從圖2容易看出，無論模型參數α取何值，主能量條件(DEC)和弱能量條件(WEC)總被滿足，由此說明它們對模型參數α的取值沒有任何限制.

圖1 左圖：SEC (ρeff+3peff≥0)隨模型參數α和紅移z的演化；右圖：NEC(ρeff+peff≥0)隨模型參數α和紅移z的演化Fig.1 Left panel:the evolution of SEC (ρeff+3peff≥0) with model parameter α and redshift z；Right panel:the evolution of NEC (ρeff+peff≥0) with model parameter α and redshift z

圖2 左圖：DEC(ρeff-peff≥0)隨模型參數α和紅移z的演化；右圖：WEC(ρeff≥0)隨模型參數α和紅移z的演化Fig.2 Left panel:the evolution of DEC (ρeff-peff≥0) with model parameter α and redshift z；Right panel:the evolution of WEC (ρeff≥0) with model parameter α and redshift z

3 結 論

綜上所述，筆者不僅導出了M-M非局域引力模型的4種能量條件(強能量條件，零能量條件，主能量條件和弱能量條件)，而且通過作圖分析了4種能量條件隨模型參數α和紅移z的演化規律以及對模型參數α的限制條件.研究結果表明，雖然主能量條件和弱能量條件對M-M非局域引力模型沒有限制，即模型參數α可以任意取值，但強能量條件和零能量條件限制模型參數α的取值范圍為|α|≤0.26.

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Energy conditions and constraints on the non-local gravity model

WUYabo1,ZHANGXue1,ZHAOYueyue2,CHENBohai1,ZHANGNan1,CHAIYuntian1

(1.School of Physics and Electronic Technology, Liaoning Normal University, Dalian 116029, China; 2.Department of Basic, Dalian Naval Academy, Dalian 116018, China)

In this paper，the authors explored a class of modified gravity model,namely,the so-called non-local gravity model proposed by M.Maggiore and M.Mancarella,which is obtained by adding a termm2R□-2Rto the Einstein-Hilbert action.The four energy conditions of the non-local gravity model,i.e.,the strong energy condition,the null energy condition,the dominant energy condition and the weak energy condition are studied and derived in detail.In order to get some insights on the meaning of the energy conditions,the evolutions of four energy conditions with the model parameterαand redshiftzare illustrated,and the constraints on the model parameterαare given by using these energy conditions.

Einstein-Hilbert action;non-local gravity;energy conditions

2017-03-17

國家自然科學基金資助項目(11175077;11575075;11547156);遼寧省自然科學基金資助項目(L20168366)

吳亞波(1961-),女，遼寧遼陽人，遼寧師范大學教授，博士，博士生導師.E-mail:ybwu61@163.com

1000-1735(2017)02-0167-06

10.11679/lsxblk2017020167

O411

A